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突破1.5
全称量词与存在量词重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【基础知识梳理】
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“?”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：?x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：?x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
三、题型分析
重难点1
全称命题与存在命题真假的判断
例1．（1）（2020·全国高一）（多选题）下列命题中，是全称量词命题的有（
）
A．至少有一个x使成立
B．对任意的x都有成立
C．对任意的x都有不成立
D．存在x使成立
E.矩形的对角线垂直平分
（2）．（2019·儋州市八一中学高一期中）（多选题）已知下列命题其中正确的有（
）
A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C．“至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题
D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
（3）．（2020·浙江）下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（
）
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数，使
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数，使
【变式训练1】．（2020·浙江）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（
）
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
【变式训练2】．（2020·浙江）下列命题的否定是真命题的是（
）
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程的一个根
重难点2
含有一个量词命题的否定
例2．（1）（2019·内蒙古集宁一中高三月考）命题“存在实数x,，使x
>
1”的否定是（
）
A．对任意实数x,
都有x
>
1
B．不存在实数x，使x1
C．对任意实数x,
都有x1
D．存在实数x，使x1
（2）（2020·四川遂宁高二期末（文））命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2019·山东济宁·高一月考）命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）命题“存在实数x,，使x
>
1”的否定是（
）
A．对任意实数x,
都有x
>
1
B．不存在实数x，使x1
C．对任意实数x,
都有x1
D．存在实数x，使x1
重难点3
全称命题与存在命题的应用
例3．（2020·浙江）写出下列命题的否定并判断真假.
（1）不论m取何实数，方程必有实数根.
（2）所有末位数是0或5的整数都能被5整除.
（3）某些梯形的对角线互相平分.
（4）被8整除的数能被4整除.
【变式训练1】．（2020·全国高一课时练习）设语句.
（1）写出，，并判断它们是不是真命题；
（2）写出“，”，并判断它是不是真命题；
（3）写出“，”，并判断它是不是真命题.
【变式训练2】．（2020·全国高一）写出下列命题的否定：
（1）所有人都晨练；（2）；
（3）平行四边形的对边相等；（4）．
四、迁移应用
1．（2020·北京通州高二期末）命题“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高二期末（文））命题“”的否定是(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江）命题“存在一个三角形，内角和不等于”的否定为（
）
A．存在一个三角形：内角和等于
B．任意三角形，内角和都等于
C．任意三形，内角和都不等于
D．很多三角形，内角和不等于
4．（2020·重庆高二期末）命题“”的否定为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列命题中是真命题的是（
）
A．存在一个实数x，使
B．所有的素数都是奇数
C．在同一平面中，同位角相等且不重合的两条直线都平行
D．至少存在一个正整数，能被5和7整除
E.菱形是正方形
6．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（
）．
A．，
B．至少有一个，使能同时被2和3整除
C．，
D．有些自然数是偶数
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全称量词与存在量词重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【基础知识梳理】
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“?”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：?x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：?x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
三、题型分析
重难点1
全称命题与存在命题真假的判断
例1．（1）（2020·全国高一）（多选题）下列命题中，是全称量词命题的有（
）
A．至少有一个x使成立
B．对任意的x都有成立
C．对任意的x都有不成立
D．存在x使成立
E.矩形的对角线垂直平分
【答案】BCE
【解析】A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；
B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；
E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE
（2）．（2019·儋州市八一中学高一期中）（多选题）已知下列命题其中正确的有（
）
A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C．“至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题
D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
【答案】BCD
【解析】对于A,
“实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误.
对于B,
“三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确;
对于C,
“至少存在一个实数，使得”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;
对于D,
“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.
综上可知,正确命题为BCD故答案为:
BCD
（3）．（2020·浙江）下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（
）
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数，使
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数，使
【答案】B
【解析】A，C中的命题是全称命题,选项D中的命题是特称命题，但是假命题．只有B既是特称命题又是真命题,选B.
【变式训练1】．（2020·浙江）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（
）
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
【答案】D
【解析】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．
【变式训练2】．（2020·浙江）下列命题的否定是真命题的是（
）
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程的一个根
【答案】B
【解析】A的否定：所有实数的绝对值不是正数,假命题,B的否定：有些平行四边形是菱形,
真命题,
C的否定:
有些等边三角形不相似,
假命题,D的否定:
3不是方程的一个根,
假命题,选B．
重难点2
含有一个量词命题的否定
例2．（1）（2019·内蒙古集宁一中高三月考）命题“存在实数x,，使x
>
1”的否定是（
）
A．对任意实数x,
都有x
>
1
B．不存在实数x，使x1
C．对任意实数x,
都有x1
D．存在实数x，使x1
【答案】C
【解析】特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．
∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C．
（2）（2020·四川遂宁高二期末（文））命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】命题“”的否定形式为：“”.故选：A.
【变式训练1】．（2019·山东济宁·高一月考）命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确.故选A.
【变式训练2】．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）命题“存在实数x,，使x
>
1”的否定是（
）
A．对任意实数x,
都有x
>
1
B．不存在实数x，使x1
C．对任意实数x,
都有x1
D．存在实数x，使x1
【答案】C
【解析】特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．
∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C．
重难点3
全称命题与存在命题的应用
例3．（2020·浙江）写出下列命题的否定并判断真假.
（1）不论m取何实数，方程必有实数根.
（2）所有末位数是0或5的整数都能被5整除.
（3）某些梯形的对角线互相平分.
（4）被8整除的数能被4整除.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.
【解析】（1）这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程都有实数根”，
其否定为“存在实数m，使得没有实数根”，注意到当，
即时，一元二次方程没有实根，因此其否定是真命题；
（2）命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，是假命题；
（3）命题的否定是“任何一个梯形的对角线都不互相平分”，是真命题；
（4）命題的否定是“存在一个数能被8整除，但不能被4整除”，是假命题.
【变式训练1】．（2020·全国高一课时练习）设语句.
（1）写出，，并判断它们是不是真命题；
（2）写出“，”，并判断它是不是真命题；
（3）写出“，”，并判断它是不是真命题.
【答案】（1），真命题，；假命题；
（2），，假命题；
（3），，真命题；
【解析】（1），真命题.，，
∴，假命题.
（2），，由（1）知，为假命题，所以“，”为假命题.
（3），，由（1）知，为真命题，所以“，”为真命题.
【变式训练2】．（2020·全国高一）写出下列命题的否定：
（1）所有人都晨练；（2）；
（3）平行四边形的对边相等；（4）．
【答案】（1）有的人不晨练；（2）；
（3）存在平行四边形，它的对边不相等；（4）；
【解析】
（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题，所以其否定是“有的人不晨练”．
（2）因为命题“”是全称命题，所以其否定是“”．
（3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，是一个全称命题，
所以它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．
（4）因为命题“”是特称命题，所以其否定是“”．
四、迁移应用
1．（2020·北京通州高二期末）命题“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】命题“，”为全称命题，则命题的否定为，，故选：A.
2．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高二期末（文））命题“”的否定是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】命题的否定是，又由得
故命题的否定是.故选：
3．（2020·浙江）命题“存在一个三角形，内角和不等于”的否定为（
）
A．存在一个三角形：内角和等于
B．任意三角形，内角和都等于
C．任意三形，内角和都不等于
D．很多三角形，内角和不等于
【答案】B
【解析】该命题是一个“特称命题”,于是“存在”否定为“任意”；“不等于”否定为“都等于”，命题“存在一个三角形，内角和不等于”的否定为“任意三角形，内角和都等于”，故选B.
4．（2020·重庆高二期末）命题“”的否定为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定为“”.故选：B.
5．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列命题中是真命题的是（
）
A．存在一个实数x，使
B．所有的素数都是奇数
C．在同一平面中，同位角相等且不重合的两条直线都平行
D．至少存在一个正整数，能被5和7整除
E.菱形是正方形
【答案】CD
【解析】A中，方程的，所以无实根，故A为假命题；
B中，2是素数，但不是奇数，故B为假命题；D中，35能被5和7整除，故D为真命题；
由平行线的判定定理可知：C为真命题，由正方形与菱形的关系可知：E为假命题．故选：CD．
6．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（
）．
A．，
B．至少有一个，使能同时被2和3整除
C．，
D．有些自然数是偶数
【答案】ABD
【解析】A中，时，满足，所以A是真命题；
B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；
C中，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题．故选：ABD．
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