2019-2020学年江西省宜春市重点高中高二下学期期末（文科）数学试卷 （解析版）

2019-2020学年江西省宜春市重点高中高二第二学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合A∩B的子集个数为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．若复数z1对应复平面内的点（2，3），且z1?z2＝1+i，则复数z2的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．“lna＞lnb”是“＜”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a8是方程x2﹣4x﹣3＝0的两根，则S9＝（　　）
A．18 B．8 C．9 D．36
5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　）
A． B．cosx﹣cosy＜0
C． D．lnx+lny＞0
6．执行如图的程序框图，最后输出结果为8．若判断框填入的条件是s≥a，则实数a的取值范围是（　　）
A．（21，28] B．[21，28） C．（28，36] D．[28，36）
7．下列命题中是真命题的个数是（　　）
（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行
（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行
（4）两条直线能确定一个平面
（5）垂直于同一个平面的两个平面平行
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若函数f（x）＝excosx在点（0，f（0））处的切线与直线2x﹣ay+1＝0互相垂直，则实数a等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
9．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设＝，＝，＝x+y，则+的最小值为（　　）
A．6+2 B．9 C．9 D．6+4
10．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（　　）
A．2 B．2+2 C．2+4 D．2+4
11．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，，根据这些信息，可得sin234°＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
12．已知函数f（x）＝2sinωxcos2（）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，] B．[] C．（] D．（）
二、填空题．本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量＝（﹣2，1），＝（4，3），＝（﹣1，λ），若（+）∥，则λ＝　 　．
14．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点 A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点 P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是　 　．
15．设m＞﹣1，函数f（x）＝x2﹣3mx+2m2+1（x＜m），若存在θ≠+kπ，使得f（sinθ）＝f（cosθ），则m的取值范围是　 　．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，A＝2B，则c＝　 　．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步。第17～21题为必考题，每题12分。第22、23题为选考题，考生根据要求作答，每题10分。
17．已知公差不为零的等差数列{an}满足a5＝10，且a1，a3，a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．
18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．
（1）求证：AB1⊥CC1；
（2）若AB1＝，求四棱锥A﹣BB1C1C的体积．
19．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：
考试分数 [85，95） [95，105） [105，115） [115，125） [125，135） [135，145]
频数 5 10 15 5 10 5
赞成人数 4 6 9 3 6 4
（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
参考公式及数据：．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4的焦点重合，且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM、l、ON的斜率与k1，k，k2点成等比数列，求直线l的斜率及|OM|2+|ON|2的值．
21．设函数f（x）＝xex+a（1﹣ex）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）有零点，证明：a＞2．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知不等式|x﹣2|+|3x+1|≤5的解集为[a，b]．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）若x＞0，y＞0，4bx+y+a＝0，求证：x+y≥9xy．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合A∩B的子集个数为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈Z}＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，
集合B＝{x|x＞0}，
∴A∩B＝{1，2，3}，
∴集合A∩B的子集个数为23＝8．
故选：D．
2．若复数z1对应复平面内的点（2，3），且z1?z2＝1+i，则复数z2的虚部为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，z1＝2+3i，
又z1?z2＝1+i，∴，
则复数z2的虚部为﹣．
故选：C．
3．“lna＞lnb”是“＜”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由lna＞lnb?a＞b＞0?＜，
反之，由＜，不一定得到lna＞lnb，如a＝﹣1，b＝1，此时﹣1不能取对数．
∴“lna＞lnb”是“＜”的充分不必要条件．
故选：A．
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a8是方程x2﹣4x﹣3＝0的两根，则S9＝（　　）
A．18 B．8 C．9 D．36
解：∵a2，a8是方程x2﹣4x﹣3＝0的两根，
∴a2+a8＝4．
由等差数列的性质可得：a1+a9＝4．
则S9＝＝＝18．
故选：A．
5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　）
A． B．cosx﹣cosy＜0
C． D．lnx+lny＞0
解：A．∵x＞y＞0，∴x﹣y﹣（﹣）＝（x﹣y）?＞0，∴x﹣y＞﹣，因此正确；
B．取x＝4π+，y＝2π+，则cosx﹣cosy＞0，因此不正确；
C．∵x＞y＞0，∴＞，∴﹣＞0，因此不正确；
D．取x＝，y＝，则lnx+lny＝﹣3＜0，因此不正确．
故选：A．
6．执行如图的程序框图，最后输出结果为8．若判断框填入的条件是s≥a，则实数a的取值范围是（　　）
A．（21，28] B．[21，28） C．（28，36] D．[28，36）
解：k＝1，s＝0，
①次条件不满足，s＝1，k＝2；
②次循环条件不满足，s＝3，k＝3；
③次循环条件不满足，s＝6，k＝4；
④次循环条件不满足，s＝10，k＝5；
⑤次循环条件不满足，s＝15，k＝6；
⑥次循环条件不满足，s＝21，k＝7；
⑦次循环条件不满足，s＝28，k＝8；
满足条件，退出循环．∴21＜a≤28．
故选：A．
7．下列命题中是真命题的个数是（　　）
（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行
（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行
（4）两条直线能确定一个平面
（5）垂直于同一个平面的两个平面平行
A．0 B．1 C．2 D．3
解：对于（1），空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，
如正方体中共点的三条棱两两互相垂直，∴（1）错误；
对于（2），空间中与同一个平面夹角相等的两条直线不一定互相平行，
如图1所示；
直线m、n与平面γ所成的角相等，但m、n不平行，∴（2）错误；
对于（3），平行于同一个平面的两条直线不一定互相平行，
如两平面平行的判定定理中的两条相交直线，∴（3）错误；
对于（4），两条直线不一定能确定一个平面，
如两条异面直线不能确定一个平面，∴（4）错误；
对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，
如正方体的相邻两个侧面与底面垂直，但这两个侧面不平行，∴（5）错误；
综上，以上命题真命题的个数为0．
故选：A．
8．若函数f（x）＝excosx在点（0，f（0））处的切线与直线2x﹣ay+1＝0互相垂直，则实数a等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
解：∵f（x）＝excosx，∴f′（x）＝excosx﹣exsinx，
∴f′（0）＝e0cos0﹣e0sin0＝1，
又函数f（x）＝excosx在点（0，f（0））处的切线与直线2x﹣ay+1＝0互相垂直，
∴1×，即a＝﹣2．
故选：A．
9．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设＝，＝，＝x+y，则+的最小值为（　　）
A．6+2 B．9 C．9 D．6+4
解：∵F在线段CD上，＝x+y＝+y，
∴2x+y＝1．x，y＞0．
∴+＝（2x+y）＝6+＝6+4，当且仅当y＝2x＝2﹣时取等号．
故选：D．
10．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（　　）
A．2 B．2+2 C．2+4 D．2+4
解：由题意可得b＝1，c＝，
即有e＝＝，
可得a＝，c＝2，
P为双曲线右支上一点，
可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，
可得|PF1|+|PF2|＝2，
则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，
故选：C．
11．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC中，，根据这些信息，可得sin234°＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
解：由图可知，∠ACB＝72°，且cos72°＝＝．
∴cos144°＝2cos272°﹣1＝﹣．
则sin234°＝sin（144°+90°）＝cos144°＝﹣．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝2sinωxcos2（）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，] B．[] C．（] D．（）
解：∵2cos2（）＝1+cos（ωx﹣）＝1+sinωx，
f（x）＝sinωx（1+sinωx）﹣sin2ωx＝sinωx．
令ωx＝+2kπ可得x＝+，
∵f（x）在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，
∴0≤≤π，解得ω≥．
令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，解得：﹣+≤x≤+，
∵f（x）在区间[]上是增函数，
∴，解得ω≤．
综上，．
故选：B．
二、填空题．本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量＝（﹣2，1），＝（4，3），＝（﹣1，λ），若（+）∥，则λ＝　﹣2　．
解：由题，，，
∵（+）∥，
∴2λ＝﹣4，
λ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点 A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点 P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是　[4，6]　．
解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，
再由∠APB＝90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO＝AB＝m，
故有4≤m≤6，
故答案为：[4，6]．
15．设m＞﹣1，函数f（x）＝x2﹣3mx+2m2+1（x＜m），若存在θ≠+kπ，使得f（sinθ）＝f（cosθ），则m的取值范围是　﹣＜m＜0　．
【解答】解；由题意可知，因为，，解得，
故答案为：．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，A＝2B，则c＝　　．
解：由正弦定理可知，进而．
又由余弦定理可得，所以，解得（另一负根舍去）．
故答案为：．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步。第17～21题为必考题，每题12分。第22、23题为选考题，考生根据要求作答，每题10分。
17．已知公差不为零的等差数列{an}满足a5＝10，且a1，a3，a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．
解：（1）由题意，设公差为d，则
∴
∵d≠0，∴a1＝2，d＝2
∴an＝2+（n﹣1）×2＝2n；
（2）由（1）知，
∴＝
∴数列的前n项和Tn＝（1﹣）+（）+…+（）＝＝．
18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．
（1）求证：AB1⊥CC1；
（2）若AB1＝，求四棱锥A﹣BB1C1C的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，CB1，
则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．
取CC1中点O，连接OA，OB1，则
CC1⊥OA，CC1⊥OB1，
又AO∩B1O＝O，
∴CC1⊥平面OAB1，
∴CC1⊥AB1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，
∴，
∴OA⊥OB1．
又OA⊥CC1，OB1∩CC1＝O，
∴OA⊥平面BB1C1C．
S□BB1C1C＝BC×BB1 sin60°＝2，
故VA﹣BB1C1C＝S□BB1C1C×OA＝2．
19．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：
考试分数 [85，95） [95，105） [105，115） [115，125） [125，135） [135，145]
频数 5 10 15 5 10 5
赞成人数 4 6 9 3 6 4
（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
参考公式及数据：．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
解：（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%＝15，
由表中数据知，优秀分数线应定为125分．
（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有50×0.3＝15人，其中“赞成的”有10人；
测试成绩不优秀的学生有50﹣15＝35人，其中“赞成的”有22人；
填写2×2列联表如下：
赞成 不赞成 合计
优秀 10 5 15
不优秀 22 13 35
合计 32 18 50
计算，
因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4的焦点重合，且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM、l、ON的斜率与k1，k，k2点成等比数列，求直线l的斜率及|OM|2+|ON|2的值．
解：（1）依题意得c＝，＝，得a＝2，
又a2﹣b2＝3得b＝1，
∴椭圆C的方程为+y2＝1．
（2）设直线l的方程为y＝kx+m，（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），
由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
由题设知k2＝k1k2＝＝＝k2+，
∴km（x1+x2）+m2＝0，∴﹣+m2＝0，
∵m≠0，∴k2＝，k＝±
此时（x1+x2）2＝（）2＝4m2，x1x2＝＝2（m2﹣1），
则|OM|2+|ON|2＝x12+y12+x22+y22＝x12+1﹣x12+x22+1﹣x22＝×（x12+x22）+2＝×[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2＝×[4m2﹣4（m2﹣1）]+2＝5，
故直线l的斜率为k＝±，|OM|2+|ON|2＝5．
21．设函数f（x）＝xex+a（1﹣ex）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）有零点，证明：a＞2．
【解答】（I）解：f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]ex，∴x＞a﹣1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上单调递增；x＜a﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，a﹣1）上单调递减．
（II）证明：函数f（x）在（0，+∞）有零点，可得方程f（x）＝0有解．
∴a＝＝＝x+，有解．
令g（x）＝x+，g′（x）＝1+＝．
设函数h（x）＝ex﹣x﹣2，h′（x）＝ex﹣1＞0，
∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）＝e﹣3＜0，h（2）＝e2﹣4＞0．
∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴存在x0∈（1，2），
当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0．
∴函数g（x）存在唯一最小值x0，满足＝x0+2．
∴g（x0）＝x0+＝x0+1∈（2，3）．
∵a＝g（x）＝x+，有解．
∴a≥g（x0）＞2．
∴a＞2．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值．
解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），
转换为直角坐标方程为：，
转换为极坐标方程为：．
（2）由（1）不妨设，
故：＝8||＝．
所以：△MON面积的最大值为4．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知不等式|x﹣2|+|3x+1|≤5的解集为[a，b]．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）若x＞0，y＞0，4bx+y+a＝0，求证：x+y≥9xy．
解：（Ⅰ）原不等式等价于或或，
解得﹣1≤x＜或≤x≤1，即﹣1≤x≤1，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴a+b＝0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x＞0，y＞0，4x+y＝1，
∴＝+＝（+）（4x+y）＝+5+≥5+2+5＝9，
当且仅当x＝，y＝时取等号，
∴x+y≥9x．