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专题1.1
空间几何体的结构重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【一、空间几何体的有关概念】
1．空间几何体
对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的
就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体.
2．多面体
（1）多面体：一般地,我们把由若干个
围成的几何体叫做多面体.
（2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC
′B′等.
（3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,
如图中棱AA′,棱BB′等.
（4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,
如图中顶点A,B,C等.
3．旋转体
（1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线
所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成.
（2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.
【二、几种最基本的空间几何体】
1．棱柱的结构特征
定义
一般地，有两个面互相
，其余各面都是
，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
，由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).
图形及表示
①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱ABCDEF?A′B′C′D′E′F′.?②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱.
相关概念
①棱柱的底面：棱柱中，两个互相
的面叫做棱柱的底面，简称底.?②棱柱的侧面：除底面外，其余各面叫做棱柱的侧面.③棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.?④棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
结构特征
①底面互相
.②侧面都是
.?③每相邻两个平行四边形的公共边互相
.
分类
①棱柱可以按底面的边数进行分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是几边形，这样的棱柱就叫做几棱柱.②按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做
，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做
.
2．棱锥的结构特征
定义
一般地，有一个面是
，其余各面都是有一个公共顶点的
，由这些面所围成的多面体叫做棱锥(pyramid).
图形及表示
①表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥.如图所示的四棱锥可表示为棱锥S?ABCD.②用顶点和底面多边形的一条对角线的相应字母表示棱锥（三棱锥除外）.如图所示的棱锥可记为四棱锥S?AC.
相关概念
①棱锥的底面：在棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底.
②棱锥的侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面.
③棱锥的顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
④棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
结构特征
①底面是
.
②侧面都是
.
③侧面有一个
.
分类
按底面的边数进行分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中，三棱锥又称为
.
注意：三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.
3．棱台的结构特征
定义
用一个
于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台(frustum
of
a
pyramid).
图形及表示
用表示底面各顶点的字母表示棱台.如图所示的四棱台可以表示为棱台ABCD?
A′B′C′D′.
相关概念
①棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，如上图所示，面A′B′C′D′为棱台的上底面，面ABCD为棱台的下底面.
②棱台的侧面：除上、下底面之外的其他各面叫做棱台的侧面，如上图所示，面ABB′A′，面BCC′B′，面CDD′C′，面ADD′A′都是棱台的侧面.
③棱台的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，如上图所示，棱AA′,棱BB′,棱CC′,棱DD′都是棱台的侧棱.④棱台的顶点：棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点，如上图所示，点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′都是棱台的顶点.
结构特征
①上、下底面互相
，且是
图形.
②各侧棱的延长线交于
.
③各侧面为
.?
分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……注意：由正棱锥截得的棱台叫做
.
4．圆柱的结构特征
定义
以
的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的
叫做圆柱(circular
cylinder).
图形及表示
圆柱可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′.
相关概念
①圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴.
②圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面.
③圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面.
④圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线.
注意：圆柱与棱柱统称为柱体.
结构特征
①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相
，且底面是圆面而不是圆.②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴
，所以圆柱的任意两条母线互相
.
③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的
.
5．圆锥的结构特征
定义
以
的一条
边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circular
cone).
图形及表示
圆锥可以用表示它的轴的字母表示，如图所示的圆锥可以表示为圆锥SO.
相关概念
①圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴，如上图所示，SO为圆锥的轴.
②圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，如上图所示，⊙O及其内部是圆锥的底面.
③圆锥的侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
④圆锥的母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线，如上图所示，SA,SB等都是圆锥的母线.⑤圆锥的顶点：母线的交点叫做圆锥的顶点，如上图所示，点S为圆锥的顶点.
注意：圆锥与棱锥统称为锥体.
结构特征
①底面是
.②有无数条母线，长度
且交于
.
③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的
.
6．圆台的结构特征
定义
用
圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台(frustum
of
a
cone).
图形及表示
圆台可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆台可以表示为圆台OO′.
相关概念
①圆台的下底面、上底面：原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面.
②圆台的轴：上、下底面圆心的连线所在的直线叫做圆台的轴.
③圆台的侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面.
④圆台的母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线.
注意：圆台和棱台统称为台体.
结构特征
①圆台上、下底面是互相
且
的圆面.
②有
条母线，
且延长线交于一点.
③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的
.
7．球的结构特征
定义
以半圆的
所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体(solid
sphere)，简称球.
图形及表示
可以用表示球心的字母表示球，上图所示的球可以表示为球O.
相关概念
①球心：半圆的
叫做球的球心.
②半径：半圆的
叫做球的半径.
③直径：半圆的
叫做球的直径.
8．简单组合体的结构特征
定义
由
、
、
、
等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到,图(2)中几何体由一个四棱柱与一个四棱锥组合而成,图(3)中几何体由一个三棱柱与一个三棱台组合而成.
②多面体与旋转体的组合体图(1)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到,图(2)中几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱得到,图(3)中几何体由一个球挖去一个三棱锥得到.?
③旋转体与旋转体的组合体图(1)中几何体由一个球体和一个圆柱组合而成,图(2)中几何体由一个圆台和两个圆柱组合而成,图(3)中几何体由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成.
三、题型分析
(一)
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1．（1）某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
A．
B．
C．
D．
（2）下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是
(写出所有真命题的编号)．
【变式训练1】．判断下列命题的真假.
（1）四棱柱一定是平行六面体；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体；
（3）直平行六面体一定是长方体；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体.
【变式训练2】．在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
(二)
圆柱、圆锥、圆台的结构特征
例2．（1）下列命题：
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线相互平行．
其中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
（2）下列叙述正确的是（
）
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥．
⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台．
⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台．
⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线．
⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体．
A．①②③④⑤⑥⑧
B．①③④⑦⑧
C．①②⑤⑧
D．⑤
【变式训练1】．如图所示，正四棱台的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
【变式训练2】．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体内接于圆锥，求这个正方体的棱长.
【变式训练3】．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．
(三)
球的结构特征
例3．（1）如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是 ( )
A．①③
B．①②
C．②④
D．②③
（2）．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（
）
A．至多等于3
B．至多等于4
C．等于5
D．大于5
(四)
空间几何体的平面展开图
例4．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．圆台的上、下底面半径分别为、，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点（在下底面），求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
(五)
空间几何体的综合问题
例5．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注；长方体点心盒的高小于长、宽.）
四、迁移应用
1.有下列三组定义：
①有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
其中正确定义的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（
）
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．两个共底的圆锥
3.一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为（
）
A．
B．
C．
D．
4.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是（
）
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
5.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（
）
A．
B．
C．
D．
6.如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①⑤
7.如图所示，在长方体中，则在长方体表面上连接两点的所有曲线长度的最小值为__________．
8．小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：A、B、C、D、E、F，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A”相对的面所写的字母是哪一个？
9．如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A，B，C对面的字母分别是（
）
A．D，E，F
B．F，D，E
C．E，F，D
D．E，D，F
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精品试卷·第
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专题1.1
空间几何体的结构重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【一、空间几何体的有关概念】
1．空间几何体
对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的
就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体.
2．多面体
（1）多面体：一般地,我们把由若干个
围成的几何体叫做多面体.
（2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC
′B′等.
（3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,
如图中棱AA′,棱BB′等.
（4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,
如图中顶点A,B,C等.
3．旋转体
（1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线
所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成.
（2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.
【二、几种最基本的空间几何体】
1．棱柱的结构特征
定义
一般地，有两个面互相
，其余各面都是
，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
，由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).
图形及表示
①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱ABCDEF?A′B′C′D′E′F′.?②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱.
相关概念
①棱柱的底面：棱柱中，两个互相
的面叫做棱柱的底面，简称底.?②棱柱的侧面：除底面外，其余各面叫做棱柱的侧面.③棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.?④棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
结构特征
①底面互相
.②侧面都是
.?③每相邻两个平行四边形的公共边互相
.
分类
①棱柱可以按底面的边数进行分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是几边形，这样的棱柱就叫做几棱柱.②按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做
，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做
.
2．棱锥的结构特征
定义
一般地，有一个面是
，其余各面都是有一个公共顶点的
，由这些面所围成的多面体叫做棱锥(pyramid).
图形及表示
①表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥.如图所示的四棱锥可表示为棱锥S?ABCD.②用顶点和底面多边形的一条对角线的相应字母表示棱锥（三棱锥除外）.如图所示的棱锥可记为四棱锥S?AC.
相关概念
①棱锥的底面：在棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底.
②棱锥的侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面.
③棱锥的顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
④棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
结构特征
①底面是
.
②侧面都是
.
③侧面有一个
.
分类
按底面的边数进行分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中，三棱锥又称为
.
注意：三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.
3．棱台的结构特征
定义
用一个
于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台(frustum
of
a
pyramid).
图形及表示
用表示底面各顶点的字母表示棱台.如图所示的四棱台可以表示为棱台ABCD?
A′B′C′D′.
相关概念
①棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，如上图所示，面A′B′C′D′为棱台的上底面，面ABCD为棱台的下底面.
②棱台的侧面：除上、下底面之外的其他各面叫做棱台的侧面，如上图所示，面ABB′A′，面BCC′B′，面CDD′C′，面ADD′A′都是棱台的侧面.
③棱台的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，如上图所示，棱AA′,棱BB′,棱CC′,棱DD′都是棱台的侧棱.④棱台的顶点：棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点，如上图所示，点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′都是棱台的顶点.
结构特征
①上、下底面互相
，且是
图形.
②各侧棱的延长线交于
.
③各侧面为
.?
分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……注意：由正棱锥截得的棱台叫做
.
4．圆柱的结构特征
定义
以
的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的
叫做圆柱(circular
cylinder).
图形及表示
圆柱可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′.
相关概念
①圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴.
②圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面.
③圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面.
④圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线.
注意：圆柱与棱柱统称为柱体.
结构特征
①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相
，且底面是圆面而不是圆.②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴
，所以圆柱的任意两条母线互相
.
③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的
.
5．圆锥的结构特征
定义
以
的一条
边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circular
cone).
图形及表示
圆锥可以用表示它的轴的字母表示，如图所示的圆锥可以表示为圆锥SO.
相关概念
①圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴，如上图所示，SO为圆锥的轴.
②圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，如上图所示，⊙O及其内部是圆锥的底面.
③圆锥的侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
④圆锥的母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线，如上图所示，SA,SB等都是圆锥的母线.⑤圆锥的顶点：母线的交点叫做圆锥的顶点，如上图所示，点S为圆锥的顶点.
注意：圆锥与棱锥统称为锥体.
结构特征
①底面是
.②有无数条母线，长度
且交于
.
③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的
.
6．圆台的结构特征
定义
用
圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台(frustum
of
a
cone).
图形及表示
圆台可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆台可以表示为圆台OO′.
相关概念
①圆台的下底面、上底面：原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面.
②圆台的轴：上、下底面圆心的连线所在的直线叫做圆台的轴.
③圆台的侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面.
④圆台的母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线.
注意：圆台和棱台统称为台体.
结构特征
①圆台上、下底面是互相
且
的圆面.
②有
条母线，
且延长线交于一点.
③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的
.
7．球的结构特征
定义
以半圆的
所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体(solid
sphere)，简称球.
图形及表示
可以用表示球心的字母表示球，上图所示的球可以表示为球O.
相关概念
①球心：半圆的
叫做球的球心.
②半径：半圆的
叫做球的半径.
③直径：半圆的
叫做球的直径.
8．简单组合体的结构特征
定义
由
、
、
、
等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到,图(2)中几何体由一个四棱柱与一个四棱锥组合而成,图(3)中几何体由一个三棱柱与一个三棱台组合而成.
②多面体与旋转体的组合体图(1)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到,图(2)中几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱得到,图(3)中几何体由一个球挖去一个三棱锥得到.?
③旋转体与旋转体的组合体图(1)中几何体由一个球体和一个圆柱组合而成,图(2)中几何体由一个圆台和两个圆柱组合而成,图(3)中几何体由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成.
知识参考答案：
二、1．平行
四边形
平行；平行；平行
平行四边形
平行；斜棱柱
正棱柱
2．多边形
三角形；多边形
三角形
公共顶点；四面体
3．平行；平行
相似
一点
梯形；正棱台
4．矩形
旋转体；平行
平行
平行且相等
矩形
5．直角三角形
直角；圆面
相等
顶点
等腰三角形
6．平行于；平行
不等
无数
等长
等腰梯形
7．直径；圆心
半径
直径
8．柱体
锥体
台体
球体
三、题型分析
(一)
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1．（1）某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．故选A.
（2）下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是
(写出所有真命题的编号)．
【答案】②④
【解析】因为必须是相邻的两个侧面垂直于底面，则四棱柱为直四棱柱．因此1错误
3中，也不符合直四棱柱的定义，排除，只有2,4符合定义，成立
【变式训练1】．判断下列命题的真假.
（1）四棱柱一定是平行六面体；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体；
（3）直平行六面体一定是长方体；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体.
【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题.
【解析】
（1）四棱柱一定是平行六面体，当四棱柱底面是梯形时不是平行六面体，假命题；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体，根据长方体的结构特征知正确，真命题；
（3）直平行六面体一定是长方体，当底面为平行四边形时不是长方体，假命题；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体，当侧棱与底面不垂直时不是长方体，假命题；
【变式训练2】．在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，
延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1
于H，
延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1
于G，可得截面五边形AHFEG．
∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，
∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH．
∴截面的周长为．故选D．
(二)
圆柱、圆锥、圆台的结构特征
例2．（1）下列命题：
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线相互平行．
其中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【答案】D
【解析】①所取的两点与圆柱的轴OO′两端点所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质，故正确．
考点：圆柱、圆台、圆锥母线的定义与性质.
（2）下列叙述正确的是（
）
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥．
⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台．
⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台．
⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线．
⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体．
A．①②③④⑤⑥⑧
B．①③④⑦⑧
C．①②⑤⑧
D．⑤
【思路分析】：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确的，必须能紧扣定义，而不是模棱两可地去作判断；如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可．
【解答过程】：如图所示，由图（1）可知①是错误的；由图（2）可知②③是错误的；由图（3）可知④是错误的；由图（4）可知⑥是错误的．
因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线．”是错误的，即⑦是不正确的．
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应该是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体．所以⑧是错误的．所以只有⑤是正确的．故应选D．
【变式训练1】．如图所示，正四棱台的高是17cm，上、下两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
【答案】这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为
【解析】
设棱台两底面的中心分别是点O和，，BC的中点分别是，E.连接，，，OB，，OE，则四边形，都是直角梯形，如图.
正方形ABCD中，∵，
∴，.
在正方形中，∵，
∴，.
在直角梯形中，
.
在直角梯形中，
.
故这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为.
【变式训练2】．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体内接于圆锥，求这个正方体的棱长.
【答案】
【解析】
过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽△VMN，所以=.
所以hx=2rh-2rx，
所以x==.
即圆锥内接正方体的棱长为.
【变式训练3】．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．
【答案】(1)
.
(2)
.
【解析】
（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接.
由已知可得上底半径，下底半径，且腰长，
∴，即圆台的高为.
（2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
(三)
球的结构特征
例3．（1）如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是 ( )
A．①③
B．①②
C．②④
D．②③
【答案】A
【解析】
（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如①图所示；
（2）棱长都相等的正三棱锥的棱和球心不可能在同一个面上，所以②是错误的；
（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如③图所示；
（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以④是错误的．
故选A．
（2）．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（
）
A．至多等于3
B．至多等于4
C．等于5
D．大于5
【答案】B
【解析】
考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
由三角形的两边之和大于三边，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故选B．
(四)
空间几何体的平面展开图
例4．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
圆锥的表面积是其侧面积与底面积之和,根据题意有侧面积是底面积的2倍.又因为圆锥的侧面展开图是扇形,其圆心角,半径为,且其弧长等于圆锥底面周长,所以,根据扇形面积公式有,代入,得.即圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，故选C.
【变式训练1】．圆台的上、下底面半径分别为、，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点（在下底面），求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为．
有图得：所求的最短距离是，设，圆心角是，则由题意知，
①，②，由①②解得，，，
∴，则．故绳子最短的长度为：．
（2）作垂直于交于，是顶点到的最短距离，
则是与弧的最短距离，，
即上底面圆周上各点到绳子的最短距离是．
(五)
空间几何体的综合问题
例5．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示：是对应线段的中点.易知：与相交，确定一个平面
，故在平面内，同理在平面内
故平面被此正方体所截得截面图形为正六边形，边长为
故选A
【变式训练1】．春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注；长方体点心盒的高小于长、宽.）
【答案】同意，详见解析
【解析】
设长方体点心盒子的长、宽、高分别为x，y，z，
依据是图（2）的捆扎方式，把彩绳的长度记作l，因为长方体的每个面上的那一段绳都与相交的棱垂直，故.
依据题图（1）的捆扎方式，绳长记作m.示意图如图，由三角形中两边之和大于第三边，得
，，，，
，，，
∴，即，即，因此，如题图（1）所示的捆扎方式节省材料.
四、迁移应用
1.有下列三组定义：
①有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
其中正确定义的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【思路点拨】从结构特征出发：棱台上、下两个底面平行且相似；棱锥侧面都是三角形且有一个公共顶点；棱柱上、下两个底面平行且侧面都是平行四边形，从而可快速得解.
2.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（
）
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．两个共底的圆锥
【答案】D
【思路点拨】本题考查旋转体的结构特征，熟练掌握旋转体的定义及旋转体的结构特征是解答本题的关键．
3.一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为，那么其内切球的半径为，外接球的半径为（正方体体对角线的一半）与各棱都相切的球的半径为（正方体面对角线的一半），所以比值是，故选C．
4.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是（
）
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
【答案】A
【解题必备】考查简单组合体的构成，就必须要明白该组合体是由简单几何体拼接、截去还是挖去一部分而成的，因此，要仔细观察简单组合体的组成，并充分结合柱、锥、台、球的几何结构特征进行识别.
5.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
6.如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①⑤
【错解】B
【错因分析】读题不准，上底面已挖去，截面就不会出现②的情况，另外，空间想象能力差且凭主观臆断，考虑不全面导致错解.
【正解】当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件.故截面图形可能是①⑤，选D．
7.如图所示，在长方体中，则在长方体表面上连接两点的所有曲线长度的最小值为__________．
【错解】
【错因分析】该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连接两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误．
88．小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：A、B、C、D、E、F，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A”相对的面所写的字母是哪一个？
【思路分析】：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将A格标明“上”，将B格标明“前”等等．
【解答过程】：为字母“E”
【解题后的思考】：本题突出考查了学生将正方体各面展开图复原为正方体的空间想象能力．
9．如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A，B，C对面的字母分别是（
）
A．D，E，F
B．F，D，E
C．E，F，D
D．E，D，F
【思路分析】：本题处理方法比较灵活，要将几个图结合起来一起分析．
【解答过程】：由（1）（2）两个图知，A与B，C，D相邻，结合第（3）个图知，B，C与F共顶点，所以A的对面为F，同理B，C的对面分别为D，E，故选择B．
【解题后的思考】：本题考查推理能力以及空间想象能力．也可先结合图（1）（3）进行判断．
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精品试卷·第
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