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专题1.3
空间几何体表面积与体积重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积】
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之
,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个
、
、
所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和.
（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有
和
展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：
，，.
3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积
（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为
(c为底面周长，h为侧棱长).
（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为
(c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高).
（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形.如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为
(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高,即侧面等腰梯形的高).
【知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积】
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
S底=_____
S底=πr2
S上底=πr′2，S下底=πr2
侧面面积
S侧=2πrl
S侧=_____
S侧=πl(r′+r)
表面积
S表=2πr(r+l)
S表=πr(r+l)
S表=____________
【知识点三、柱体、椎体、台体的体积】
1．柱体、椎体、台体的高
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的
即圆柱的高.
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
（3）棱台（圆台）的高是指两个
之间的距离.
2．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体
V柱体=
(S为底面面积，h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)
锥体
V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥=
(r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
【知识点四、组合体的表面积与体积】
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.
求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
K知识参考答案：
一、1．和
2．平行四边形
三角形
梯形
侧面
底面
3．ch
ch′
(c+c′)h′
二、πr2
πrl
π(r′2+r2+r′l+rl)
三、1．母线
底面
2．Sh
πr2h
三、题型分析
(一)
柱体的表面积与体积
例1．（2020·河南省安阳市高三一模（理）将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，
所以.∴，
当时，的最大值为。
例2.（2018广东肇庆三模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】该几何体的直观图如图所示，即该几何体是将棱长为的正方体截去三棱锥后得到的几何体，所以其体积.故选D.
【变式训练1】.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称
为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体
的三视图如图所示，则该柱体的体积是
（
）
A．158
B．162
C．182
D．32
【解析】：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，
即，高为6，
则该柱体的体积是．故选B．
(二)
椎体的表面积与体积
例3．（2020·吉林省高三二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为
，故选A。
例4.（2018东北三省四市二模）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.A
【解析】该几何体是一个直三棱柱，底面是直角三角形.根据三视图的知识可得，解得，则直三棱柱的底面直角边的长分别为，，直三棱柱的高为，所以其表面积为.故选A.
【变式训练1】.（2018乌鲁木齐5月适应性训练）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.D
【解析】由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为，所以几何体的体积是：．故选D．
【变式训练2】.（2018四川南充二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（
）
题图
解答图
A.
B.
C.
D.
【答案】.B
【解析】由题意作图如右，与是全等的直角三角形，其中，，故，是等腰直角三角形，，
故，是等腰三角形，，，
故点到的距离，故，故表面积.故选B.
(三)
组合体的表面积与体积
例5．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为
A．16
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，
正方体的内切球的体积，
又由已知，。
例6．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4，高为4的正三棱柱，则上半部分的半个圆锥的体积，下半部分的正三棱柱的体积，故该几何体的体积。
【变式训练1】．（2020·陕西省西安中学高三三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．816
B．40
C．824
D．48
【答案】A
【解析】由题意可知几何体的中间是正方体，上下是两个相同的正四棱锥，如图：
正方体的棱长为2，棱锥的高为3，所以几何体的表面积为：。
(四)
球的表面积与体积
例7．（2020·陕西省高三教学质量检测一（理））某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则棱长为a的正方体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积，解得，则正方体的棱长为2，则其外接球的直径，所以棱长为2的正方体外接球的表面积。
例8.（2018河北唐山二模）如下图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.C
【解析】由题意知该几何体是球被切割后剩下的，所以它的表面积由三个部分组成，所以
故选C.
四、迁移应用
1.已知矩形中，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为，则与的比值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【名师点睛】旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用，多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
2.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为_______，体积为______.
【答案】
【解析】由三视图还原原几何体如图，
由此可知该几何体为三棱锥，底面三角形为直角三角形，侧棱为高，
由，可得，由，可得，
∴该几何体的表面积为，则该三棱锥的体积为．故答案为；．
【名师点睛】（1）本题考查由三视图还原几何体并求几何体的表面积、体积，求解的关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
（2）求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形的应用.
3.已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高（
）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】如图．
【思路点拨】欲求棱台的高，根据题目中给出的侧面积和上、下底面面积的关系，可列等式求得侧面斜高，进而求出棱台的高．
4.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.＋π
B.＋π
C.＋2π
D.＋2π
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.
答案 A
6.
（2018年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】C
【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C。
7.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
B.
C.D.
【答案】A
【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．8
B．
C．
D．4
【答案】A
【方法点睛】（1）求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
（2）需要注意：求组合体的表面积，并不是简单几何体的表面积的和，因其接合部分并不裸露在表面；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用等积法、分割法、补形法等进行求解.
9.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（
）
A．21+
B．18+
C．21
D．18?
【错解】B或C或D
【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分，B项计算三角形面积时出错；截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分,即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.
10.（2018湖南郴州二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
【答案】.
【解析】由三视图可知，该几何体由四分之三的圆柱与三棱锥组成，所以，该几何体的体积为
.
11.（2018河北唐山二模）在四棱锥中，
底面，底面是正方形，，三棱柱的顶点都位于四棱锥的棱上，已知分别是棱的中点，则三棱柱的体积为_________．
【答案】.
【解析】由题得是中点，
是中点，
是中点，，，且，所以三棱柱的底面积为.
由题得正方形的对角线长，三棱柱的高为，
所以三棱柱的体积为.
12.（2018广东东莞二模）已知几何体是平面截半径为的球所得较大部分，是截面圆的内接三角形，，点是几何体的表面上一动点，且在圆上的投影在圆的圆周上，，则三棱锥的体积的最大值为__________．
【答案】.
【解析】因为在圆上的投影在圆的圆周上，所以点所在的圆周面和圆面关于球心对称，即点到平面的距离为，设截面圆的半径为，其内接三角形的一个锐角为，因为，，所以，则，所以三棱锥的体积的最大值为.
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空间几何体表面积与体积重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积】
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之
,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个
、
、
所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和.
（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有
和
展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：
，，.
3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积
（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为
(c为底面周长，h为侧棱长).
（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为
(c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高).
（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形.如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为
(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高,即侧面等腰梯形的高).
【知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积】
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
S底=_____
S底=πr2
S上底=πr′2，S下底=πr2
侧面面积
S侧=2πrl
S侧=_____
S侧=πl(r′+r)
表面积
S表=2πr(r+l)
S表=πr(r+l)
S表=____________
【知识点三、柱体、椎体、台体的体积】
1．柱体、椎体、台体的高
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的
即圆柱的高.
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
（3）棱台（圆台）的高是指两个
之间的距离.
2．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体
V柱体=
(S为底面面积，h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)
锥体
V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥=
(r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
【知识点四、组合体的表面积与体积】
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.
求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
三、题型分析
(一)
柱体的表面积与体积
例1．（2020·河南省安阳市高三一模（理）将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________.
例2.（2018广东肇庆三模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称
为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体
的三视图如图所示，则该柱体的体积是
（
）
A．158
B．162
C．182
D．32
(二)
椎体的表面积与体积
例3．（2020·吉林省高三二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
例4.（2018东北三省四市二模）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】.（2018乌鲁木齐5月适应性训练）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（
）
A.
B.
C.
D.
、
【变式训练2】.（2018四川南充二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（
）
B.
C.
D.
(三)
组合体的表面积与体积
例5．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为
A．16
B．
C．
D．
例6．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2020·陕西省西安中学高三三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．816
B．40
C．824
D．48
(四)
球的表面积与体积
例7．（2020·陕西省高三教学质量检测一（理））某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则棱长为a的正方体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
例8.（2018河北唐山二模）如下图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
四、迁移应用
1.已知矩形中，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为，则与的比值等于（
）
A．
B．
C．
D．
2.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为_______，体积为______.
3.已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高（
）
A．2
B．
C．3
D．
4.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.＋π
B.＋π
C.＋2π
D.＋2π
6.
（2018年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
B.
C.D.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．8
B．
C．
D．4
9.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（
）
A．21+
B．18+
C．21
D．18?
10.（2018湖南郴州二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
11.（2018河北唐山二模）在四棱锥中，
底面，底面是正方形，，三棱柱的顶点都位于四棱锥的棱上，已知分别是棱的中点，则三棱柱的体积为_________．
12.（2018广东东莞二模）已知几何体是平面截半径为的球所得较大部分，是截面圆的内接三角形，，点是几何体的表面上一动点，且在圆上的投影在圆的圆周上，，则三棱锥的体积的最大值为__________．
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