(共48张PPT)
7.4 三角函数应用
必备知识·自主学习
导思
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A、ω、φ分别有什么物理意义?
2.在三角函数应用题中,怎样建立数学模型解题?
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A、ω、φ的物理意义
(1)A、ω、φ的物理意义:
①简谐运动的振幅就是__;
②简谐运动的周期T=____;
③简谐运动的频率f=
=____;
④_______称为相位;
⑤x=0时的相位___称为初相位.
A
ωx+φ
φ
(2)本质:A、ω、φ有各自的物理意义,各自决定了函数性质中的一部分.
(3)应用:根据A、ω、φ的物理意义,在解题时能比较简单地求出函数解析式.
【思考】
在函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,A,b与函数的最值有何关系?
提示:A,b与函数的最大值ymax,最小值ymin关系如下:
(1)ymax=A+b,ymin=-A+b;
2.解三角函数应用题的基本步骤
(1)审清题意;
(2)搜集整理数据,建立数学模型;
(3)讨论变量关系,求解数学模型;
(4)检验,作出结论.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的初相位为φ.
( )
(2)“五点法”作函数y=2sin
在一个周期上的简图时,第一个点
为
.( )
提示:(1)×.当A>0,ω>0时,y=Asin(ωx+φ)的初相位才是φ.
(2)×.“五点法”作y=2sin
在一个周期上的简图时,令x+
=0,
所以第一个点为
.
2.函数y=
的周期、振幅、初相位分别是
( )
A.3π,
B.6π,
C.3π,3,-
D.6π,3,
【解析】选B.y=
的周期T=
=6π,振幅为
,初相位为
.
3.(教材二次开发:例题改编)如图为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要________s往返一次.?
【解析】观察图象可知此简谐运动的周期T=0.8,所以这个简谐运动需要0.8
s往返一次.
答案:0.8
关键能力·合作学习
类型一 简谐运动中常见物理量的运算(数学建模、数学运算)
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)智能主动降噪耳机工作的原理是:通过耳机两端的噪
声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵
消噪音(如图).已知某噪音的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<
)
的振幅为1,周期为2π,初相为0,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波
曲线为
( )
A.y=sin
x
B.y=cos
x
C.y=-sin
x
D.y=-cos
x
2.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin(160πt)+115.其中f(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数(即频率)为
( )
A.60
B.70
C.80
D.90
3.如图,从某点给单摆一个作用力后,单摆开始来回摆动,它离开平衡位置O的
距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数解析式为s=5sin
,则单摆摆动时,
从最右边到最左边的时间为
( )
A.2s
B.1s
C.
s
D.
s
【解析】1.选C.由某噪音的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<
)
的振幅为1,周期为2π,初相为0,知声波曲线:y=sin
x,通过听感主动降噪芯
片生成相等的反向波曲线为y=-sin
x.
2.选C.因为T=
,所以f=
=80.
3.选C.由题意,知周期T=
=1(s).单摆从最右边到最左边的时间是半个周期,
为
s.
【解题策略】
简谐运动中常见物理量的确定方法
(1)A表示简谐运动离开平衡位置的最大距离,也可以用最大值减最小值除以
2得到;
(2)周期T=
表示简谐运动往返运动一次所需要的时间;频率f=
表示运动物体在单位时间内往返运动的次数;
(3)初相位φ是相位ωx+φ(ω>0)在x=0时的值.
【补偿训练】1.函数y=3sin
的频率为________,相位为________,初相位为________.?
2.某地一天内的温度变化曲线满足y=3sin(0.2x+25)+15,则在一天内,该地的最大温差是________.?
【解析】1.频率为
相位为
初相位为-
.
答案:
2.因为函数y=3sin(0.2x+25)+15的振幅为A=3,可以判断该地的最大温差是
2A=6.
答案:6
类型二 三角函数图象类问题(直观想象、数学抽象)
【典例】1.函数y=x+sin|x|,x∈
的大致图象是
( )
2.(2020·新乡高一检测)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位
置为P0(
,-
),角速度为1
rad/s,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数
图象大致为
( )
【思路导引】1.根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断.
2.根据题意,选择几个特殊的点马上就能找到答案.
【解析】1.选C.y=x+sin
|x|是非奇非偶函数,图象既不关于y轴对称,也不关于
原点对称,故选C.
2.选C.通过分析可知当t=0时,点P到x轴的距离d为
,于是可以排除选项A,D,
再根据当t=
时,可知点P在x轴上,此时点P到x轴的距离d为0,排除选项B.
【解题策略】
解决函数图象与解析式对应问题的策略
可以按照定义域、奇偶性、单调性、特殊值的顺序进行判断,即先由定义域确定图象的范围,由奇偶性确定图象的对称性,由单调性确定图象的变化趋势等判断;也可以用特殊点(值)判断.
【跟踪训练】
函数f(x)=2sin
x(x∈
)的图象大致为
( )
【解析】选A.f(-π)=2sin(-π)=20=1,f
=2-1=0.5,f(0)=2sin
0=20=1,
f
=2,f(π)=2sin
π=20=1.由此知选项A符合要求.
类型三 三角函数模型的应用(数学建模)
角度1 三角函数模型在物理中的应用?
【典例】已知电流I(单位:A)与时间t(单位:s)的关系为
I=A
(1)如图是该函数在一个周期内的图象,求该函数的解析式;
(2)如果t在任意一段
s的时间内,电流I都能取到最大值和最小值,那么ω的最小值是多少?
【思路导引】可先由图象确定电流I的解析式,再由函数的性质确定ω的最小值.
【解析】(1)由题图知A=300,
周期T=
所以ω=
=150π.
又当t=
时,I=0,
即sin
=0,
而|φ|<
,所以φ=
.
故所求的解析式为I=300sin
(2)依题意,周期T≤
所以ω≥300π,故ω的最小值为300π.
【变式探究】
典例中条件不变,最大电流值第一次出现与第二次出现的时间间隔为
________秒.?
【解析】由典例知电流的解析式为I=300sin
,最大电流值第一次
出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T=
(秒).
答案:
【解题策略】利用三角函数处理物理学问题的策略
(1)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题,解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相位、相位的实际意义和表示方法.
(2)将图形语言转化成符号语言,根据图形信息利用待定系数法,求函数模型y=Asin(ωx+φ)中的未知参数后,再由解析式及性质解决具体问题.
角度2 三角函数模型在生活中的应用?
【典例】(2020·苏州高一检测)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周的景色(如图1).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时.
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数解析式满足
H(t)=Asin(ωt+φ)+B,其中A>0,ω>0,|φ|≤
,求摩天轮转动时的解析式
H(t);
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间相隔5个座舱,在摩天轮转动一周
的过程中,记两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.
【思路导引】(1)根据函数解析式H(t)=Asin(ωt+φ)+B,求出A,B,φ和ω的值即可;
(2)令H(t)=30,求出t∈[0,30]内的值即可;
(3)根据游客甲距离地面高度的解析式y甲和乙距离地面高度的解析式y乙,利用三角函数的图象计算h=|y甲-y乙|的最大值即可.
【解析】(1)H关于t的函数解析式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B,
由
解得A=40,B=50;
又t=0时,H(0)=40sin
φ+50=10,解得sin
φ=-1,
因为|φ|≤
,所以φ=-
;
又T=30,所以ω=
所以摩天轮转动时的解析式为
H(t)=40sin
+50.
(2)令H(t)=30,得40sin
+50=30,
即sin
=-
,
所以cos
t=
,
解得
t=
,或
t=
,
解得t=5,或t=25;
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟,和25分钟时,距离地面的高度恰好为30米.
(3)由题意知,游客甲距离地面高度的解析式为y甲=40sin
+50,
游客乙距离地面高度的解析式为y乙=40sin
+50,
则h=|y甲-y乙|=40
令
=π,解得t=10,此时h=|y甲-y乙|取得最大值为40;
所以两人距离地面的高度差h的最大值为40米.
【解题策略】解三角函数应用问题的基本步骤
(1)已知函数模型,利用题目中提供的数据和有关性质解决问题,其关键是求出函数解析式中的参数,将实际问题转化为三角方程或三角不等式,然后解方程或不等式,可使问题得以解决.
(2)未知函数模型,把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
【题组训练】
1.(2020·三门峡高一检测)在一个港口,相邻两次高潮发生的时间间隔为12
h,
低潮时水深9
m,高潮时水深15
m.每天潮涨潮落时,该港口水的深度y(m)关于
时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k的图象,其中
0≤t≤24,且t=3时涨潮到一次高潮,则该函数的解析式可以是
( )
A.y=3sin
t+12
B.y=-3sin
t+12
C.y=3sin
t+12
D.y=3cos
t+12
【解析】选A.根据题意,由ω=
,排除选项C,D.当t=3时,
3sin
t+12=3sin
+12=15,符合题意,-3sin
t+12=-3sin
+12=9.
不符合题意,故选项B错误.
2.一根长l
cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置
的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cos
,其中g是重力加速
度,当小球摆动的周期是1
s时,线长l=________cm.?
【解析】由已知得
=1,所以
=2π,
所以
=4π2,l=
.
答案:
课堂检测·素养达标
1.简谐运动y=4sin
的相位、初相位、频率是
( )
A.5x-
B.5x-
,4,
C.5x-
,-
D.4,
,2π
【解析】选C.相位是5x-
,当x=0时的相位为初相位即-
,周期T=
,
频率f=
.
2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们
在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin
,
s2=10cos2t确定,则当t=
s时,s1与s2的大小关系是
( )
A.s1>s2
B.s1C.s1=s2
D.不能确定
【解析】选C.当t=
时,s1=5sin
=5sin
=-5,
当t=
时,s2=10cos
=10×
=-5,故s1=s2.
3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=2sin(ωx+φ)
的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是
( )
A.2,-
B.2,-
C.4,-
D.4,
【解析】选A.由图象可知
,所以T=
=π,所以ω=2.因为
是五点作图的第二个点,所以2×
+φ=
,所以φ=-
.
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一节某商场的人流量满足函
数F(t)=50+4sin
(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的
( )
【解析】选C.由2kπ-
≤2kπ+
,k∈Z,知函数F(t)的增区间
为
,k∈Z.当k=1时,t∈
5.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)=2sin
其中f(t)的单位为m,t的单位是h,则12点时潮水的高度是________m.?
【解析】当t=12时,f(12)=2sin
=1.
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课时素养评价
四十四 三角函数应用
(15分钟 30分)
1.函数y=-2sin的周期、振幅、初相位分别是
( )
A.2π,-2,
B.4π,-2,
C.2π,2,-
D.4π,2,-
【解析】选D.y=-2sin
=2sin,所以周期T==4π,振幅A=2,初相位φ=-.
【补偿训练】
已知简谐运动f(x)=2sin(x+φ)(|φ|≤)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相位φ分别为
( )
A.T=6,φ=
B.T=6,φ=
C.T=6π,φ=
D.T=6π,φ=
【解析】选A.由题意知T==6.由f(x)的图象过点(0,1)知sin
φ=,因为|φ|≤,所以φ=.
2.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则t为s时的电流强度为
( )
A.0
A
B.-5
A
C.10
A
D.-10
A
【解析】选A.由图象知A=10,
T=2×=,所以ω==100π.
因为图象过,
所以10=10sin,
即sin=1且0<φ<,
所以+φ=,故φ=.
所以I=10sin,
当t=时,I=10sin
=10sin
6π=0(A).
3.与图中曲线对应的函数解析式是
( )
A.y=|sin
x|
B.y=sin
|x|
C.y=-sin
|x|
D.y=-|sin
x|
【解析】选C.注意题图所对的函数值有正有负,因此可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin
|x|>0,而图中显然是小于零,因此排除选项B.
4.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asin+60(t(天),P(美元),A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150天时达到最低油价,则ω的最小值为______.?
【解析】因为Asin+60=80,
-1≤sin≤1,
所以A=20,当t=150天时达到最低油价,
即sin=-1,
此时150ωπ+=2kπ-,k∈Z,
因为ω>0,所以当k=1时,ω取最小值,
所以150ωπ+=π,解得ω=.
答案:
5.如图所示,某动物种群数量1月1日最少,值为700,7月1日最多,值为900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式.(其中t以年初以来的月为计量单位,如t=1表示2月1日)
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
【解析】(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π),
则
解得A=100,b=800.
又周期T=2×(6-0)=12,所以ω==,
所以y=100sin+800.
又当t=6时,y=900,
所以900=100sin+800,
所以sin(π+φ)=1,所以sin
φ=-1,
因为|φ|<π,所以φ=-,
所以y=100sin+800.
(2)当t=2时,y=100sin+800=750,
即当年3月1日动物种群数量约是750.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙点的位置将处于图中
( )
A.甲点
B.乙点
C.丙点
D.丁点
【解析】选D.与乙点的位置相差周期的点为丁点.
2.如图,为一半径为3
m的水轮,水轮圆心O距离水面2
m,已知水轮1
min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有
( )
A.ω=,A=3
B.ω=,A=3
C.ω=,A=5
D.ω=,A=5
【解析】选A.由题目可知最大值为5,所以5=A×1+2?A=3.T=15,则ω=.
3.(2020·聊城高一检测)已知点P是单位圆上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度1
rad/s做圆周运动,则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位:s)的函数关系式为
( )
A.y=sin,(t≥0)
B.y=sin,(t≥0)
C.y=-cos,(t≥0)
D.y=-cos,(t≥0)
【解析】选A.由题意,知圆心角∠POP0的弧度数为t·1=t,则∠POx的弧度数为t-,则由任意角的三角函数的定义,知点P的纵坐标y=sin,t≥0.
【补偿训练】
函数f(x)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是
( )
A.f(x)=x+sin
x
B.f(x)=
C.f(x)=xcos
x
D.f(x)=x
【解析】选C.观察图象知函数为奇函数,排除D项;又函数在x=0处有意义,排除B项;取x=,f=0,A项不合适.
4.如图是函数y=sin
x(0≤x≤π)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x轴的平行线,交其图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是
( )
【解析】选A.当x∈时,f(x)=π-2x;
当x∈时,f(x)=2x-π.
【误区警示】此题中选项CD很容易排除,问题往往出在选项AB上,当点A在y=sin
x(0≤x≤π)上运动时,很多同学想当然认为f(x)的图象为曲线,故选择了B项,其实因为点A的横坐标为x,所以f(x)=π-2x或f(x)=2x-π.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是
( )
A.该质点的运动周期为0.8
s
B.该质点的振幅为5
cm
C.该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度最大
D.该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度为零
【解析】选ABD.由题干图可知,=0.7-0.3=0.4,所以T=0.8;最小值为-5,所以振幅为5
cm;在0.1
s和0.5
s时,质点到达运动的端点,所以速度为0.
6.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况,则水面高度为3米的时间可能是
( )
A.7
B.13
C.14
D.19
【解析】选AD.根据题图设h=Asin(ωt+φ),则A=6,T=12,=12,所以ω=,点(6,0)为“五点”作图法中的第一个点,所以×6+φ=0,所以φ=-π,
所以h=6·sin=-6sin
t,t∈.分别代入选择项验证得选项AD符合题意,13时和14时水面高度不为3米.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·苏州高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=与函数f(x)=sin(ω>0)的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1,A2,…,若点A1的横坐标为1.则点A2的横坐标为______.?
【解析】因为点A1的横坐标为1,
即当x=1时,f(x)=sin=,
所以ω+=2kπ+或ω+=2kπ+(k∈Z),
又直线l:y=与函数f(x)=sin(ω>0)的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1,A2,…,
所以ω+=,故ω=,
所以函数的关系式为f(x)=sin.
令f(x)=,即sin=,
所以πx+=+2kπ或πx+=π+2kπ,k∈Z,
所以x=3k或x=1+3k,k∈Z.
因为x1=1,x2=3,所以第二个公共点为.
答案:3
8.振动量函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的运动周期为________,相位是________.?
【解析】因为频率f=,所以T==,
所以ω==3π.所以相位ωx+φ=3πx-π.
答案: 3πx-π
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知弹簧挂着的小球上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h=3sin.
(1)求小球开始振动的位置;
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标.
【解析】(1)令t=0,得h=3sin
=,
所以开始振动的位置为.
(2)由题意知,当h=3时,t的最小值为,即所求最高点为;当h=-3时,t的最小值为,即所求最低点为.
10.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①各年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物?
【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
根据上述分析可得,=12,故ω=,
且解得
根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,
故sin=-1,且sin=1.
又因为0<|φ|<π,故φ=-.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.
(2)由条件可知,200sin+300≥400,
化简得:sin≥,
即2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N
,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.
故只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400份的食物.
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