2019-2020学年江西省上饶市高二下学期期末（理科）数学试卷 （解析版）

2019-2020学年江西省上饶市高二第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．复数的虚部为（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．已知命题＜0，则￢p为（　　）
A．?x∈R，ex＞0 B．?x∈R，ex≥0 C．?x∈R，ex＞0 D．?x∈R，ex≥0
3．已知向量，，．若，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
4．如图所示，曲线y＝x2﹣1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．双曲线﹣y2＝1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（　　）
A． B． C． D．1
6．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．下列点在曲线（θ为参数）上的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知α，β是两个不同的平面，直线l?α，则“l∥β”是“α∥β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知P与Q分别为函数2x﹣y+6＝0与函数y＝2lnx+2的图象上一点，则线段|PQ|的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
10．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得x，类似地可得到正数＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，E，F分别为A1C1和A1B1的中点，当AE和BF所成角的余弦值为时，AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C．或 D．
12．函数f（x）＝ex﹣2﹣e﹣x+2+asin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13．已知＝2，＝3，＝4，…，类比这些等式，若＝8（a，b均为正整数），则a+b＝　 　
14．﹣cosxdx＝　 　．
15．命题p：?x∈[﹣1，1]，使得2x＜a成立；命题q：?x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为　 　．
16．已知P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M，N满足，若．则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C1的参数方程和l的直角坐标方程；
（2）已知P是C2上参数对应α＝π的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线l的距离的最大值．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．
（1）求p，m的值；
（2）过点P（1，1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程．
19．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值1．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值（ln2≈0.6931）．
20．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2，∠ABC＝60°．
（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；
（2）求二面角C﹣PE﹣D的余弦值．
21．设椭圆，右顶点是，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx+m与C交于M，N两点（l不经过D点），且MD⊥ND，证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标．
22．已知函数f（x）＝2mlnx+x2﹣4x（m∈R）．
（1）当m＝﹣3，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．复数的虚部为（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
解：∵＝，
∴复数的虚部为1．
故选：C．
2．已知命题＜0，则￢p为（　　）
A．?x∈R，ex＞0 B．?x∈R，ex≥0 C．?x∈R，ex＞0 D．?x∈R，ex≥0
解：命题为特称命题，则命题的否定为?x∈R，ex≥0
故选：B．
3．已知向量，，．若，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
解：因为向量，，，
所以﹣＝（﹣2，3，1）；
又，
所以?（﹣）＝0，
即﹣2×（﹣2）+3x+2×1＝0，
解得x＝﹣2．
故选：A．
4．如图所示，曲线y＝x2﹣1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由题意S＝＝，
故选：A．
5．双曲线﹣y2＝1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（　　）
A． B． C． D．1
解：双曲线﹣y2＝1的a＝2，b＝1，
可得右顶点为（2，0），一条渐近线方程为y＝x，
即为x﹣2y＝0，
可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为
d＝＝．
故选：A．
6．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（　　）
A． B． C． D．
解：极坐标系中，点根据转换为直角坐标为（﹣1，）．
圆ρ＝2cosθ转换为直角坐标方程为x2+y2＝2x，整理成标准式为（x﹣1）2+y2＝1所以圆心坐标为（1，0），
所以根据两点间的距离公式d＝．
故选：A．
7．下列点在曲线（θ为参数）上的是（　　）
A． B． C． D．
解：曲线（θ为参数），根据y2＝cos2θ+2sinθcosθ+sin2θ，整理得y2＝x+1．
当x＝时，解得y＝，其余的坐标都不满足该曲线方程，
故选：D．
8．已知α，β是两个不同的平面，直线l?α，则“l∥β”是“α∥β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由α，β是两个不同的平面，直线l?α，知：
“l∥β”?“α与β相交或平行”，
“α∥β”?“l∥β”．
∴α，β是两个不同的平面，直线l?α，则“l∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
故选：B．
9．已知P与Q分别为函数2x﹣y+6＝0与函数y＝2lnx+2的图象上一点，则线段|PQ|的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
解：设与直线2x﹣y+6＝0平行，且与函数y＝2lnx+2相切的直线为l：2x﹣y+m＝0，
由于函数y＝2lnx+2的导数为y′＝，令＝2，求得x＝1，
故切点为（1，2），代入切线l的方程得 2﹣2+m＝0，故m＝0，
故切线l的方程为2x﹣y＝0．
直线l与直线2x﹣y+6＝0之间的距离为 ＝，
故线段|PQ|的最小值为，
故选：C．
10．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得x，类似地可得到正数＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：设x＝，则，解得x＝1或﹣2（舍负）．
故选：D．
11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，E，F分别为A1C1和A1B1的中点，当AE和BF所成角的余弦值为时，AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C．或 D．
解：设AA1＝t，以B为原点，以垂直于BC的直线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（，1，0），E（，，t），B（0，0，0），F（，，t），
＝（﹣，，t），＝（，，t），
∵AE和BF所成角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|＝＝＝，
解得t＝1或t＝．
∴＝（﹣，，1），或＝（﹣，，），
平面BCC1B1的法向量＝（1，0，0），
∴AE与平面BCC1B1所成角α的正弦值为：
sinα＝＝或sinα＝＝．
故选：C．
12．函数f（x）＝ex﹣2﹣e﹣x+2+asin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
解：函数f（x）＝ex﹣2﹣e﹣x+2+asin（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，
等价于函数φ（x）＝asin，g（x）＝e2﹣x﹣ex﹣2只有唯一一个交点，
∵φ（2）＝0，g（2）＝0，
函数φ（x）＝asin与函数g（x）＝e2﹣x﹣ex﹣2唯一交点为（2，0），
又因为g′（x）＝﹣e2﹣x﹣ex﹣2＜0，
可得函数φ（x）＝asin与函数g（x）＝e2﹣x﹣ex﹣2的大致图象如图：
要使函数φ（x）＝asin与函数g（x）＝e2﹣x﹣ex﹣2有唯一交点，则φ′（2）?g′（2），
∵，
所以，解得，
又因为a＞0，
所以实数a的取值范围为．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13．已知＝2，＝3，＝4，…，类比这些等式，若＝8（a，b均为正整数），则a+b＝　71　
解：已知＝2，＝3，＝4，…，归纳得，
所以＝8，故，
所以a＝8，b＝63．
故a+b＝71．
故答案为：71
14．﹣cosxdx＝　　．
解：由于y＝，
根据单位圆的几何意义，该定积分表示的是：
所以：．
cosxdx＝，
所以．
故答案为：．
15．命题p：?x∈[﹣1，1]，使得2x＜a成立；命题q：?x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为　（﹣∞，]∪[2，+∞）　．
解：根据题意，对于命题p，若x∈[﹣1，1]，则≤2x≤2，若?x∈[﹣1，1]，使得2x＜a成立，则a＞；
对于q，x∈（0，+∞），ax＜x2+1即a＜＝x+，又由x+≥2，当且仅当x＝1时等号成立，若：?x∈（0，+∞），不等式ax＜x2+1恒成立，必有a＜2；
若命题p∧q为假，p∨q为真，分2种情况讨论：
若p真q假，即，此时a的取值范围为[2，+∞），
若p假q真，即，此时a的取值范围为（﹣∞，]，
综合可得：a的取值范围为（﹣∞，]∪[2，+∞）；
故答案为：（﹣∞，]∪[2，+∞）
16．已知P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M，N满足，若．则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为　64π　．
解：∵＝μ（），∴PN是∠MPF2的角平分线，
又，∴延长F2N交PM于K，则PN是△PF2K的角平分线，又是高线，
∴|PK|＝||＝4?PF1＝12，F1K＝16．
ON是△F1F2K的中位线，∴ON＝．
∴则以O为圆心，ON为半径的圆的面积为πR2＝64π．
故答案为：64π．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C1的参数方程和l的直角坐标方程；
（2）已知P是C2上参数对应α＝π的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线l的距离的最大值．
解：（1）曲线C1的普通方程为，
转换为C1的参数方程为（β为参数）．
l直线l的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为x﹣y＝0．
（2）曲线C2参数方程为为参数），由θ＝π可知P（﹣3，﹣1））
由（1）可设，
于是．
M到直线l距离，
当时，d取最大值．
18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．
（1）求p，m的值；
（2）过点P（1，1）作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程．
解：（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：p＝2，
∴C：y2＝4x，∴m2＝2×4＝8，解得：．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，两式作差得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），
∴．
∵P（1，1）为AB的中点，∴y1+y2＝2，∴kl＝2，
∴直线l的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），
即2x﹣y﹣1＝0．
19．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值1．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值（ln2≈0.6931）．
解：（1）由题可知，f（x）＝ax2+blnx，f（x）的定义域为（0，+∞），∴，……………………（1分）
由于f（x）在x＝1处有极值1，
则，即，……………………
解得：a＝1，b＝﹣2．……………………
（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣2lnx，其定义域是（0，+∞），，……………………
令f'（x）＝0，而x＞0，解得x＝1，……………………
由f'（x）＜0，得0＜x＜1；由f'（x）＞0，得x＞1，……………………
则在区间上，x，f'（x），f（x）的变化情况表如下：
x

1 （1，2） 2
f'（x）
﹣ 0 +
f（x）
单调递减 1 单调递增 4﹣2ln2
可得f（x）min＝f（1）＝1，……………………
∵，f（2）＝4﹣2ln2，
由于，则，
所以f（x）max＝f（2）＝4﹣2ln2，……………………
∴函数f（x）在区间上的最大值为4﹣2ln2，最小值为1．……………………
20．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2，∠ABC＝60°．
（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；
（2）求二面角C﹣PE﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．
∵O，F分别为AC，PC的中点，
∴OF∥PA，且，
∵DE∥PA，且，
∴OF∥DE，且OF＝DE．
∴四边形OFED为平行四边形，得OD∥EF，即BD∥EF．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
∵BD∥EF，∴EF⊥平面PAC．
∵FE?平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE．
（2）解：∵∠ABC＝60°．
∴AC＝AB，故△ABC为等边三角形．
设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC．
以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
则P（0，0，2），，E（0，2，1），D（0，2，0），
，，
设平面PCE的法向量为，
则，即，令y1＝1，得．
平面PDE的一个法向量为，
设二面角C﹣PE﹣D的大小为θ，由于θ为锐角，
∴cosθ＝|cos＜＞|＝＝．
故二面角C﹣PE﹣D的余弦值为．
21．设椭圆，右顶点是，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx+m与C交于M，N两点（l不经过D点），且MD⊥ND，证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标．
【解答】（1）解：右顶点是，离心率为，
所以，
∴c＝1，则b＝1，
∴椭圆的标准方程为．
（2）证明：由已知得D（0，1），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
当△＞0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
，，
由MD⊥ND得＝x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，
即，
所以3m2﹣2m﹣1＝0，解得m＝1或，
①当m＝1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去．
②当时，显然有△＞0，直线l经过定点．
22．已知函数f（x）＝2mlnx+x2﹣4x（m∈R）．
（1）当m＝﹣3，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当m＝﹣3时，f（x）＝﹣6lnx+x2﹣4x，定义域为（0，+∞），
，
令f'（x）＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3．
当x∈（0，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，3）上单调递减；
当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上单调递增．
综上所述，
f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．
（2），x＞0，
∵函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴方程x2﹣2x+m＝0有两个不等正根，
∴，
∴m＝x1（2﹣x1），0＜x1＜1，1＜x2＜2，
此时不等式f（x1）﹣3ax2≥0恒成立，等价于对x1∈（0，1）恒成立，
可化为恒成立，
令，∴
则，
∵x∈（0，1），∴lnx＜0，x（x﹣4）＜0，
∴g'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即g（x）在（0，1）上单调递减，
∴，
∴a≤﹣1．
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．