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突破1.2
空间几何体的三视图与直观图
【基础巩固】
1.（2018河北衡水压轴卷一）如图，在长方体中，点、分别为、的中点，则四棱锥的正视图与侧视图分别为
（
）
A.②，③
B.④，②
C.②，①
D.②，④
【答案】.D
【解析】由三视图的投影规则知，几何体在侧面上的投影为一直角三角形（直角在左边），的投影为一虚线，的投影为一实线，故正视图为②；几何体在侧面上的投影为一直角三角形（直角在右边），的投影为虚线，的投影为实线，故侧视图为④.故选D.
2．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：截去的三棱锥是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB，
所以将三棱锥补成长方体，其外接球相同，外接球的直径为长方体的体对角线，半径为：，外接球的表面积为：
故选A．
3．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是，如图2所示.其中，则该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由俯视图的直观图得俯视图为边长为4的正方形，所以几何体为底面为半圆（半径为2），高为4的半圆柱，其表面积为，选A.
4．（2020·四川省成都市树德中学高三二诊（理））如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，由题意，球的体积为，即可得球的半径为1，又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为，利用球的性质可得，又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为，所以球心到底面的距离为。
5．（2020·北京市平谷区高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】C
【解析】由三视图还原原几何体如图，
其中，，为直角三角形.
∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3，故选C。
6．（2020届博雅闻道高三联合质量评测）某设备组件的三视图如图所示（图中单元格的单位为1），则此组件的体积为（
）
A．8
B．6
C．
D．
【答案】C
【解析】由三视图可得,利用割补法，将该组件分割为一个三棱柱和一个四棱锥，
则体积，故选C。
7．（2020届湖北省宜昌市高三调研）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为、、，在此几何体中，平面过点M且与直线垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，原几何体是一个正三棱柱，上中点，取中点，连接，连接，由三视图知是正方形，
，又分别是中点，∴，
∴，正三棱柱中，平面，平面，故，
又，，则可得平面，平面，∴，
又，∴平面，即为截面，
同理由平面得，由三视图得，，
，故选A。
8．（2020届湖南省永州市高三第三次模拟）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为(
)
A．3
B．3.4
C．3.8
D．4
【答案】D
【解析】由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为和一个底面半径为，高为的圆柱组合而成，该几何体的表面积为，解得，故选D。
9．（2020届全国名校高三模拟）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；
则该组合体的体积为；
所以对应不规则几何体的体积为，故选B。
10．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这
个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
．
【答案】．
【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的，得，所以，则小圆锥的高为，大圆锥的高为，所以比值为．
【能力提升】
11．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（
）
A．36
B．45
C．54
D．63
【答案】C
【解析】作出该几何体的直观如图，两个直四棱柱的组合体
。
12．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4，高为4的正三棱柱，则上半部分的半个圆锥的体积，下半部分的正三棱柱的体积，故该几何体的体积
13．（2020·吉林省高三二模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为
，故选A。
14．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对
应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路
径的长度为（
）
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16．画出该圆柱的侧
面展开图，如图②所示，连接，则，，则从到的路径中，最短路径的长度为
．故选B．
【高考真题】
15．（2019年高考北京卷理数）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果
网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
【答案】40
【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体，
则几何体的体积.
【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
16.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小
正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
【解析】
三视图对应的几何体，是在棱长为4的正方体上，去掉一个底面为梯形(上底为2，下底为4，高为2)、高为4的四棱柱而得到，故其体积
17．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图
中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带
卯眼的木构件的俯视图可以是（
）
【答案】．A
【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的
位置知选A．
18．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】．C
【解析】解法一
将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如
图所示，
易知，，，，，平面，故，为直角三角形，∵平面，平面，，又，且，∴平面，又平面．，∴为直角三角形，容易求得，，，故不是直角三角形，故选C．
解法二
在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C．
19．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余
部分体积的比值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．D
【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为，故所求比值为．
20．（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥，表面积为．
21．（2014新课标1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面
体的个条棱中，最长的棱的长度为（
）
A．
B．6
C．
D．4
【答案】．B
【解析】如图，
设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥，最长的棱为，选B．
22．（2014新课标2）如图，网格纸上正方形小格的边长
为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三
视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯
体积的比值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．C
【解析】原毛坯的体积，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积，故所求比值为．
23．（2014江西）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是
【答案】．B
【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
24．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为
【答案】．D
【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为D．
25．（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
．
【答案】．．
【解析】由题意可知直观图如图所示，
结合三视图有平面，，，
，所以，，
∴三棱锥最长棱的棱长为．
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空间几何体的三视图与直观图
【基础巩固】
1.（2018河北衡水压轴卷一）如图，在长方体中，点、分别为、的中点，则四棱锥的正视图与侧视图分别为
（
）
A.②，③
B.④，②
C.②，①
D.②，④
2．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于
（
）
A．
B．
C．
D．
3．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是，如图2所示.其中，则该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·四川省成都市树德中学高三二诊（理））如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·北京市平谷区高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．0
6．（2020届博雅闻道高三联合质量评测）某设备组件的三视图如图所示（图中单元格的单位为1），则此组件的体积为（
）
A．8
B．6
C．
D．
7．（2020届湖北省宜昌市高三调研）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为、、，在此几何体中，平面过点M且与直线垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020届湖南省永州市高三第三次模拟）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为(
)
A．3
B．3.4
C．3.8
D．4
9．（2020届全国名校高三模拟）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积
是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
．
【能力提升】
11．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（
）
A．36
B．45
C．54
D．63
12．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·吉林省高三二模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
14．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对
应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路
径的长度为（
）
【高考真题】
15．（2019年高考北京卷理数）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果
网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
16.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小
正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
17．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图
中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带
卯眼的木构件的俯视图可以是（
）
18．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
19．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余
部分体积的比值为（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
21．（2014新课标1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面
体的个条棱中，最长的棱的长度为（
）
A．
B．6
C．
D．4
22．（2014新课标2）如图，网格纸上正方形小格的边长
为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三
视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯
体积的比值为（
）
A．
B．
C．
D．
23．（2014江西）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是
24．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为
25．（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
．
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