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突破1.4
（重难点突破）有关三视图的问题
一、考情分析
1、基本知识
三视图与直观图遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则
2、如何审题
（1）.审已知：
在做三视图试题时，需要注意题目第一句话，标明本题是“谁”的三视图，一般题目中会出现“某三棱锥、某四棱锥、某几何体”等字眼。
（2）.审问题：
①最长棱（勾股定理+体对角线一般为最长棱）
②几何体中出现直角形的个数（射影定理：三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线
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"https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86?/?_blank?)垂直，那么它也和这条斜线垂直。）立体几何中垂直的证明。
③立体几何体积或表面积（注意常考几何体的表面积和体积公式）
3、做题技巧：
1.三视图中虚线肯定存在
2.利用长方体或者正方体做题步骤
（1）根据正、左、俯视图判断长方体的长宽高；
（2）根据正、左、俯视图进行合理删点；
（3）正视图左右高：对应立体图左右高；左视图左右高：对应立体图前后高；
（4）虚线一定有，实线看得见，
二、经验分享
【三视图还原技巧与方法】
1、核心内容：
三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。
2、还原三步骤：
（1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状；
（2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短；
（3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。
3、还原方法详解
（1）将如图所示的三视图还原成几何体。
还原步骤：
①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图；
②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置；
如图
③将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示：
三、题型分析
例1、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（
）
例2、如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（
）
例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：）为________.
[]
例4、（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
．
例5、某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是．
例6、如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积
为，三棱柱的体积为，则
．
四、迁移应用
1、【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
2、【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A.
B.
C.
D.
3.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（
）
A.
B.
C.
D.
4.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于
A．
B．
C．
D．
5.【2018届南宁市高三联考】三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
6.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
7.【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（
）
A.
①③④
B.
②④③
C.
①②③
D.
②③④
8.
【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（
）
B．
C．
D．
[]
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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突破1.4
（重难点突破）有关三视图的问题
一、考情分析
1、基本知识
三视图与直观图遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则
2、如何审题
（1）.审已知：
在做三视图试题时，需要注意题目第一句话，标明本题是“谁”的三视图，一般题目中会出现“某三棱锥、某四棱锥、某几何体”等字眼。
（2）.审问题：
①最长棱（勾股定理+体对角线一般为最长棱）
②几何体中出现直角形的个数（射影定理：三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线
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(?https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%B0%84%E5%BD%B1?/?7505680"
\t
"https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E4%B8%89%E5%9E%82%E7%BA%BF%E5%AE%9A%E7%90%86?/?_blank?)垂直，那么它也和这条斜线垂直。）立体几何中垂直的证明。
③立体几何体积或表面积（注意常考几何体的表面积和体积公式）
3、做题技巧：
1.三视图中虚线肯定存在
2.利用长方体或者正方体做题步骤
（1）根据正、左、俯视图判断长方体的长宽高；
（2）根据正、左、俯视图进行合理删点；
（3）正视图左右高：对应立体图左右高；左视图左右高：对应立体图前后高；
（4）虚线一定有，实线看得见，
二、经验分享
【三视图还原技巧与方法】
1、核心内容：
三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。
2、还原三步骤：
（1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状；
（2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短；
（3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。
3、还原方法详解
（1）将如图所示的三视图还原成几何体。
还原步骤：
①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图；
②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置；
如图
③将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示：
三、题型分析
例1、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（
）
【答案】21+[来源:学
科
网Z
X
X
K]
【解析】还原步骤如下：
第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图；
第二步：依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N处不可能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点地位置如图；
第三步：由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连接，将与点、分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。
则表面积为。
例2、如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（
）
【答案】6
【解析】还原图形方法1：若由主视图引发，具体步骤如下：
（1）依据主视图，在长方体后侧面初绘ABCM如图：[]
（2）依据俯视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C出不可能有垂直向前拉升的线条，而在M出必有垂直向前拉升的线条MD，由俯视图和侧视图中长度，确定点D的位置如图：
（3）将点D与A、B、C分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图所示：
置于棱长为4个单位的正方体中研究，该几何体为四面体D—ABC，且AB=BC=4，AC=,DB=DC=,可得DA=6.故最长的棱长为6.
方法2：
若由左视图引发，具体步骤如下：
（1）依据左视图，在长方体右侧面初绘BCD如图：
（2）依据正视图和俯视图中显示的垂直关系，判断出在节点C、D处不可能有垂直向前拉升的线条，而在B处，必有垂直向左拉升的线条BA，由俯视图和左视图的长度，确定点A的位置，如图：
（3）将点A与点B、C、D分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图：
方法3：
由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可以用一个正方体做载体还原：
（1）根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，用红线表示。如图，也就是说正视图的四个顶点必定是由原图中红线上的点投影而成；
（2）左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图；
（3）俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图；
（4）三种颜色的公共点（一定要三种颜色公共交点）即为几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图。然后计算出最长的棱。
[][]
例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：）为________.
[]
【答案】
例4、（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
．
【答案】
【解析】由题意可知直观图如图所示，结合三视图有平面，，
，，所以，
，∴三棱锥最长棱的棱长为．
例5、某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是．
【答案】．
【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱几何体的表面积是
．
例6、如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积
为，三棱柱的体积为，则
．
【答案】1：24
【解析】三棱锥与三棱锥的
相似比为1：2，
故体积之比为1：8．又因三棱锥与三棱柱的体积之比
为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．
另：，所以．
四、迁移应用
1、【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
2、【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
3.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
4.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意得，根据三视图的规则得，棱锥以俯视图为底面，以侧视图的高为高，
由于侧视图是以2为编程的等边三角形，所以，
结合三视图中的数据，底面积为，
所以几何体的体积为，故选A.
【易错点】不能正确找出几何体的高.
5.【2018届南宁市高三联考】三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
6.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】,故选C.
7.【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点分别是正方体的棱的中点，用过点和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（
）
A.
①③④
B.
②④③
C.
①②③
D.
②③④
【答案】D
8.
【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（
）
B．
C．
D．
[]
【答案】B
【解析】
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页
（共
2
页）
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