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课时素养评价
四十五 函数的零点
(15分钟 35分)
1.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(0)>0,f(1)>0,f(2)<0,则y=f(x)有唯一零点需满足的条件是
( )
A.f(3)<0
B.函数f(x)在定义域内是增函数
C.f(3)>0
D.函数f(x)在定义域内是减函数
【解析】选D.因为f(1)>0,f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上一定有零点.若要保证只有一个零点,则函数f(x)在定义域内必须是减函数.
2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.∪
【解析】选B.根据题意,函数f(x)=mx+1,
当m=0时,f(x)=1,没有零点,
当m≠0时,f(x)为单调函数,若其在区间(1,2)内存在零点,必有f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解可得:-1
即m的取值范围为.
3.(2020·张家界高一检测)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,e)
D.(3,4)
【解析】选B.因为f(1)=ln
2-2<0,
f(2)=ln
3-1>ln
e-1=0,即f(1)·f(2)<0,
所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在区间是(1,2).
【补偿训练】
方程ln
x+x-4=0的实根所在的区间为
( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
【解析】选B.令f(x)=ln
x+x-4,在定义域上连续且单调递增,
f(3)=ln
3+3-4=ln
3-1>0,
f(2)=ln
2+2-4=ln
2-2<0,
故f(2)f(3)<0,故实根所在区间是(2,3).
4.(2020·徐州高一检测)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为
( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.b>a>c
【解析】选B.令f(x)=3x+x=0,则x=-3x,
令g(x)=log3x+x=0,则x=-log3x,
令h(x)=x3+x=0,则x=-x3,
设函数f(x),g(x),h(x)的零点分别为a,b,c,
作出函数y=-3x,y=-log3x,y=-x3,y=x的图象如图,由图可知:b>c>a.
5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.?
【解析】因为函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,
所以即
所以g(x)=6x2-5x-1,
所以g(x)的零点为1和-.
答案:1和-
6.已知函数f(x)=
(1)在如图所示的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.
(2)若f(a)=2,求实数a的值.
(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.
【解析】(1)函数图象如图,
由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+∞).
(2)由f(a)=2,得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.
(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-<-m≤0,解得0≤m<.
【补偿训练】
(2020·普宁高一检测)已知a>0,函数f(x)=,(x∈R).
(1)证明:f(x)是奇函数.
(2)如果方程f(x)=1只有一个实数解,求a的值.
【解析】(1)由函数f(x)=(x∈R),可得定义域为R,且f(-x)=-=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)方程f(x)=1只有一个实数解,
即为x2-ax+1=0,即Δ=a2-4=0,
解得a=2(-2舍去),
所以a的值为2.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·十堰高一检测)若点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则f(x)的零点为
( )
A.1
B.
C.2
D.
【解析】选D.根据题意,点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,
则log1456=k×log147+3,
解得k=-2,
则f(x)=-2x+3,若f(x)=0,则x=,
即f(x)的零点为.
2.(2020·烟台高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是
( )
A.a<αB.a<α<βC.αD.α【解析】选C.因为α,β是函数f(x)的两个零点,
所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,
结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.
3.(2020·常州高一检测)已知函数f(x)=(a>0且a≠1),若函数图象上关于原点对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.当x<0时,f(x)=-loga(-x),
则x>0时,函数g(x)=logax的图象与函数f(x)的图象关于原点对称;
又x≥0时,f(x)=cos-1,
画出函数f(x)=cos-1(x≥0)和函数g(x)=logax的图象,
如图所示:
要使f(x)=cos-1(x≥0)与g(x)=
logax(x>0)的图象至少有3个交点,
需使0即所以
解得 即0所以a的取值范围是.
4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的零点个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.由题意,令f(f(x))-1=0,得
f(f(x))=1,令f(x)=t,
由f(t)=1,得t=-1或t=,
作出函数f(x)的图象,如图所示,
结合函数f(x)的图象可知,f(x)=-1有1个解,f(x)=有2个解,
故y=f(f(x))-1的零点个数为3.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是
( )
A.-2
B.-1
C.-4
D.-3
【解析】选AD.f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,则<0,解得-46.函数f(x)=|x2-4x|-m恰好有两个不同零点,则m的值可以是
( )
A.m>4
B.4
C.0D.0
【解析】选AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|,
作出y=|x2-4x|的函数图象如图所示:
因为f(x)恰好有两个不同的零点,
所以直线y=m与y=|x2-4x|的图象有两个不同的交点,
所以m=0或m>4.
【光速解题】选取特殊值通过求零点判断.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·抚州高一检测)函数f(x)=(2x-3)·
ln(x-2)的零点个数为________.?
【解析】函数的定义域为{x|x>2},
令(2x-3)·ln(x-2)=0,因为2x-3>0,
可得ln
(x-2)=0,解得x=3.
所以函数的零点只有1个.
答案:1
【误区警示】本题容易出现忽视定义域的错误,误认为零点个数为2.
8.(2020·徐州高一检测)设函数f(x)=g(x)=loga(x-1)(a>1).
(1)f(2
019)的值为______;?
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围是______.?
【解析】(1)f(2
019)=f(2
017)=…=f(-1)=-1=1;
(2)当0所以f(x)=f(x-2)=-1;
当2所以f(x)=f(x-2)=-1;
当4所以f(x)=f(x-2)=-1;
当6所以f(x)=f(x-2)=-1;
画出f(x)和g(x)两个函数的图象如图所示,由loga(4-1)=3,得a=,
由loga(6-1)=3,得a=,
由图可知,当两个函数的图象有3个交点时,
即函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点时,
实数a的取值范围是(,].
答案:(1)1 (2)(,]
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·常州高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+6)=f(x),当x∈(0,3)时,f(x)=loga(x2-x+1).
(1)当x∈(-3,0)时,求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的零点构成的集合.
【解析】(1)当x∈(-3,0)时,-x∈(0,3),
所以f(-x)=loga[(-x)2-(-x)+1]
=loga(x2+x+1).
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-loga(x2+x+1),
即当x∈(-3,0)时,f(x)=-loga(x2+x+1).
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-3)=-f(3),
因为f(x+6)=f(x),所以f(-3)=f(3),
所以f(-3)=f(3)=0,
当x∈(0,3)时,令f(x)=loga(x2-x+1)=0,
得x2-x+1=1,
解得x=0(舍去),或x=1,即f(1)=0,
又因为f(x)是奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=0,
所以函数f(x)在[-3,3]上的零点构成的集合为{-3,-1,0,1,3}.
10.已知函数f(x)=(c为常数),若1为函数f(x)的零点.
(1)求c的值.
(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调增函数.
(3)已知函数g(x)=f(ex)-,求函数g(x)的零点.
【解析】(1)因为1为函数f(x)的零点,
所以f(1)=0,即c=1.
(2)设0≤x1则f(x2)-f(x1)=-=,
因为0≤x10,x2+1>0,x1+1>0,所以f(x2)>f(x1),即函数f(x)在[0,2]上是单调增函数.
(3)令g(x)=f(ex)-=-=0,
所以ex=2,即x=ln
2,
所以函数g(x)的零点是ln
2.
1.(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=函数g(x)=f(1-x)-m,则当【解析】因为f(x)=
所以f(1-x)=
令y=f(x)+f(1-x)-m=0得m=f(x)+f(1-x),
令h(x)=f(x)+f(1-x)=
作出h(x)的函数图象如图所示:
所以当即函数y=f(x)+g(x)的零点个数为4.
答案:4
2.(2019·泰州高一检测)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2-2x+2.若对任意x1∈[-1,0),都存在唯一的x2∈[0,+∞),使得f(x1)+f(x2)=a成立,则实数a的取值范围是
( )
A.(-2,-1]∪[0,+∞)
B.(-2,-1)∪[0,+∞)
C.(-2,-1]
D.[1,+∞)
【解析】选A.由函数为定义在R上的奇函数及x>0时,f(x)=x2-2x+2,得x<0时,
f(x)=-x2-2x-2,
作出f(0)=0,f(x)的图象如图所示.
若对任意x1∈[-1,0),即f(x1)∈(-2,-1],
都存在唯一的x2∈[0,+∞),使得f(x1)+f(x2)=a成立,
①当x2=0时,f(0)=0,这时f(x1)+f(x2)=
f(x1)∈(-2,-1],所以a∈(-2,-1];
②当x2>0时,由f(x1)+f(x2)=a,
可得a-f(x2)=f(x1)∈(-2,-1],
即f(x2)∈[a+1,a+2),
由题意可得a+1≥1,即有a≥0,
综上可得,a的取值范围是(-2,-1]∪[0,+∞).
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PAGE(共45张PPT)
8.1.1 函数的零点
必备知识·自主学习
1.函数的零点
(1)概念:使函数y=f(x)的值为0的______.
零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系:
实数x
(2)本质:方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.
(3)应用:利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系,实现三种问题的相互转化.
【思考】
函数的零点是点吗?
提示:不是,是使f(x)=0的实数x,是方程f(x)=0的根.
2.函数零点范围的判定
(1)条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,
且有_____________;
(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
(3)本质:利用函数的性质判断零点的存在性.
(4)应用:判断零点的存在性、求参数的范围等.
f(a)f(b)<0
【思考】
函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0？
提示：不一定，如f(x)=x2在区间(-1,
1)上有零点0，
但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有
f(a)f(b)<0，则函数在区间(a,b)内有唯一的零点.
( )
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上f(a)·f(b)>0,则在区间
(a,b)内一定没有零点.
( )
(3)函数f(x)=x2-x+1有零点.
( )
提示：(1)×.在区间(a，b)内至少有一个零点.
(2)×.如f(x)=x2在区间(-1,
1)上有f(-1)f(1)
=1×1=1>0但是在区间(-1,
1)上有零点0.
(3)×.因为方程x2-x+1=0的Δ=1-4=-3<0无根，所以函数没有零点.
2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,且其中的四组对应值如表,那么在下列区间中,函数f(x)不一定存在零点的是
( )
A.(1,2)
B.[1,3]
C.[2,5)
D.(3,5)
x
1
2
3
5
f(x)
3
-1
2
0
【解析】选D.由题表可知,f(1)=3,f(2)=-1,f(3)=2,f(5)=0.
由f(1)?f(2)<0,可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点;则函数f(x)在[1,3]上一定有零点;
由f(2)?f(3)<0,可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点,则函数f(x)在[2,5)上一定有零点;
由f(3)>0,f(5)=0,可知f(x)在(3,5)上不一定有零点.
所以函数f(x)不一定存在零点的区间是(3,5).
3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=
ln
x-6的零点是________.?
【解析】令f(x)=
ln
x-6=0,则ln
x=6,解得x=e6.
答案:e6
关键能力·合作学习
类型一 零点的概念及求法(数学运算)
【题组训练】
1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是
( )
A.-1,0
B.0,4
C.1,-4
D.-1,4
2.(多选题)已知函数f(x)=
则f(x)的零点为
( )
A.1
B.-2
C.2
D.3
3.若函数f(x)=ax+1-2a的零点是
,则a=________.?
【解析】1.选D.根据题意,函数f(x)=x2-3x-4,
若f(x)=0,即x2-3x-4=0,解得x=-1或4,
即函数的零点为-1,4.
2.选AC.当x<2时,由ex-1-1=0,解得x=1;
当x≥2时,由log3
=0,得
=1,
即x2-1=3,解得x=2.
所以f(x)的零点为1,2.
3.依题意得f
=0,即
a+1-2a=0,解得a=
.
答案:
【解题策略】
函数零点的求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
类型二 零点个数的判断(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.函数f(x)=x3-x的零点的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2-2x(x≥0),则函数f(x)的零点个数
为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3.(2020·南通高一检测)函数y=f(x)是定义域为R,周期为2的函数,且当
x∈[-1,1)时,f(x)=1-x2;已知函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)-g(x)在区间
[-7,10]内的零点个数为
( )
A.11
B.13
C.15
D.17
【思路导引】1.求出零点再判断.
2.先求出x≥0时的零点,再利用奇偶性判断x<0时的零点.
3.利用函数y=f(x)的周期性结合图象求解.
【解析】1.选D.函数f(x)=x3-x=x(x+1)(x-1)=0,解得x=0或x=1或x=-1.
函数f(x)=x3-x的零点的个数是3.
2.选D.当x≥0时,f(x)=x2-2x=0可得,x=0或x=2,因为f(x)为奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=0,从而函数f(x)有3个零点:0,2,-2.
3.选C.因为x∈[-1,1)时,f(x)=1-x2,且f(x)的周期为2,
所以当x∈[2k-1,2k+1)时,f(x)=1-(x-2k)2(k∈Z).
又函数y=f(x)-g(x)在区间[-7,10]内的零点的个数即为f(x)和g(x)=lg|x|的交点个数,如图所示:
结合图象可得f(x)和g(x)=lg|x|的交点个数为15.
【解题策略】
关于函数零点个数的判断
(1)能直接求出零点的直接求零点判断;
(2)利用函数的图象判断零点个数.
①原理:函数的零点个数?方程的根的个数?移项拆分为两个初等函数,函数交点个数;
②关键:拆分成的两个函数应方便作图.
【变式探究】
(2020·宝鸡高一检测)已知函数f(x)=
则函数f(x)的零点个
数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.当x≤1时,
令f(x)=0,得x2+
x=0,
解得x=-
或x=0;
当x>1时,令f(x)=0,得ln
x-
x+3=0,
故ln
x+3=
x,
在同一直角坐标系中分别作出y=ln
x+3,y=
x的图象如图所示,
观察可知,有1个交点,即f(x)=0在(1,+∞)上有1个解;综上所述,函数f(x)的零点个数为3.
类型三 函数零点范围的判定(数学运算、逻辑推理)
角度1 判断零点所在的区间?
【典例】(2020·菏泽高一检测)函数f(x)=log8x-
的一个零点所在的区间
是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
【思路导引】代入端点值判断符号关系.
【解析】选B.函数f(x)=log8x-
是连续增函数,因为
f(2)=log82-
>0,可得f(1)f(2)<0,
所以函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2).
角度2 由零点所在的区间求范围?
【典例】(2020·启东高一检测)已知函数f(x)=
若函数
y=f(x)-1恰有4个不同的零点,则实数a的取值范围是____.?
【思路导引】利用图象确定条件求范围.
【解析】因为函数y=f(x)-1恰有4个不同的零点,
所以函数y=f(x)与函数y=1有4个不同的交点,
所以当x≥1时,f(x)=(2x-a)2,需要与y=1有两个交点,故对称轴为x=
>1,且
f(1)≥1,
所以
所以a≥3,
当x<1时,f(x)=
-|x+1|的最大值为f(-1)=
>1,此时,与y=1有2个交点,
综上所述,实数a的取值范围是[3,+∞).
答案:[3,+∞)
【解题策略】
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数.
则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
【题组训练】
1.函数f(x)=ex-x-
(e=2.718
28…是自然对数的底数)一定存在零点的区间
是( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,e)
【解析】选B.f(x)=ex-x-
为连续函数,
且f(-1)=e-1+1-
<0,f(0)=1-0-
<0,
f(1)=e-1-
>0,
f(2)=e2-2-
>0,f(e)=ee-e-
>0,
可得f(x)在(0,1)内存在零点.
2.(2020·镇江高一检测)已知方程ex=8-x的解x0∈(k,k+1)(k∈Z),则k=
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.由方程ex=8-x可得ex+x-8=0,
令f(x)=ex+x-8,
因为f(1)=e+1-8=e-7<0,
f(2)=e2+2-8=e2-6>0,
所以x0∈(1,2),所以k=1.
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=log2(2x+1)的零点是
( )
A.1
B.0
C.(0,0)
D.(1,1)
【解析】选B.令log2(2x+1)=0,解得x=0.
2.(2020·淮安高一检测)已知m是函数f(x)=
-2x+2的零点,则实数m∈
( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
【解析】选B.由f(x)=
-2x+2=0可得,
+2=2x.
作出函数y=
+2与y=2x的图象如图所示,
当00恒成立,没有零点,因为f(1)=1>0,f(2)=
-2<0,故在(1,2)
上有零点,
结合图象可知,
当x>2时,
+2<2x,即y=
+2恒在y=2x的下方.
故m∈(1,2).
3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=ex+3x+1的零点所在的区间为( )
A.(-2,-1)
B.
C.
D.
【解析】选B.函数f(x)=ex+3x+1是连续函数,
因为f(-1)=e-1-3+1<0,
故函数的零点所在的区间为
4.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b=________.?
【解析】因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0,
所以b=±2.
答案:±2
5.(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=|x2-5|-2,则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为________.?
【解析】显然x=0不是函数F(x)的零点,
令F(x)=xf(x)-1=0,则f(x)=
.
故函数F(x)的零点个数即为函数f(x)的图象与函数g(x)=
的图象的交点个数,
在同一坐标系中作两函数图象如图:
由图可知,函数f(x)与函数g(x)的图象有5个交点,即函数F(x)有5个零点.
答案:5