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7.3.2 三角函数的图象与性质
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课时素养评价
四十二 正切函数的图象与性质
(15分钟 35分)
1.(2020·大庆高一检测)与函数y=tan的图象不相交的一条直线
是
( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
【解析】选C.由2x+≠kπ+,k∈Z,
得x≠+,
则当k=0时,x≠,即x=与函数图象不相交.
【补偿训练】
函数y=的定义域是________.?
【解析】由题意得1-tan
x≥0即tan
x≤1结合图象可解得kπ-
k∈Z.
答案:(k∈Z)
2.f(x)=tan的最小正周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选B.方法一:函数y=tan(ωx+φ)的周期是T=,直接套用公式,
可得T==.
方法二:由诱导公式可得tan=
tan=tan,
所以f=f(x),所以周期为T=.
3.当x∈时,函数y=tan
|x|的图象
( )
A.关于原点对称
B.关于y轴对称
C.关于x轴对称
D.无法确定
【解析】选B.函数y=tan
|x|,x∈是偶函数,其图象关于y轴对称.
4.已知函数f(x)=tan
ωx在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.0<ω≤1
B.-1≤ω<0
C.-2≤ω<0
D.0<ω≤
【解析】选B.由f(x)在上单调递减知:ω<0,且?,因此-≥,解得-1≤ω<0,故选B.
5.函数f(x)=-2tan
x+m,x∈有零点,则实数m的取值范围是________.?
【解析】函数f(x)=-2tan
x+m有零点,即方程2tan
x=m有解.因为x∈,所以tan
x∈[-1,],所以m∈[-2,2].
答案:[-2,2]
6.求函数y=tan的定义域、周期及单调区间.
【解析】由x-≠+kπ,k∈Z,得x≠+2kπ,k∈Z,所以函数y=tan的定义域为.
T==2π,所以函数y=tan的周期为2π.
由-+kπ所以函数y=tan的单调递增区间为(k∈Z).
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知A为锐角,且tan
A=,那么下列判断正确的是
( )
A.0°B.30°C.45°D.60°【解析】选B.由题知,<<1,
即tan
30°A45°.
由正切函数随锐角的增大而增大,得30°2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin-2x的最小正周期相同,则ω=
( )
A.±1
B.1
C.±2
D.2
【解析】选A.g(x)的最小正周期为π,则=π,得ω=±1.
3.已知函数f(x)=x+tan
x+1,若f(a)=2,则f(-a)=
( )
A.0
B.-1
C.-2
D.3
【解析】选A.设g(x)=x+tan
x,显然g(x)为奇函数.
因为f(a)=g(a)+1=2,所以g(a)=1,
所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0.
【补偿训练】
函数y=
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
【解析】选A.因为1+cos
x≠0,即cos
x≠-1,
得x≠2kπ+π,k∈Z.
又tan
x中x≠kπ+,k∈Z,所以函数y=的定义域关于(0,0)对称.
令f(x)=,
则f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数.
4.(2020·长治高一检测)函数y=tan的图象
( )
A.关于原点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=-对称
D.关于点对称
【解析】选D.函数y=tan中,
令2x+=,k∈Z;
解得x=-,k∈Z;
令k=1,得x=,
所以y=tan的图象关于点对称,D正确.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列各式中正确的是
( )
A.tan
735°800°
B.tan
1>tan
2
C.tanD.tan【解析】选ABD.因为tan
735°=tan(735°-720°)=tan
15°,tan
800°
=tan(800°-720°)=tan
80°且0°<15°<80°<90°,正切函数在上单调递增,所以tan
735°800°;
tan
1>tan
0=0,tan
2<0,
所以tan
1>tan
2;
因为<π<π<π,且正切函数在上是单调递增的,所以tan>tan,
因为tan=tan,且0<<<,正切函数在上单调递增,所以tan即tanπ6.满足tan
A>-1的三角形的内角A的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选BD.因为角A为三角形的内角,所以0A>-1,结合正切曲线得A∈∪.
【光速解题】因为角A是三角形的内角,所以0三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若函数f(x)=tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得线段长为,则f的值是________.?
【解题指南】f(x)=tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得线段长为,说明函数f(x)的周期为.
【解析】由题意知=,
所以ω=4.
所以f=tan=.
答案:
8.若f(n)=tan(n∈N
),则f(1)+f(2)+…+f(2
020)=________.?
【解析】因为f(n)=tann(n∈N
)的周期T==3,且f(1)=tan=,
f(2)=tan=-,f(3)=tan
π=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2
020)=×0+tan=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.函数y=Atan(ωx+φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为,,且过点(0,-3),求此函数的解析式.
【解析】因为T=-=,
所以ω==.
将点代入y=Atan,
得0=Atan,得φ=-.
将(0,-3)代入y=Atan,得A=3.
所以y=3tan.
10.已知函数f(x)=x2+2xtan
θ-1,x∈[-1,],其中θ∈.
(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.
(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数.
【解析】(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,].
所以当x=时,f(x)取得最小值,为-;
当x=-1时,f(x)取得最大值,为.
(2)函数f(x)=(x+tan
θ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为x=-tan
θ.
因为y=f(x)在区间[-1,]上单调,
所以-tan
θ≤-1或-tan
θ≥,
即tan
θ≥1或tan
θ≤-.
又θ∈,
所以θ的取值范围是∪.
1.函数y=tan
x+sin
x-|tan
x-sin
x|在区间内的图象是
( )
【解析】选D.当xx,y=2tan
x<0;当x=π时,y=0;
当πtan
x>sin
x,y=2sin
x<0.
【补偿训练】
函数y=sin
x与y=tan
x的图象在区间[0,2π]上有________个交点.?
【解析】函数y=sin
x与y=tan
x在区间[0,2π]内的图象如图所示:
观察图象可知,函数y=tan
x与y=sin
x在区间[0,2π]上有3个交点.
答案:3
2.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在x∈上是单调递增的?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】存在.因为y=tan
θ在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上是单调递增的,
所以a<0.
又x∈,
所以-ax∈,
所以-ax∈,
所以
解得--≤a≤6-8k(k∈Z).
令k=0,得-≤a≤6不符合题意,
令k=-1,得≤a≤14不符合题意,
令k=1,
此时-2≤a≤-2,
所以a=-2<0,
所以存在a=-2∈Z,满足题意.
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第3课时 正切函数的图象与性质
必备知识·自主学习
正切函数的图象与性质
(1)图象与性质
解析式
y=tan
x
图象
定义域
解析式
y=tan
x
值域
R
周期
π
奇偶性
___函数
对称
中心
________,k∈Z
单调性
在每一个区间_____________________
上都单调递增
奇
(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.
(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
【思考】
正切函数在整个定义域上都是增函数吗?
提示:不是.正切函数在每一个区间
(k∈Z)上是单调递增的.
但在整个定义域上不是增函数.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.
( )
(2)正切函数是中心对称图形,对称中心是原点.
( )
(3)存在某个区间,使正切函数在该区间上是单调递减的.
( )
提示:(1)×.正切函数的值域为R,而定义域是
(2)×.正切函数的对称中心是
(k∈Z).
(3)×.正切函数在每一个区间
(k∈Z)上都是单调递增的.
2.(2020·扬州高一检测)若f(x)=tan
ωx(ω>0)的周期为1,则f
的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.因为f(x)=tan
ωx(ω>0)的周期为
=1,
所以ω=π,即f(x)=tan
πx,则f
=tan
=
.
3.(教材二次开发:例题改编)函数y=tan
的定义域为________.?
【解析】因为2x-
≠kπ+
,k∈Z,所以x≠
k∈Z,
所以函数y=tan
的定义域为
答案:
关键能力·合作学习
类型一 正切函数的定义域、周期性、奇偶性(数学抽象)
【题组训练】
1.函数y=tan
的最小正周期是
( )
A.4
B.4π
C.2π
D.2
2.函数f(x)=cos
+tan
x为
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
3.函数y=
的定义域为________.?
【解析】1.选D.T=
=2.
2.选A.f(x)=cos
+tan
x=sin
x+tan
x,
定义域为
,关于原点对称,
因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin
x-tan
x=-f(x),所以它是奇函数.
3.根据题意,得
所以函数的定义域为
答案:
【解题策略】
1.判断函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,
还要保证正切函数y=tan
x有意义即x≠
+kπ,k∈Z.
2.怎样求正切类函数的奇偶性
判断正切类函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.
若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
【补偿训练】
求函数y=
+lg(1-tan
x)的定义域.
【解析】由题意得
即-1≤tan
x<1.
在
内,满足上述不等式的x的取值范围是
,又y=tan
x的周期为π,
所以函数的定义域是
(k∈Z).
类型二 正切函数的单调性及应用(数学运算)
角度1 正切函数的单调区间?
【典例】函数f(x)=tan
的单调区间为________.?
【思路导引】把
看作一个整体,根据正切函数的单调性求出f(x)的
单调区间.
【解析】由题意知,
k∈Z,
即
k∈Z,
所以
故单调递增区间为
(k∈Z).
答案:
(k∈Z)
【变式探究】
如果将本例中函数变为y=tan
,求该函数的单调区间.
【解析】y=
由
得2kπ-
π,k∈Z,
所以函数y=tan
的单调递减区间是
,k∈Z.
角度2 利用正切函数比较大小?
【典例】1.比较大小:
①tan
32°________tan
215°;?
②tan
________tan
.?
2.tan
1,tan
2,tan
3,tan
4从小到大的排列顺序为________.?
【思路导引】运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;再运用单调性比较大小关系.
【解析】1.①tan
215°=tan(180°+35°)=tan
35°,
因为y=tan
x在(0°,90°)上单调递增,32°<35°,
所以tan
32°35°=tan
215°.
②
因为y=tan
x在
上单调递增,
答案:①< ②<
2.因为y=tan
x在区间
上单调递增,
且tan
1=tan(π+1),又
<2<3<4<π+1<
,
所以tan
2341.
答案:tan
2341
角度3 求正切函数的值域、最值?
【典例】1.函数y=
的值域是
( )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-1,+∞)
2.函数y=tan2x+4tan
x-1的值域是________.?
【思路导引】1.根据正切函数的图象与性质,求出y=
的值域即可.
2.换元,把函数变为二次函数,根据二次函数的性质求函数的值域;注意,
换元时一定要求出新元的取值范围.
【解析】1.选B.当-
x<0,
所以
<-1;
当0时,0x<1,所以
>1.
即当x∈
时,
函数y=
的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
2.令t=tan
x,则t∈R,故y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5,所求的值域为[-5,+∞).
答案:[-5,+∞)
【解题策略】
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan
x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的
思想,令kπ-
<ωx+φ(k∈Z),求得x的范围即可.
(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=
-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范
围即可.
2.比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小.
3.求与正切函数相关的值域的方法
(1)对于y=tan
x在不同区间上的值域,可以结合图象,利用单调性求值域.
(2)对于y=A
tan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域.
(3)对于与y=tan
x相关的二次函数,可以把tan
x看成整体,利用配方法求值域.
【补偿训练】
已知f(x)=tan2x-2tan
x
求f(x)的值域.
【解析】令u=tan
x,因为|x|≤
,
所以u∈
所以函数化为y=u2-2u.对称轴为u=1∈
所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1.
当u=-
时,ymax=3+2
.
所以f(x)的值域为[-1,3+2
].
类型三 正切函数图象、性质的综合应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】设函数f(x)=tan
.
(1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤
的解集;
(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.
【思路导引】(1)根据正切函数y=tan
x的性质,结合函数图象找出f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心.
(2)根据正切函数的单调性解不等式.
(3)利用三点两线法作出正切型函数的图象.
【解析】(1)由
≠
+kπ(k∈Z)
得x≠
+2kπ(k∈Z),
所以f(x)的定义域是
因为ω=
,所以周期T=
=2π.
由-
+kπ<
<
+kπ(k∈Z),
得-
+2kπ+2kπ(k∈Z).所以函数f(x)的单调递增区间是
由
(k∈Z)得x=kπ+
π,
故函数f(x)的对称中心是
(k∈Z).
(2)由-1≤tan
≤
,
得
解得
+2kπ≤x≤
+2kπ(k∈Z).
所以不等式-1≤f(x)≤
的解集是
(3)
所以函数y=tan
的图象与x轴的一个交点坐标是
在这个交点左、
右两侧相邻的两条渐近线方程分别是
从而得函数y=f(x)在一个
周期
内的简图(如图).
【解题策略】正切函数型综合题解题方法
对于形如y=tan(ωx+φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图象的研究,应以正切函数的性质与图象为基础,运用整体思想和换元法求解.如果ω<0,一般先利用诱导公式将x的系数化为正数,再进行求解.
【补偿训练】
画出函数y=|tan
x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
【解析】由y=|tan
x|,得y=
其图象如图所示.
由图象可知,函数y=|tan
x|是偶函数,
单调递增区间为
单调递减区间为
(k∈Z),周期为π.
课堂检测·素养达标
1.与函数y=tan
的图象不相交的一条直线是
( )
A.x=
B.x=-
C.x=
D.x=-
【解析】选D.当x=-
时,2x-
=-
,而-
的正切值不存在,
所以直线x=-
与函数的图象不相交.
2.在(0,2π)内,使tan
x>1成立的x的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为x∈(0,2π),由正切函数的图象,可得使tan
x>1成立的x的取
值范围为
.
3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=|tan
2x|是
( )
A.周期为π的偶函数
B.周期为π的奇函数
C.周期为
的偶函数
D.周期为
的奇函数
【解析】选C.f(-x)=|tan(-2x)|=|tan
2x|=f(x)为偶函数,T=
.
4.比较大小:tan
________tan
.?
【解析】因为tan
=tan
,tan
=tan
,又0<
<
<
,
y=tan
x在
内单调递增,
所以tan
,即tan
.
答案:<
5.下列不等式中,成立的是________.?
①tan
>tan
;
②tan
;
③tan
;
④tan
>tan
.
【解析】
因为tan
>tan
,
所以tan
>
;
所以tan
.
答案:④(共51张PPT)
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
必备知识·自主学习
1.正弦曲线
(1)正弦曲线
正弦函数y=sin
x,x∈R的图象叫正弦曲线.
(2)正弦函数图象的画法
①几何法:
(ⅰ)利用正弦线画出y=sin
x,x∈[0,2π]的图象;
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②“五点法”:
(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),_________,(π,0),________,(2π,0),用光滑的曲线连接;
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
(3)本质:正弦曲线是正弦函数的图形表示,是正弦函数的一种直观表示.
(4)应用:根据正弦曲线,能帮助学生更直观地认识正弦函数,进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用性质.
【思考】在作y=2+sin
x的图象时,应抓住哪些关键点?
提示:作正弦函数y=2+sin
x,x∈[0,2π]的图象时,起关键作用的点有以下五
个:(0,2),
,(π,2),
,(2π,2).
2.余弦曲线
(1)余弦曲线
余弦函数y=cos
x,x∈R的图象叫余弦曲线.
(2)余弦函数图象的画法
①要得到y=cos
x的图象,只需把y=sin
x的图象向___平移
个单位长度即可.
②用“五点法”画余弦曲线y=cos
x在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点
分别为(0,1),
,
________,
,
________,再用光滑的曲线连接.
左
(π,-1)
(2π,1)
【思考】
y=cos
x(x∈R)的图象可由y=sin
x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么?
提示:因为cos
x=sin
,所以y=sin
x(x∈R)的图象向左平移
个单位长
度可得y=cos
x(x∈R)的图象.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点.
( )
(2)余弦函数y=cos
x的图象与y=sin
x的图象形状和位置都不一样.
( )
(3)函数y=sin
x与y=sin(-x)的图象完全相同.
( )
提示:(1)×.取的五个点的横坐标分别为0,
,π,
,2π.
(2)×.函数y=cos
x的图象与y=sin
x的图象形状一样,只是位置不同.
(3)×.二者图象不同,关于x轴对称.
2.以下对正弦函数y=sin
x的图象描述不正确的是( )
A.在x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
【解析】选C.画出y=sin
x的图象(图略),根据图象可知A,B,D三项都正确.
3.(教材二次开发:例题改编)函数y=-xcos
x的部分图象是
( )
【解析】选D.因为y=-xcos
x是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A,
C项;当x∈
时,y=-xcos
x<0,所以排除B项.
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数、余弦函数图象的初步认识(数学抽象)
【题组训练】
1.用“五点法”作y=sin
2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是( )
A.0,
,π,
,2π
B.0,
,
,
,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,
,
,
,
2.下列图象中,是y=-sin
x在[0,2π]上的图象的是
( )
3.下列函数图象相同的是
( )
A.f(x)=sin
x与g(x)=sin(π+x)
B.f(x)=sin
与g(x)=sin
C.f(x)=sin
x与g(x)=sin(-x)
D.f(x)=sin(2π+x)与g(x)=sin
x
【解析】1.选B.分别令2x=0,
,π,
,2π,可得x=0,
,
,
,π.
2.选D.函数y=-sin
x的图象与函数y=sin
x的图象关于x轴对称.
3.选D.A中g(x)=-sin
x;
B中f(x)=-cos
x,g(x)=cos
x;
C中g(x)=-sin
x;
D中f(x)=sin
x.
【解题策略】利用正弦、余弦函数图象解题
(1)熟练掌握正余弦函数的图象,必要时用“五点法”作出图象观察.
(2)熟练应用诱导公式变形,通过函数解析式的关系确定图象关系.
(3)掌握常见的图象变换,如-f(x),f(-x),f(|x|)等.
【补偿训练】
函数y=sin
|x|的图象是
( )
【解析】选B.y=sin
|x|=
故选B.
类型二 用“五点法”作三角函数的图象(直观想象)
【典例】用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=1-sin
x(0≤x≤2π);
(2)y=2+cos
x,x∈[0,2π].
【思路导引】求作三角函数的图象,需要先列表,再描点,最后用平滑曲线连线.
【解析】(1)①列表:
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
1-sin
x
1
0
1
2
1
②描点连线,如图所示.
(2)①列表:
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
2+cos
x
3
2
1
2
3
②描点连线,如图所示.
【解题策略】
“五点法”画函数y=Asin
x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
(1)列表:
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(0,y1),
,(π,y3),
,(2π,y5).
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
【跟踪训练】 请补充完整下面用“五点法”作出y=-sin
x(0≤x≤2π)图象的列表.
x
0
①
2π
-sin
x
②
-1
0
③
0
①________;②________;③________.?
【解析】用“五点法”作y=-sin
x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0),
,(π,0),
,(2π,0),故①为π,②为0,③为1.
答案:①π ②0 ③1
类型三 正弦、余弦函数图象的应用(逻辑推理)
角度1 零点个数问题?
【典例】在同一坐标系中,作函数y=sin
x和y=lg
x的图象,根据图象判断出方程sin
x=lg
x的解的个数.
【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin
x,x∈R的图象.
描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg
x的图象,如图所示.
由图象可知方程sin
x=lg
x的解有3个.
【变式探究】
根据函数图象求方程根的个数问题,是常见的考查模式;将典例中问题改为:
方程sin
x=
的根的个数是
( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选A.在同一坐标系内画出y=
和y=sin
x的图象如图所示.
根据图象可知方程有7个根.
角度2 利用正、余弦函数的图象解不等式?
【典例】在[0,2π]内,不等式2sin
x-1≥0的解集为
( )
【思路导引】在[0,2π]上,作出y=sin
x的图象,再在这个平面直角坐标系中
作出直线y=
,观察图象,找到满足sin
x≥
的x的取值范围.
【解析】选D.因为2sin
x-1≥0,
所以sin
x≥
.
在同一坐标系下,作函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图象以及直线y=
.
由函数的图象知,sin
=sin
=
.
所以根据图象可知,sin
x≥
的解集为
【解题策略】
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出正弦函数在[0,2π]或
的图象,余弦函数在[0,2π]或[-π,π]
上的图象.
(2)写出适合不等式在给定区间上的解集.
【题组训练】
1.方程x2-cos
x=0的实数解的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.作函数y=cos
x与y=x2的图象,如图所示,
由图象可知,原方程有两个实数解.
2.使不等式
-2sin
x≥0在[-π,π]上成立的x的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.不等式可化为sin
x≤
.
作图,正弦曲线及直线y=
如图所示.
又x∈[-π,π],结合图象可知x的解集为
3.在(0,2π)内,使sin
x>cos
x成立的x的取值范围是________.?
【解析】在同一坐标系中画出y=sin
x,x∈(0,2π)与y=cos
x,x∈(0,2π)的
图象如图所示,
由图象可观察出当x∈
时,sin
x>cos
x.
答案:
【补偿训练】
y=1+sin
x,x∈[0,2π]的图象与直线y=
交点的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.用“五点法”作出函数y=1+sin
x,x∈[0,2π]的图象,作出直线
y=
的图象如图所示,
由图可知,这两个函数的图象有2个交点.
课堂检测·素养达标
1.用“五点法”画函数y=2-3sin
x的图象时,首先应描出五点的横坐标是
( )
A.0,
,π
B.0,
,π,
,2π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,
【解析】选B.所描出的五点的横坐标与函数y=sin
x的五点的横坐标相同,
即0,
,π,
,2π,故选B.
2.函数y=cos
x与函数y=-cos
x的图象
( )
A.关于直线x=1对称
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】选C.由解析式可知y=cos
x的图象过点(a,b),则y=-cos
x的图象必过点(a,-b),由此推断两个函数的图象关于x轴对称.
3.(教材二次开发:练习改编)在同一平面直角坐标系内,函数y=sin
x,
x∈[0,2π]与y=sin
x,x∈[2π,4π]的图象
( )
A.重合
B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称
D.形状不同,位置不同
【解析】选B.根据正弦曲线的作法可知函数y=sin
x,x∈[0,2π]与
y=sin
x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.
4.如图是下列哪个函数的图象
( )
A.y=1+sin
x,x∈[0,2π]
B.y=1+2sin
x,x∈[0,2π]
C.y=1-sin
x,x∈[0,2π]
D.y=1-2sin
x,x∈[0,2π]
【解析】选C.把
这一点代入选项检验,即可排除A、B、D.
5.在[0,2π]内,不等式sin
x<-
的解集是
( )
A.(0,π)
B.
C.
D.
【解析】选C.画出y=sin
x,x∈[0,2π]的图象如图:
因为sin
=
,所以sin
=-
,
sin
=-
.
即在[0,2π]内,满足sin
x=-
的是x=
或x=
.
可知不等式sin
x<-
的解集是温馨提示：
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课时素养评价
四十一 正弦函数、余弦函数的性质
(15分钟 35分)
1.函数f(x)=2sin,x∈[-π,0]的单调递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,
又-π≤x≤0,所以-≤x≤0.
【补偿训练】
函数y=2sin的单调递增区间是
( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】选B.y=2sin=-2sin,函数y=sin的单调递减区间为y=2sin的单调递增区间,令2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得
kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以y=2sin的单调递增区间为(k∈Z).
2.函数y=cos,x∈的值域是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为x∈,所以x+∈,所以y=cos∈.
3.下列不等式中成立的是
( )
A.sin>sin
B.sin
3>sin
2
C.sinπ>sin
D.sin
2>cos
1
【解析】选D.因为sin
2=cos
=cos,且0<2-<1<π,
所以cos>cos
1,即sin
2>cos
1.
由正弦函数f(x)=sin
x的性质知f(x)在上单调递增,
又-<-<-<0,
所以sinf(x)=sin
x在上单调递减,又<2<3<π,所以sin
32,B错,
C中π+=π,所以sin=sin,C错.
4.设函数f(x)=sinωx+φ+ω>0,|φ|<的最小正周期为π,且是偶函数,则
( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上单调递增
【解析】选A.由条件知ω=2.
因为f(x)是偶函数且|φ|<,所以φ=,
这时f(x)=sin=cos
2x.
因为x∈时,2x∈(0,π),
所以f(x)在上单调递减.
5.函数y=sin2x-cos
x+1的最大值为________.?
【解析】y=sin2x-cos
x+1=-cos2x-cos
x+2=-+,因为-1≤cos
x≤1,所以当cos
x=-时,y取最大值.
答案:
6.已知函数f(x)=2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
【解析】(1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),
解得-≤x≤-(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取最小值-2.
即x=-(k∈Z)时,f(x)取最小值-2.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.函数y=sin在区间[0,π]上的一个单调递减区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),取k=0,则一个单调递减区间为.
2.下列关系式中正确的是
( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
【解析】选C.由诱导公式,得cos
10°=sin
80°,
sin
168°=sin(180°-12°)=sin
12°,由正弦函数y=sin
x在[0°,90°]
上是单调递增的,所以sin
11°12°80°,即sin
11°168°
10°.
3.函数y=|sin
x|的一个单调增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.画出y=|sin
x|的图象即可求解.
【补偿训练】
函数f(x)=在[-π,π]上的单调递减区间为
( )
A.
B.
C.,
D.∪
【解析】选C.在[-π,π]上,依据函数图象的对称性可知y=|cos
x|的单调递增区间是和,而f(x)随|cos
x|取值的递增而递减,故,为f(x)的单调递减区间.
4.若函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=
( )
A.3
B.2
C.
D.
【解析】选C.函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此=,所以ω=.
【误区警示】函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增不是函数的单调增区间是,即不一定是函数的一个完整增区间,应该利用函数的两个单调区间推导出函数的最大值点.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.同时具有以下性质的函数不可能为
( )
①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在上是单调递增的.
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
【解析】选ABD.最小正周期是π的只有B,C,
y=cos=cos=-sin,
当x∈时,2x-∈,因此在上C是单调递增的,
B是单调递减的,令2x-=+kπ(k∈Z),则x=+π(k∈Z).
当k=0时,x=为一条对称轴,因此只有C具有这三条性质.
6.设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是
( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在上单调递减
【解析】选ABC.A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z,且k≠0),所以f(x)的一个周期为-2π,A正确.
B项,因为f(x)=cos图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,B项正确.
C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,当k=1时,x=,
所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确.
D项,因为f(x)=cos的单调递减区间为
(k∈Z),单调递增区间为
(k∈Z),所以是单调递减区间,是单调递增区间,D项错误.
【光速解题】画出函数的图象,马上就可以得到选项A、B、D的对错,利用诱导公式将选项C化简,结合图象,也可以得到选项C的对错.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值为________.?
【解题指南】根据x的范围,求出ωx的范围,再根据f(x)的最小值,求出ω的最小值.
【解析】函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ωx的取值范围是,所以-≤-或≥,解得ω≥或ω≥6,所以ω的最小值为.
答案:
【补偿训练】
第7题中条件“在区间上的最小值为-2”改为“在区间上单调递增”其他条件不变,求ω的取值范围.
【解析】由-≤ωx≤,得f(x)的一个递增区间为,
由题设得?,
所以-≤-且≥,得0<ω≤.
8.设函数f(x)=sin,则该函数的最小正周期为________,f(x)在上的最小值为________.?
【解析】由题意可知,T==π;因为x∈,
所以2x-∈,所以sin∈,所以f(x)在上的最小值为-.
答案:π -
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求函数y=3-4cos,x∈的最大值、最小值及相应的x值.
【解析】因为x∈,所以2x+∈,从而-≤cos≤1.
所以当cos=1,即2x+=0,x=-时,ymin=3-4=-1.
当cos=-,即2x+=,x=时,ymax=3-4×=5.
综上所述,当x=-时,ymin=-1;
当x=时,ymax=5.
10.已知f(x)=sin-.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值.
(2)讨论f(x)在上的单调性.
【解析】(1)因为f(x)=sin-,
所以T==π,最大值为1-.
(2)当x∈时,0≤2x-≤π,
从而当0≤2x-<,即≤x<时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.
1.如图所示,函数y=cos
x·|tan
x|0≤x<且x≠的图象是
( )
【解析】选C.y=cos
x|tan
x|
=故其图象为C.
2.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上是单调递增的,α,β是锐角三角形的两个内角,试判断f(sin
α)与f(cos
β)的大小.
【解析】由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
因为函数f(x)是偶函数且在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.
又α,β是锐角三角形的两个内角,则有α+β>,
所以α>-β,即>α>-β>0,
因为y=sin
x在上单调递增,
所以sin
α>sin=cos
β,
且sin
α∈(0,1),cos
β∈(0,1),
所以f(sin
α)>f(cos
β).
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课时素养评价
四十 正弦函数、余弦函数的图象
(15分钟 35分)
1.函数y=ln
cos
x的图象是
( )
【解析】选A.首先y=ln
cos
x=ln
cos(-x),所以函数为偶函数,排除B、D,又因为-x∈(0,1],所以y=ln
x≤0且图象左增右减.
2.(2020·赤峰高一检测)已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象
( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位,得g(x)的图象
D.向右平移个单位,得g(x)的图象
【解析】选D.f(x)=sin,g(x)=cosx-=cos=sin
x,f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象.
3.方程|x|=cos
x在(-∞,+∞)内
( )
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
【解析】选C.求解方程|x|=cos
x在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函数f(x)=|x|和g(x)=cos
x在(-∞,+∞)内的交点个数问题.f(x)=|x|和g(x)=cos
x的图象如图,
显然有两交点,即原方程有且仅有两个根.
4.函数y=-cos
x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为
( )
A.
B.(π,1)
C.(0,1)
D.(2π,1)
【解析】选B.用“五点法”作出函数y=-cos
x,x>0的图象如图所示,可知B正确.
5.不等式sin
x<-,x∈[0,2π]的解集为________.?
【解析】如图所示,不等式sin
x<-的解集为.
答案:
6.用“五点法”画出y=-2cos
x+3(0≤x≤2π)的简图.
【解析】列表:
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
-2cos
x+3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y=-2cos
x+3(0≤x≤2π)的图象.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.点M在函数y=sin
x的图象上,则m等于
( )
A.0
B.1
C.-1
D.2
【解析】选C.由题意得-m=sin
,
所以-m=1,所以m=-1.
2.从函数y=cos
x,x∈[0,2π)的图象来看,对应于cos
x=的x有
( )
A.1个值
B.2个值
C.3个值
D.4个值
【解析】选B.如图所示,y=cos
x,x∈[0,2π)与y=的图象,有2个交点,所以方程有2个解.
3.函数y=cos
x+|cos
x|,x∈[0,2π]的大致图象为
( )
【解析】选D.由题意得
y=
显然只有D合适.
4.若函数y=2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是
( )
A.4
B.8
C.2π
D.4π
【解析】选D.作出函数y=2cos
x,x∈[0,2π]的图象,函数y=2cos
x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又因为OA=2,OC=2π,
所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π.
【误区警示】解此题,往往忽视对称,我们需要将不规则图形转化为规则图形.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.用“五点法”画y=3sin
x,x∈[0,2π]的图象时,下列哪些点是关键点
( )
A.
B.
C.(π,0)
D.(2π,0)
【解析】选BCD.五个关键点的横坐标依次是0,,π,,2π.代入横坐标,计算得B、C、D正确.
6.已知函数y=若y=,则x的可能取值为
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选ABD.作出函数y=
的图象,再作直线y=,如图所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,x=或x=.
【光速解题】根据题意,画出函数f(x)的图象及直线y=的图象,分别求出交点坐标即可.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若sin
x=2m+1,则m的取值范围是________.?
【解析】由-1≤2m+1≤1,解得-1≤m≤0.
答案:-1≤m≤0
8.当x∈[-π,π]时,y=x与y=sin
x的图象交点的个数为________,这些交点的横坐标之和为________.?
【解析】如图.根据图象知,两个函数有3个交点,3个交点横坐标之和为0.
答案:3 0
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.若集合M=,N=,θ∈[0,2π],求M∩N.
【解析】首先作出正弦函数,余弦函数在[0,2π]上的图象以及直线y=,如图所示.
由图象可知,在[0,2π]内,
sin
θ≥时,得≤θ≤,
cos
θ≤时,得≤θ≤.
所以在[0,2π]内,同时满足sin
θ≥与cos
θ≤时,≤θ≤.所以M∩N=.
10.方程sin
x=在x∈上有两个实数根,求a的取值范围.
【解析】首先作出y=sin
x,x∈的图象,然后再作出y=的图象,如果y=sin
x,x∈与y=的图象有两个交点,方程
sin
x=,x∈就有两个实数根.
设y1=sin
x,x∈,y2=.
y1=sin
x,x∈的图象如图.
由图象可知,当≤<1,即-1x,x∈的图象与y2=的图象有两个交点,即方程sin
x=在x∈上有两个实根.
1.函数f(x)=lg
cos
x+的定义域为________.?
【解析】由题意,得x满足不等式组
即
作出y=cos
x的图象,如图所示.
结合图象可得x∈∪
∪.
答案:∪∪
【补偿训练】
函数y=lg(-2cos
x)在x∈[0,2π]内的定义域是________.?
【解析】由-2cos
x>0,得cos
x<,
作出y=cos
x的图象和直线y=,
由图象可知cos
x<在[0,2π]内的解集为.
答案:
2.已知函数f(x)=sin
x+2|sin
x|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
【解析】由题意知f(x)=sin
x+2|sin
x|=
图象如图所示:
若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3).
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PAGE(共40张PPT)
第2课时 正弦函数、余弦函数的性质
必备知识·自主学习
正弦函数、余弦函数的性质
(1)图象与性质
解析式
y=sin
x
y=cos
x
图象
值域
_______
_______
[-1,1]
[-1,1]
解析式
y=sin
x
y=cos
x
单调性
在
上单调递增,
在
上单调递减
在_______________________
上单调递增,
在______________________
上单调递减
最值
x=________________时,ymax=1;
x=________________时,ymin=-1
x=____________时,
ymax=__;
x=_______________时,
ymin=___
[-π+2kπ,2kπ],(k∈Z)
[2kπ,π+2kπ],(k∈Z)
2kπ,(k∈Z)
1
π+2kπ,(k∈Z)
-1
(2)本质:函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.
(3)应用:求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.
【思考】从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置?
提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=sin
x在(0,π)上单调递增.
( )
(2)存在x∈R满足sin
x=
.
( )
(3)在区间[0,2π]上,函数y=cos
x仅当x=0时取得最大值1.
( )
提示:(1)×.y=sin
x在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)×.正弦函数y=sin
x的值域为[-1,1],所以sin
x=
无解.
(3)×.当x=2π时,cos
x=1也成立.
2.(教材二次开发:例题改编)函数y=2-sin
x取得最大值时,x的取值集合为
________.?
【解析】当sin
x=-1时,ymax=2-(-1)=3,
此时x=2kπ-
,k∈Z.
答案:
3.若cos
x=m-1有意义,则m的取值范围是________.?
【解析】因为-1≤cos
x≤1,要使cos
x=m-1有意义,
则-1≤m-1≤1,所以0≤m≤2.
答案:[0,2]
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数、余弦函数的单调区间(数学运算)
【题组训练】
1.下列函数,在
上单调递增的是
( )
A.y=sin
x
B.y=cos
x
C.y=sin
2x
D.y=cos
2x
2.函数y=sin
,x∈
的单调递减区间为________.?
3.求函数y=1+sin
,x∈[-4π,4π]的单调递减区间.
【解析】1.选D.对于A,B,C,在
上显然都不是单调递增的,对于函数
y=cos
2x,令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ(k∈Z),即
+kπ≤x≤π+kπ
(k∈Z),
故y=cos
2x的单调递增区间是
(k∈Z),则当k=0时,
单调递增区间为
2.由
+2kπ≤3x+
≤
+2kπ(k∈Z),
得
又x∈
,
所以函数y=sin
,x∈
的单调递减区间为
.
答案:
3.y=1+sin
=-sin
+1.
由2kπ-
≤
x-
≤2kπ+
(k∈Z).
解得4kπ-
≤x≤4kπ+
π(k∈Z).
又因为x∈[-4π,4π],
所以函数y=1+sin
的单调递减区间为
【解题策略】单调区间的求法
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数的单调区间,要先把ω化为正数,
(1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sin
x或y=cos
x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递增区间.
(2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sin
x或y=cos
x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sin
x或y=cos
x的单调递减区间内,可求得函数的单调递增区间.
提醒:求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,把ωx+φ看作一个整体,借助y=
sin
x的单调区间来解决.当A<0或ω<0时,要注意原函数的单调性与y=sin
x的
单调性的关系.
【补偿训练】
1.函数y=cos
x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是________.?
2.已知函数y=cos
,则它的单调递减区间为________.?
【解析】1.因为y=cos
x在[-π,0]上是单调递增的,在[0,π]上单调递减,
所以只有-π答案:(-π,0]
2.y=cos
=cos
,
由2kπ≤2x-
≤2kπ+π,k∈Z,
得kπ+
≤x≤kπ+
k∈Z,所以单调递减区间是
答案:
(k∈Z)
类型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(直观想象)
【典例】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
(1)cos
,cos
.
(2)cos
1,sin
1.
(3)sin
164°,cos
110°.
【思路导引】先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.
【解析】(1)cos
=cos
,cos
=cos
,
因为0<
<
<π,而y=cos
x在[0,π]上单调递减,所以cos
>cos
,
即cos
>cos
.
(2)因为cos
1=sin
,而0<
<1<
且y=sin
x在
上单调递增,
所以sin
1,即cos
11.
(3)sin
164°=sin(180°-16°)=sin
16°,
cos
110°=cos(90°+20°)=-sin
20°.
因为正弦函数在
上单调递增,
所以-sin
20°16°,即cos
110°164°.
【解题策略】三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到
或
内;
对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内.
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间时,先化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数
的单调性来比较大小.
【跟踪训练】1.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的
是( )
A.sin
αβ
B.cos
αβ
C.cos
αβ
D.cos
α>cos
β
【解析】选B.α,β为锐角三角形的两个内角,α+β>
,α>
-β,α∈
,
-β∈
,所以cos
α=sin
β.
2.将cos
150°,sin
470°,cos
760°按从小到大排列为________.?
【解析】cos
150°<0,sin
470°=sin
110°=cos
20°>0,cos
760°=
cos
40°>0且cos
20°>cos
40°,所以cos
150°760°470°.
答案:cos
150°760°470°
类型三 正弦函数、余弦函数的值域、最值问题
角度1 正弦函数、余弦函数的值域问题?
【典例】函数y=cos2x+2sin
x-2,x∈R的值域为________.?
【思路导引】先用平方关系转化,即cos2x=1-sin2x,再将sin
x看作整体,转化为二次函数的值域问题.
【解析】y=cos2x+2sin
x-2
=-sin2x+2sin
x-1=-(sin
x-1)2.
因为-1≤sin
x≤1,所以-4≤y≤0,
所以函数y=cos2x+2sin
x-2,x∈R的值域为[-4,0].
答案:[-4,0]
【变式探究】
将典例中题目改为:求函数f(x)=sin2x+
cos
x-
的最大值.
【解析】因为f(x)=sin2x+
cos
x-
,
f(x)=1-cos2x+
cos
x-
,
令cos
x=t且t∈[0,1],
则y=-t2+
t+
=
-
+1,
则当t=
时,f(x)取最大值1.
角度2 正弦函数、余弦函数在固定区间上求值域问题?
【典例】已知函数f(x)=asin
+b(a>0).当x∈
时,f(x)的最大值
为
,最小值是-2,求a和b的值.
【思路导引】先由x∈
,求2x-
的取值范围,再求sin
的取值范围,
最后表示出f(x)min,f(x)max,列方程组求解.
【解析】因为
因为a>0,所以f(x)max=a+b=
,
f(x)min=-
a+b=-2.
【解题策略】求y=sin(ωx+φ)型三角函数的值域的方法
令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin
t的最值(值域).
【题组训练】
1.函数f(x)=-2sin
x+1,x∈
的值域是
( )
A.[1,3]
B.[-1,3]
C.[-3,1]
D.[-1,1]
【解析】选B.因为x∈
,所以sin
x∈[-1,1],所以-2sin
x+1∈[-1,3].
2.函数y=3-4sin
x-4cos2x的值域为________.?
【解析】y=3-4sin
x-4cos2x
=3-4sin
x-4(1-sin2x)
=4sin2x-4sin
x-1,
令t=sin
x,则-1≤t≤1.
所以y=4t2-4t-1=4
-2(-1≤t≤1).
所以当t=
时,ymin=-2,
当t=-1时,ymax=7.
即函数y=3-4sin
x-4cos2x的值域为[-2,7].
答案:[-2,7]
3.若函数y=a-bcos
x(b>0)的最大值为
,最小值为-
,则函数的解析式为y=________.?
【解析】因为y=a-bcos
x(b>0),
所以ymax=a+b=
,ymin=a-b=-
.
所以y=
-cos
x.
答案:
-cos
x
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发:练习改编)函数y=sin
2x的单调递减区间是
( )
A.
B.
C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z)
D.
【解析】选B.令
+2kπ≤2x≤
+2kπ,k∈Z,
得
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z,则y=sin
2x的单调递减区间是
.
2.y=2sin
的值域是
( )
A.[-2,2]
B.[0,2]
C.[-2,0]
D.[-1,1]
【解析】选A.因为sin
∈[-1,1],
所以y∈[-2,2].
3.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是
( )
A.y=|cos
x|
B.y=cos|-x|
C.y=sin
D.y=-sin
【解析】选C.y=|cos
x|在
上单调递减,排除A;
y=cos
|-x|=cos
|x|在(0,π)上单调递减.排除B;
y=sin
=-sin
=-cos
x是偶函数,且在(0,π)上单调递增,
符合题意;y=-sin
在(0,π)上是单调递减的,排除D.
4.若y=asin
x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=________.?
【解析】当a>0时,
得
当a<0时,
得
所以ab=±2.
答案:±2
5.sin
1,sin
2,sin
3按从小到大排列的顺序为________.?
【解析】因为1<
<2<3<π,
sin(π-2)=sin
2,sin(π-3)=sin
3.
y=sin
x在
上单调递增,且0<π-3<1<π-2<
,所以sin(π-3)1
即sin
312.
答案:sin
312