(共43张PPT)
8.1.2 用二分法求方程的近似解
必备知识·自主学习
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何函数的零点都可以用二分法求得.
( )
(2)用二分法求出的函数零点就是精确值.
( )
提示:(1)×.函数需满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0,才能用二分法
求零点.
(2)×.用二分法求出的函数零点可能是精确值,也可能是近似值.
2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是
( )
【解析】选A.只有A中图象与x轴交点两侧的函数值不变号,都是正值,因此不能用二分法.
3.(教材二次开发:例题改编)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:
x
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
f(x)
-2
0.625
-0.984
-0.260
0.162
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确到0.1)为________.?
【解析】因为f(1)f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5);
因为f(1.437
5)≈0.162>0,
又f(1.375)≈-0.260<0,
所以x0∈(1.375,1.437
5),因为1.375与1.437
5精确到0.1的近似值都是1.4,所以原方程的近似解为x≈1.4.
答案:x≈1.4
关键能力·合作学习
类型一 二分法的概念应用(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·周口高一检测)下列函数中能用二分法求零点的是
( )
2.已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是
( )
A.9
B.8
C.7
D.6
3.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,
①二分法既是一种求值方法,又是一种解决实际问题的思想,有着广泛应用;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
其中正确的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】1.选C.只要函数图象有部分在x轴的上下两侧,并且没有间断,就能用二分法求函数零点,观察所给的四个图象,满足条件的只有C.
2.选A.f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,
则x2+6x+c=0,有两个相等的实数根,
则Δ=36-4c=0,解得c=9.
3.选B.①中二分法除了可以求函数的零点,方程的根外,还广泛应用于实际问题中,如在一个串联多焊点的故障检测中,要查出哪个焊点出现故障时,就可以用二分法,以尽快找到故障焊点.正确;②中函数f(x)不一定连续,且无法判断是否有f(a)·f(b)<0,错误;③中利用二分法,步骤循环进行,可以得到小数点后的任一位,正确;
④中用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,错误.
【解题策略】
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.
【补偿训练】
已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为
( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
【解析】选D.由图象可知,函数有4个零点,能用二分法求出的有3个.
类型二 用二分法求函数零点的近似解(逻辑推理)
【典例】用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一个零点,其参考数据如下:
x
0.062
5
0.093
75
0.125
0.156
25
0.187
5
f(x)
-0.456
7
-0.180
9
0.097
8
0.379
7
0.664
7
根据上述数据,可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确到0.1)为
( )
A.0.6
B.0.4
C.0.2
D.0.1
【思路导引】首先确定零点所在的区间,再根据相关的概念判断所取的零点是否正确.
【解析】选D.由参考数据知f(0.093
75)≈-0.180
9<0,f(0.125)≈0.097
8>0,
即f(0.093
75)·f(0.125)<0,
因为0.093
75与0.125精确到0.1的近似值都是0.1,
所以原函数的近似零点为0.1.
【解题策略】
二分法求函数零点的关注点
(1)验证零点所在的区间是否符合要求.
(2)区间内两个端点按要求取得的近似值要相等才可以.
【跟踪训练】
在用二分法求函数f(x)在(0,1)内的零点的近似解时,经计算f(0.625)<0,f(0.72)>0,f(0.687
5)<0,则可得出方程零点的一个近似解为________(精确到0.1).
?
【解析】因为0.72和0.687
5精确到0.1的近似值都是0.7,所以函数f(x)的近似零点为0.7.
答案:0.7
类型三 用二分法求方程的近似解(数学运算、直观想象)
角度1 求方程的近似解?
【典例】为了用二分法求方程2x+3x=7(精确到0.1)的近似解,某同学先令函数f(x)=2x+3x-7,再利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如表所示:
x
1.25
1.312
5
1.375
1.437
5
1.5
1.562
5
f(x)
-0.871
6
-0.578
8
-0.281
3
0.021
0
0.328
4
0.641
2
试根据上表,求方程2x+3x=7的近似解.
【思路导引】首先确定零点所在的区间,再根据精确度求近似解.
【解析】由题干图表可知,函数f(x)=2x+3x-7的零点介于1.375到1.437
5之间.
因为1.375与1.437
5精确到0.1的近似值都是1.4,
所以原方程的近似解为x≈1.4.
角度2 已知方程根的个数求参数范围?
【典例】(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=
设方程f(x)-a=0
有4个不同的根,则实数a的取值范围是________.?
【思路导引】将方程的根的个数变成函数的交点的个数,利用图象解决.
【解析】方程f(x)-a=0有4个不同的根,
即为f(x)=a有4个不等实根,作出y=f(x)的图象,可得
≤a<1时,y=f(x)与y=a的
图象有4个交点.
答案:
【解题策略】
1.关于二分法求方程的根
设出方程对应的函数,函数的零点即为方程的根,因此只需利用二分法求出对应函数的零点即可.
2.关于利用方程的根求参数的范围
(1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式,设出两个函数,作出两个函数的图象,根的个数即为图象交点的个数,利用图象确定参数的范围;
(2)解题思维过程:方程解的个数?函数交点个数?方程根的个数,方法是数形结合法.
【题组训练】
1.利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,初始区间可以取
( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
【解析】选C.设f(x)=log3x-3+x,
因为当连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0时,f(x)在区间(a,b)上有零点,即方程log3x=3-x在区间(a,b)上有解,又因为f(2)=log32-1<0,f(3)=log33-3+3=1>0,
故f(2)·f(3)<0,
故方程log3x=3-x在区间(2,3)上有解.
2.(2020·吉林高一检测)已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-2x恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围为________.?
【解析】因为g(x)=f(x)-2x=
所以g(x)的图象如图:
因为g(x)恰有2个不同的零点,所以g(x)图象与x轴有两个不同的交点.因为若x≤a时,g(x)有两个零点,
则令x2+4x+3=0,得x=-3或x=-1;
则x>a时,没有零点,所以a≥3.
因为若x≤a时,g(x)有一个零点;
则x>a时,g(x)=3-x有一个零点,
所以-3≤a<-1.
答案:[-3,-1)∪[3,+∞)
课堂检测·素养达标
1.用二分法求函数y=f
(x)在区间[2,4]上的唯一零点的近似
值时,验证f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1=
=3,
计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是( )
A.(2,4)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.无法确定
【解析】选B.由题意可知:对于函数y=f(x)在区间[2,4]上,有f(2)·f(4)<0,所
以函数在(2,4)上有零点.取区间的中点x1=
=3,因为计算得f(2)·f(x1)<0,
所以利用函数的零点存在定理得,函数在(2,3)上有零点.
2.(教材二次开发:例题改编)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600
0)
≈0.200
f(1.587
5)
≈0.133
f(1.575
0)
≈0.067
f(1.562
5)
≈0.003
f(1.556
2)
≈-0.029
f(1.550
0)
≈-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确到0.01)为________.
【解析】f(1.562
5)≈0.003>0,f(1.556
2)≈-0.029<0,方程3x-x-4=0的一个近似解在(1.556
2,1.562
5)上,所以精确到0.01的近似解为x≈1.56.
答案:x≈1.56?
3.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间为________.?
【解析】因为f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,
所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0.
所以下一个有根区间应为(2,2.5).
答案:(2,2.5)温馨提示：
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课时素养评价
四十六 用二分法求方程的近似解
(15分钟 30分)
1.在用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内近似根的过程中,已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间
( )
A.(1,1.25)
B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)
D.不能确定
【解析】选B.因为f(1)<0,f(1.5)>0,
所以在区间(1,1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点,又因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,
所以在区间(1.25,1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点,由此可得方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.
2.(2020·盐城高一检测)下列函数中,不能用二分法求函数零点的是
( )
A.f(x)=2x-1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log2x
D.f(x)=ex-2
【解析】选B.A.函数的值域为R,可以使用二分法.
B.函数的值域为[0,+∞),不能使用二分法.
C.f(x)=log2x∈R,可以使用二分法求函数的零点.
D.f(x)=ex-2的值域为(-2,+∞),可以使用二分法求函数的零点.
3.(2020·锦州高一检测)函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,则实数a的取值范围是
( )
A.-3
B.C.-3D.a<-3或a>
【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,
所以即,
解得4.(2020·重庆高一检测)关于x的方程2
020x=有实数根,则实数a的取值范围为______.?
【解析】设y=2
020x,则y的值域为(0,+∞),
所以2
020x=有实数根?>0,
即<0,所以(3a+2)(a-5)<0.
解得,a∈.
答案:
5.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确到0.1).
参考数值:
x
1.25
1.281
25
1.312
5
1.375
1.5
2x
2.378
2.430
2.484
2.594
2.828
【解析】(1)令f(x)=2x+2x-5.
因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.
因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,
f(2)=22+2×2-5=3>0,
所以方程2x+2x=5有一解在(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312
5
f(1.312
5)>0
(1.25,1.312
5)
1.281
25
f(1.281
25)<0
所以方程的近似解在区间(1.25,1.312
5)上,
因为1.25和1.312
5精确到0.1的近似值都是1.3.
即方程2x+2x=5的近似解可取为x≈1.3.
(25分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设关于x的方程4x--b=0(b∈R),若该方程有两个不相等的实数解,则b的取值范围是
( )
A.[-1,0]
B.[-1,0)
C.(-1,0)
D.(0,1)
【解析】选C.令t=2x(t>0),
则原方程可化为:t2-2t-b=0(t>0),
关于x的方程4x--b=0(b∈R),若有两个不相等的实数解,
即方程t2-2t-b=0有两个不相等的正根.
因为t1+t2=2>0,所以解得-12.根据下表,能够判断f(x)=g(x)在下列区间中有实数解的是
( )
x
-1
0
1
2
3
f(x)
-0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
【解析】选B.设函数h(x)=f(x)-g(x),
则h(-1)=f(-1)-g(-1)
=-0.677-(-0.530)=-0.147<0,
h(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.440<0,
h(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0,
h(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0,
h(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0,
所以h(0)·h(1)<0,得函数h(x)=f(x)-g(x)的零点存在区间为(0,1).
3.某方程在区间(2,4)内有一个实根,若用二分法求此根的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062
5<0.1,符合题意.
4.(多选题)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列四个命题中正确的结论是
( )
A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解
B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解
D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
【解析】选AD.根据函数的图象,函数f(x)的图象与x轴有3个交点,所以方程f[g(x)]=0有且仅有三个解;函数g(x)在区间上单调递减,
所以方程g[g(x)]=0有且仅有一个解.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·苏州高一检测)已知函数f(x)=若方程f(x)=ax恰有三个不等的实数根,则实数a的取值范围是________.?
【解析】若x<0,可得x-2=ax,
即x=<0,解得a>1;
由x>0,可得-x3+4x2=ax,可得x2-4x+a=0,有两个不等的正根,可得Δ=16-4a>0,a>0,解得0答案:16.已知函数f(x)=-2x,则f________f(1)(填“>”或“<”);f(x)在区间上存在零点,则正整数n=________.?
【解析】易知函数f(x)=-2x为减函数,
则f>f(1),因为f(1)=1-2=-1,f=2->0,所以f(1)f<0,
所以函数f(x)的零点所在的区间为,
因为f(x)在区间上存在零点,
所以=,解得n=2.
答案:> 2
【补偿训练】
若方程lg
x=2-x的根x0∈(k-1,k),其中k∈Z,则实数k=________.?
【解析】因为lg
x=2-x,所以lg
x+x-2=0,
令g(x)=lg
x+x-2,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(1)=-1<0,g(2)=lg
2>0.
由零点存在定理可知,x0∈(1,2),
因为x0∈(k-1,k),其中k∈Z,则k=2.
答案:2
三、解答题
7.(10分)用二分法求函数y=2x3-3x2-5x+3在区间(-2,-1)内的零点.(精确到0.1)
【解析】y=2x3-3x2-5x+3,
因为f(-2)<0,f(-1)>0,
所以函数在(-2,-1)内存在零点,
取(-2,-1)的中点-1.5,经计算f(-1.5)<0,又f(-1)>0,所以函数在(-1.5,-1)内存在零点,如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如表:
(a,b)
(a,b)的中点
f(a)
f(b)
f
(-2,-1)
-1.5
f(-2)<0
f(-1)>0
f(-1.5)<0
(-1.5,-1)
-1.25
f(-1.5)<0
f(-1)>0
f(-1.25)>0
(-1.5,-1.25)
-1.375
f(-1.5)<0
f(-1.25)>0
f(-1.375)<0
(-1.375,-1.25)
-1.312
5
f(-1.375)<0
f(-1.25)>0
f(-1.312
5)<0
所以函数的零点在区间(-1.312
5,-1.25),
因为-1.25与-1.312
5精确到0.1的近似值都是-1.3,所以函数的零点的近似解是x≈-1.3.
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PAGE(共2张PPT)
第8章 函
数
应
用
8.1 二分法与求方程近似解
新课程标准
学业水平要求
★水平
能类比二次函数的零点抽象出函数零点的概念.(数学抽象)
1.结合学过的函数图象,了解函
2.能从教材实例中归纳出两数的零点、方程的实数解、函数图象与x轴公共
数零点与方程解的关系
关系.(逻辑推理)
结合具体连续函数及其图象
能结合教材实例了解函数岺点存在定理.(逻辑推理)
的特点,了解函数零点存在
★水平
定理
能利用函数的零点、方程的实数解、函数图象与x轴公共点的关系解决相关问
题,能利用函数零点存在定理判断零点所在区间.(逻辑推理)