1.2 一定是直角三角形吗课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
数学北师大版
八年级
1.2
一定是直角三角形吗
在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.反过来，如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
分别以5，12，13；3，
4，
5；8，15，17；7，24，25为三边长作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
每个三角形都满足较小两边长的平方和等于第三边长的平方.
做一做：
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c
满足a2+b2=c2
，那么这个三角形是直角三角形.
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，其逆定理是直角三角形的判定定理.
变式:
c2-b2
=a2
c2-a2
=b2
a
c
b
A
C
B
b
a
C1
M
N
B1
A1
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，
且a2+b2=c2.你能否判断
△ABC是直角三角形？
并说明理由.
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB,
在C1N上截取C1A1=b=CA,
连接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得
A1B12=a2+b2=AB2
.∴
A1B1=AB
.
∴
△ABC≌△A1B1C1
.
（SSS）
∴
∠C=∠C1=90°
.
∴
△ABC是直角三角形.
例
一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示，这个零件符合要求吗?
注意：在直角三角形中，斜边所对的角是直角！
解：
∵在Rt△ABD中，
AB2+AD2=9+16=25=BD2
∴△ABD是直角三角形，∠A是直角
∵在△BCD中，
BD2+BC2=25+144=169=CD2
∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角
因此这个零件符合要求。
练习1.
古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
2.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴进行交流.
探究新知
解：△BAE，△EDF，△BCF，△BEF是直角三角形.
其中可以通过勾股定理计算出
从而可以得到∠BEF为90°，
所以△BEF为直角三角形.
常用的勾股数:必是正整数
3,
4,
5
5,
12,
13
7,
24,
25
8,
15,
17
9,
40,
41
11,
60,
61
10,
24,
26
12,
35,
37
20,
21,
29
它们的K倍也成立，如3K,4K.5K还是勾股数.
(3k)2+(4k)2=25k2
=(5k)2
判断下列哪组数是勾股数：
（1）6，7，8；
（2）8，15，6；
（3）a=n2-1，b=2n，c=n2+1
（n＞1）
（4）a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2
（m＞n＞0）
例2
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD
的面积。
解：连结BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5cm
又∵在三角形BDC中，三边分别是5，12，13，满足勾股定理，
∴三角形BDC是直角三角形。
因此，四边形ABCD的面积为36平方厘米。
S四边形=SΔABD+SΔBDC=
解：（1）S△ABC=4×4-12×1×2-12×4×3-12×2×4=16-1-6-4=5.
所以△ABC的面积为5.
（2）△ABC是直角三角形.
理由如下.
因为小方格的边长为1，所以AB2=12+22=5，
AC2=22+42=20，BC2=32+42=25.所以B2+AC2=5+20=25=BC2.所以.
【例3】如图所示网格中的△ABC，若小方格的边长为1，请你根据所学的知识，解答下列问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状，并说明理由.
AB2+AC2=5+20=25=BC2.所以△ABC为直角三角形
课堂练习：1.
如图1-2-3，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D.
如果AD=6，BD=9，CD=4，那么∠BAC是直角吗？说明理由.
解：∠BAC是直角.理由如下.
因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°.
因为AD=6，BD=9，CD=4，
所以AB2=AD2+BD2=117，AC2=AD2+CD2=52.
因为BC=BD+CD=13，
所以AB2+AC2=BC2=169.
所以∠BAC=90°.
2.
如图1-2-6，∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，AF长为12，正方形的面积为169，求△AFC的面积.
解：因为∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，
所以AC2=AB2+BC2=16+9=25.
因为正方形的面积为169，
所以FC2=169.
因为AF2+AC2=144+25=169=FC2，
所以△AFC为直角三角形.
所以∠FAC为直角.
所以S△AFC=0.5AF·AC=0.5×12×5=30.
3.已知△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,则下列条件:①a=4,b=
?,c=
?;②a2∶b2∶c2=1∶3∶2;③∠A
∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④∠A=2∠B=2∠C.其中能判断△ABC是直角三角形的有?(　　)
A.1个　????B.2个　????C.3个　????D.4个
答案????C　①∵a2+b2=?=
?,c2=
?=?,
∴此三角形是直角三角形;
②∵a2∶b2∶c2=1∶3∶2,∴a2+c2=b2,∴此三角形是直角三角形;
③∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,
∠C=5x,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+5x=180°,
解得x=15°,∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°,
∴此三角形不是直角三角形;
④∵∠A=2∠B=2∠C,∴设∠B=∠C=x,则∠A=2x,∴x+x+
2x=180°,解得x=45°,∴∠A=2x=90°,
∴此三角形是直角三角形.故选C.
∴a2+b2=c2,
作业布置；
习题1.3
1，2，3，4
选讲内容
1.如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,△ABE≌△CBE'.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE'C=　　????度.
解析　连接EE',?
∵△ABE≌△CBE',
∴AE=CE',BE=BE',∠ABE=∠CBE',
∴∠EBE'是直角,∴△EBE'是直角三角形,∠BEE'=∠BE'E=45°,
∵AE=1,BE=2,∴BE'=2,E'C=1.
∵EE'2=22+22=8,CE'=1,EC=3,∴EC2=E′C2+EE'2,
∴△EE'C是直角三角形,∴∠EE'C=90°,
∴∠BE'C=135°.
2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a
,b,c,且满足c十a=2b,c-a=0.5b,则△ABC是什么特殊三角形?
解:∵c+a=2b,c-a=
0.5b,
∴(c+a)(c-a)=b2
即a2+b2=c2,
∴c2-a2=b2
∴△ABC是直角三角形,∠C=
90°
3.如图1
-2-8,P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论;
解:(1)AP=CQ.证明如下:
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC,∠ABC=60°.
又∵∠PBQ=60°,BQ
=
BP,
∴∠ABP=∠CBQ，△BPQ为等边三角形
∴△ABP≌△CBQ
∴AP=
CQ.
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
(2)△PQC为直角三角形.理由如下:
由(1)得AP=CQ,PQ=PB,
则CQ:
PQ:
PC=3:4:5
从而CQ2
+PQ2
=PC2，
∴∠PQC=90
∴△PQC为直角三角形.
谢谢
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