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第三章
函数与方程单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（
）
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．两个共底的圆锥
【答案】D
【思路点拨】本题考查旋转体的结构特征，熟练掌握旋转体的定义及旋转体的结构特征是解答本题的关键．
2.如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①⑤
【答案】D
【错因分析】读题不准，上底面已挖去，截面就不会出现②的情况，另外，空间想象能力差且凭主观臆断，考虑不全面导致错解.
【正解】当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件.故截面图形可能是①⑤，选D．
3．已知某几何体的正视图和侧视图（如图所示），则该几何体的俯视图不可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
4．已知某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则该几
何体的体积是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】三视图还原如下图,为一个长方体切去了一个左上角,所以体积,
,选C.
5．几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是，如图（2）所示，其中，
，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
∴该几何体的体积为故选：A.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的组合体，其体积，故选A.
7．已知边长为的正方形的两个顶点在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设正方形ABCD的中心为M，连结OM，OA，则OM⊥平面ABCD，
∴,
设球的半径为r,则,即.，故选：A
8．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，
平面，且，则球的表面积为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【点睛】求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。充分体现补形转化思想。
9．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意得外接球的直径等于
,所以表面积为
,选D.
点睛:
(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．
(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．
10．棱长分别为的长方体的8个顶点都在球的表面上，则球的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
11．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.
因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.
因为底面ABCD是边长为1的正方形，，所以.
因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.
易证平面平面ABE，所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离.
不妨设，则，.
因为，所以，
所以，当时，等号成立.
此时EH与ED重合，所以，。
12．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（
）
A．8
B．7
C．6
D．4
【答案】A
【解析】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：，
从下往上第三层正方体的棱长为：，
从下往上第四层正方体的棱长为：，
从下往上第五层正方体的棱长为：，
从下往上第六层正方体的棱长为：，
从下往上第七层正方体的棱长为：，
从下往上第八层正方体的棱长为：，
∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8，故选A。
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．
【答案】
【解析】依题意有体积为，故一共有（斛）米.[]
14．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.
【答案】88.
【解析】试题分析：设该长方体的高为x,则因为半径为的球的体积为，所以，即，所以长方体的表面积为，故应填88.
15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
【答案】
16．【辽宁省实验中学2017届高三六模】已知空间四边形中，
，
，
，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．[]
【答案】
【解析】如图：
由于
是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=，
。填
【点睛】
对于多点共点问题，可退其之求到三点距离相等的点的集合，再考虑另外一些点距离相等的点的集合，两个或多个点的集合交点，即为球心。
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函数与方程单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（
）
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．两个共底的圆锥
2.如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①⑤
3．已知某几何体的正视图和侧视图（如图所示），则该几何体的俯视图不可能是（
）
A.
B.
C.
D.
4．已知某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则该几
何体的体积是（
）
A.
B.
C.
D.
5．几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是，如图（2）所示，其中，
，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
7．已知边长为的正方形的两个顶点在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
8．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，
平面，且，则球的表面积为
（
）
A.
B.
C.
D.
9．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（
）
A.
B.
C.
D.
10．棱长分别为的长方体的8个顶点都在球的表面上，则球的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
11．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．1
12．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（
）
A．8
B．7
C．6
D．4
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．
om]
14．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.
15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
16．【辽宁省实验中学2017届高三六模】已知空间四边形中，
，
，
，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．[]
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