温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价
四十七 几个函数模型的比较
(15分钟 30分)
1.以下四种说法中,正确的是
( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xn>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax
【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0
1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.
2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为
( )
【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.
【补偿训练】
某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的
( )
【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.
3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是
( )
A.y=0.5(x+1)
B.y=log3x+1.5
C.y=2x-1
D.y=2
【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.
4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下4个模拟函数:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;
③y=x2-5.5x+8;④y=log2x.
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________.?
【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.
答案:④
5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.
根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);
当x=4时,f(x)=g(x);
当x>4时,f(x)
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是
( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型.
2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是
( )
A.y=ax+b
B.y=ax2+bx+c
C.y=a·ex+b
D.y=aln
x+b
【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.
3.下面对函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是
( )
A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变
D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快
【解析】选C.观察函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.
4.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10
℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有
( )
【解析】选BCD.由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;
当t=12时,C(t)=10,故D不正确;
在大于6的某一段时间平均气温大于10
℃,故B不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1)的图象.
有以下说法:
①第4个月时,残留量就会低于;
②每月减少的有害物质质量都相等;
③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确说法的序号是________.?
【解析】由于函数的图象经过点,
故函数的解析式为y=.
当t=4时,y=<,故①正确;
当t=1时,y=,减少,
当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;
分别令y=,,,解得t1=,
t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.
答案:①③
6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是________,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为______米.?
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
【解析】据表中数据作出散点图如图:
由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.
将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3,即h=log3(t+1).
当t=8时,h=log3(8+1)=2,
故可预测第8年松树的高度为2米.
答案:h=loga(t+1) 2
三、解答题
7.(10分)若不等式3x2【解题指南】原不等式等价于3x2【解析】由题意,知3x21,则函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;
当0所以a≥,所以≤a<1.
综上,a的取值范围是.
关闭Word文档返回原板块
PAGE(共56张PPT)
8.2.1 几个函数模型的比较
必备知识·自主学习
1.“指数爆炸”的含义:
指数函数y=ax(a>0且a≠1)随着x的增大
a>1时
y_____,且增大的速度越来越___,呈“_____”的趋势
0y_____,并逐步趋向于__
增大
快
爆炸
减小
0
2.三种函数的增长速度的比较
对于指数函数y=ax(a>1),幂函数y=xα(α>0)和对数函数y=logax(a>1),当x足够
大时,总有___________.
(1)本质:通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的
差异.
(2)应用:根据现实的增长情况,选择合适的函数模型刻画其变化规律.
ax>xα>logax
【思考】
在三种函数增长关系的结论中,怎样理解“总会存在一个x0”?
提示:因为三种函数增长速度不同,当自变量逐渐增大时,三种函数以不同的速度增加.使函数值相等的值可视为临界点就是x0,因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一,比x0大的任意一个实数也可以作为x0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=
的衰减速度越来越慢.
( )
(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
( )
(3)对应任意x∈(0,+∞),总有2x>x2.
( )
提示:(1)√.由函数y=
的图象可知其衰减速度越来越慢.
(2)√.增长速度不变时图象为直线,故是一次函数.
(3)×.当x=2时,22=22.
2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
( )
【解析】选C.小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.
3.(教材二次开发:练习改编)有一组实验数据如表所示:
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是
( )
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=a
+b(a>0)
【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
关键能力·合作学习
类型一 函数增长速度的差异(数学抽象、直观想象)
1.下列函数中,增长速度最快的是
( )
A.y=2
020x
B.y=2
020x
C.y=log2
020x
D.y=2
020
2.在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表.
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-1.01
0.01
0.98
2.00
则x,y最合适的函数是
( )
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
3.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意的序号是________.?
①y=3×1.04x;
②y=20+x10;
③y=40+lg
(x+1);
④y=80.
【解析】1.选B.指数函数的增长速度最快.
2.选D.根据x=0.50,y=-1.01,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;由于随着x的增大,y的增长比较缓慢,符合y=log2x模型.
3.结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大,故填①.
答案:①
【解题策略】
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
特别提醒:函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上.
类型二 函数增长速度的比较(数学抽象、逻辑推理)
【典例】1.(多选题)如图,能使得不等式log2x是
( )
A.x>2
B.x>4
C.0D.22.已知函数f(x)=ln
x,g(x)=0.5x-1的图象如图所示.
(1)指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数.
(2)借助图象,比较f(x)和g(x)的大小.
【思路导引】根据函数的图象,利用图象的高低判断函数值的大小.
【解析】1.选BC.由图象可知,当04时,符合不等式log2x2.(1)C1对应的函数为g(x)=0.5x-1,
C2对应的函数为f(x)=ln
x.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);
当x∈(x1,x2)时,g(x)当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x);
当x=x1或x2时,g(x)=f(x).
综上,当x=x1或x2时,g(x)=f(x);
当x∈(x1,x2)时,g(x)当x∈(0,x1)或(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
【解题策略】
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
【跟踪训练】
在同一坐标系中,画出函数y=x+5和y=2x在(0,+∞)上的图象,并比较x+5与2x的大小.
【解析】函数y=x+5与y=2x的图象如图所示:
当02x,当x=3时,x+5=2x,
当x>3时,x+5<2x.
【补偿训练】
函数f(x)=1.1x,g(x)=ln
x+1,h(x)=
的图象如图所示,试分别指出各曲线对应
的函数,并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线C1对应的
函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=
,曲线C3对应的函数是
g(x)=ln
x+1.由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
类型三 函数增长速度的应用(数学建模、直观想象)
角度1 利用曲线描述函数变化规律?
【典例】当我们在做化学实验时,常常需要将溶液注入容器中,当溶液注入容器(设单位时间内流入的溶液量相同)时,溶液的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应________;B对应________;
C对应________;D对应________.?
【思路导引】由容器的形状,判断溶液高度变化的快慢,从而选择对应的曲线.
【解析】A容器下粗上细,溶液高度的变化越来越快,故与(4)对应;B容器为球形,溶液高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,溶液高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故溶液高度的变化为C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.
答案:(4) (1) (3) (2)
【变式探究】
若将溶液注入如图所示的容器,试作出容器内溶液高度的变化曲线.
【解析】容器内溶液的变化曲线为:
角度2 实际问题中的增长模型?
【典例】为净化湖水的水质,市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物,这些植物在水中的蔓延速度越来越快,2020年经两次实地测量得到表中的数据
月份x(月)
1
2
3
4
5
植物面积y(m2)
24
36
现有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mx2+n(m>0)可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式.
(2)若市环保局在2019年年底投放了11
m2的水生植物,试判断哪个函数模型更合适?并说明理由.
(3)经过长期实地测量,刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快,基本符合
(2)中所选函数模型的增长特点.但是当植物覆盖到一定面积后,其面积的增长速度又变得很慢,最后稳定在一个值左右.试用所学的知识解释这些现象的成因.你从中得到了什么启示?
【思路导引】(1)利用表中的数据,待定系数法求系数.
(2)利用投放的植物面积检验模型.
(3)利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因.
【解析】(1)由已知得
?
所以
由已知得
?
所以
(2)若用模型
则当x=0时,
若用模型
则当x=0时,
易知,使用模型
更为合适.
(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点,因为指数函数模型的增长速度越来越快,因此植物覆盖的面积增长也越来越快.当植物覆盖到一定程度后,由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长,因此覆盖面积的增长变慢,直至稳定在一定范围之内.
从中可以得到以下启示:
数学模型只能从数学角度解释实际问题,而实际问题中的影响因素往往比较多,因此数学模型要与其他学科的知识相结合,才能更准确地解释实际问题.(答案不唯一)
【解题策略】
1.关于曲线的选择
首先关注图形形状对变量增长速度的影响,其次明确当速度变大时,曲线变陡,速度变小时,曲线变缓.
2.关于函数模型的选择
选取函数模型主要依据函数的增长速度,因此要熟悉各个函数模型的增长特点,再利用相关的数据辅助验证.
【题组训练】
1.明清时期,古镇河口因水运而繁华.若有一商家从石塘沿水路顺水航行,前往河口,途中因故障停留一段时间,到达河口后逆水航行返回石塘,假设货船在静水中的速度不变,水流速度不变,若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船距石塘的距离为y(千米),则下列各图中,能反映y与x之间函数关系的大致图象是
( )
2.某公司为了研究年宣传费x(单位:千元)对销售量y(单位:吨)和年利润z(单位:千元)的影响,搜集了近
8
年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)的数据:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
x
38
40
44
46
48
50
52
56
y
45
55
61
63
65
66
67
68
(1)请补齐表格中
8
组数据的散点图,并判断y=a+bx与y=c+d
中哪一个更适
合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)若(1)中的a=7,b=1.2,c=4.2,d=0.07,且产品的年利润z与x,y的关系为
z=200y-x(32≤x≤64),为使年利润值最大,投入的年宣传费
x
应为何值?
【解析】1.选A.由题意可得:货船从石塘到停留一段时间前,y随x增大而增大;停留一段时间内,y随x增大而不变;解除故障到河口这段时间,y随x增大而增大;从河口到返回石塘这段时间,y随x增大而减小.
2.(1)补齐的图如图:
由图可知,销售量随着宣传费的增加而增加,增长的速度越来越慢,因此选取y=c+d
更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式.
(2)依题意得,z=200×(4.2+0.07
)-x(32≤x≤64),
化简得z=840+14
-x(32≤x≤64),
设t=
(4
≤t≤8),
则有z=-t2+14t+840,z=-(t-7)2+889.
故当t=7即投入的年宣传费x=49千元时,年利润取到最大值.
课堂检测·素养达标
1.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是
( )
A.y=100
B.y=100x
C.y=1.01x
D.y=log2x
【解析】选C.结合函数y=100,y=100x,y=1.01x及y=log2x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y=1.01x.
2.如图,点M为?ABCD的边AB上一动点,过点M作直线l垂直于AB,且直线l与?ABCD的另一边交于点N.当点M从A→B匀速运动时,设点M的运动时间为t,△AMN的面积为S,能大致反映S与t的函数关系的图象是
( )
【解析】选C.假设∠A=45°,AD=2
,AB=4,点M的速度为1,则当0≤t≤2时,
AM=MN=t,则S=
t2,为二次函数;当2≤t≤4时,S=t,为一次函数.
3.(教材二次开发:习题改编)
三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为
( )
A.y1,y2,y3
B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1
D.y1,y3,y2
【解析】选C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,对数函数的增长速度越来越慢,y3随x的变化符合此规律;指数函数的增长速度越来越快,y2随x的变化符合此规律;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,y1随x的变化符合此规律.
4.函数y=x2与函数y=xlg
x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________.?
【解析】当x变大时,x比lg
x增长要快,
所以x2要比xlg
x增长的要快.
答案:y=x2
5.某电脑公司六年来电脑年产量y(台)与生产时间x(年)的函数关系如图.有下列说法:①前三年产量增长速度越来越快;②前三年产量增长速度越来越慢;
③后三年这种产品停止生产;④后三年产量保持不变.其中说法正确的是________.(填序号)
?
【解析】结合图象的增长趋势易得出②④正确.
答案:②④