1.2.2 矩形的性质与判定 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
数学北师大版
九年级
1.2
.1
矩形的性质与判定(第2课时)
1.动手试验，发现问题：
如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样
的变化？
（2）当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特
征？你得到了怎样的猜想？
α
α
α
α
α
一个平行四边形的活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。
（1）随着∠α
的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
矩形判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
A
C
B
D
已知：□
ABCD中，AC=DB。
求证：□
ABCD是矩形
证明：在
□
ABCD中，
AB=DC，
AC=DB，BC=CB，
∴
△ABC≌△DCB(SSS)
∠ABC=∠DCB
又∵
AB∥DC
∠ABC+∠DCB=180°
∴
∠ABC=∠DCB=0.5×180°=90°
∴
□
ABCD是矩形
矩形判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
推理格式：在□ABCD中，
∵AC=BD，
∴□ABCD是矩形.
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
三个角是直角
因为四边形的内角和是360°，若有三个角是直角，则第四角也就是直角
矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
推理格式：在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
3.矩形判定方法小结：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（对角线相等又平分的四边形是矩形）
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
对还是错
你有什么方法检查你家的门框是不是矩形？
如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？说明理由.
方法二：①先检查两组对边是否相等，
判断它是否是一个平行四边形；
②再检查对角线是否相等，
判断它是否是一个矩形.
方法一：检查三个角是不是直角
方法三：①对角线是不是互相平分，
②对角线是不是相等
上述方法二和方法三
例2
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4.
∴OA=OC=OB=OD=4.
∴AC=BD=2OA=2×4=8.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2
∴□ABCD是矩形
∴∠ABC=90°
练习：
如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．
已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形
EFGH为矩形．
证明：∵AB∥CD
　　∴∠ABC＋∠BCD=180°
　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD???????
∴∠BGC=90°
同理可证∠AFB=∠AED=90°
∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)
∴∠GBC＋∠BCG=0.5
∠ABC＋0.5∠BCD
=0.5(∠ABC＋∠BCD)=0.5×180°=90°
2．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
解析：（1）在等边△ABC中，
∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30?，
又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60?，
∴∠CAE＝30?.
∴四边形AFCE是平行四边形，
（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，
∴CF＝AD，∠CFA＝90?，
又∵AD＝AE，
由（1）知∠CAE＝30?，
∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，
∴四边形AFCE是矩形．
∴AE＝CF，
∴∠EAF＝60?+30?＝90?，
∵AE＝CF，
又∵∠CFA＝90?，
作业布置：
习题1.5
1，2，3，4
选讲习题：
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
3.如图,在△ABC中，点O在AB边上,过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,过点B作BE?BD交直线OD于点E.
(l)求证:OE=OD;
(2)当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形?说明理由.
4.如图,在口ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF、BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;
4.如图,在口ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF、BF.
谢谢
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