1.2.1 矩形的性质与判定 课件 （共27张PPT）

(共27张PPT)
数学北师大版
九年级
1.2
.1
矩形的性质与判定(第1课时)
什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？
判定:
（1）两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
性质：
（1）边：两组对边分别平行，
（2）角：两组对角分别相等.
（3）对角线：互相平分.
两组对边分别相等.
邻角互补。
下面图片中都含有一些特殊平行四边形，观察这些
特殊平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
平行四边形
有一个直角
长方形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）.
(1)矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举-些这样的性质吗?
一、矩形的两组对边分别平行
二、矩形的两组对边分别相等
三、矩形的两组对角分别相等
五、矩形
两条对角线互相平分
四、矩形的邻角互补
边
对角线
角
矩形是特殊的平行四边形
A
C
B
D
O
(1)对边平行且相等；
(2)
(3)
AB
CD
，
=
∥
AD
BC
=
∥
∠A=∠C
，
∠B=∠D
OA=OC，OB=OD
对角相等；
对角线互相平分；
(2)矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴?
(3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流.
是
有二条对称轴
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
定理
1
矩形的四个角都是直角.
定理
2
矩形的对角线相等
如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.
求证:
(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
(2)AC=BD.
证明:
(1)
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠CDA，
∠BCD=∠DAB
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵∠ABC=90°
∴∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
定理
1
矩形的四个角都是直角.
定理
2
矩形的对角线相等
如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.
求证:
(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
(2)AC=BD.
证明:
(2)
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=DC
在△ABC和△DCB中
∵AB=CD，∠ABC=∠DCB，BC=CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC=DB
矩形的性质
：
定理
1
矩形的四个角都是直角.
定理
2
矩形的对角线相等
（被对角线分成4个等腰三角形）
如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，
那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式1：在△ABC中，
∵∠ABC=90°，AO=CO，
推理格式2：在RT△ABC中，BO为AC边上的中线，
已知在△ABC中，∠ABC=90°，AO=CO，
求证：
直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
思路：（1）造矩形：
补全矩形ABCD.
点O为对角线AC和BD的交点，
由矩形的性质2得OA=OC，OB=OD，AC=BD，
从而得到AO=BO=CO=DO
已知在△ABC中，∠ABC=90°，AO=CO，
求证：
直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证明造全等：延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
得AD∥BC，所以∠BAD=∠ABC=90°，
从而可得△DAB≌△CBA（SAS），
所以AC=BD，
得到BC=AD，∠C=∠CAD，
直角三角形的性质小结：
（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和
等于斜边的平方.
（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
的一半.
（4）直角三角形斜边中线等于斜边的一半.
例1
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，
∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形的对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
（矩形的对角线互相平分）.
∴OA=OD.∵∠AOD=120°，
又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），
∴BD=2AB=2×2.5=5.
∴AC=BD（矩形对角线相等），
例1
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，
∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形的对角线的长.
另解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形对角线相等），
（矩形的对角线互相平分）.
∴OA=OB=OC=OD.
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°
∴OA=OB=AB=2.5.
∴BD=2AB=2×2.5=5.
课堂小结
(3)直角三角形的一个重要性质：斜边上的中线
等于斜边的一半；
(1)矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角均为直角
(2)矩形
矩形的对角线互相平分且相等
在矩形ABCD中
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BDA
∟
∟
∟
∟
∴AC=BD=2OA=2OB=2OC=2OD.
∥
∥
∥
∥
∥
作业布置：
习题1.4
1，2，3，4
选讲习题：
随堂练习.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4.
求BD与AD的长.
D
B
C
A
O
解：(1)∵OA=OC
∴AC=4+4=8
又∵BD=AC
∴BD=8
(2)∵△ABD是Rt三角形
∴AB2+AD2=BD2
∴
2.
如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
F，G分别为BC，DE的中点，若ED=10，则FG的长为（
）
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴?BCE,?BCD均是直角三角形
又∵F为BC的中点，BC=18
∴EF=FD=9
∵G为DE的中点,
∴FG⊥DE，FG平分DE
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
谢谢
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