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课时素养评价
四十八 函数的实际应用
(15分钟 30分)
1.随着社会发展对环保的要求,越来越多的燃油汽车被电动汽车取代,为了了解某品牌的电动汽车的节能情况,对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表:
记录时间
累计里程(单位:公里)
平均耗电量(单位:kW·h/公里)
剩余续航里程(单位:公里)
2020年1月1日
5
000
0.125
380
2020年1月2日
5
100
0.126
246
（注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=）
下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( )
A.等于12.5
kW·h
B.12.5
kW·h到12.6
kW·h之间
C.等于12.6
kW·h
D.大于12.6
kW·h
【解析】选D.由题意可得:5
100×0.126-5
000×0.125=642.6-625=17.6,所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计为17.6
kW·h.
2.某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动,并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的
( )
A.2倍以上,但不超过3倍
B.3倍以上,但不超过4倍
C.4倍以上,但不超过5倍
D.5倍以上,但不超过6倍
【解析】选D.4个月后网站点击量变为原来的=,所以是5倍以上,但不超过6倍.
3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到
( )
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
【解析】选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.
4.甲打算从A地出发至B地,现有两种方案:
第一种:在前一半路程用速度v1,在后一半路程用速度v2(v1≠v2),平均速度为;
第二种:在前一半时间用速度v1,在后一半时间用速度v2(v1≠v2),平均速度为;
则,的大小关系为
( )
A.>
B.<
C.=
D.无法确定
【解析】选B.第一种:设总路程为2s,
则==,
第二种:设时间为2t,
则==,,
-=-==>0,所以>.
5.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为________万件.?
【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.
答案:18
6.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,超过30度时,超过部分按每度0.5元.
方案二:不收管理费,每度0.48元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;
(2)小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?
(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
【解析】(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.4x;
当x>30时,L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5=0.5x-1,
所以L(x)=
(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.4x=34,解得x=80,舍去;
当x>30时,由L(x)=0.5x-1=34,解得x=70,所以小李家该月用电70度.
(3)设按第二方案收费为F(x)元,则F(x)=0.48x,当0≤x≤30时,由L(x)
解得2+0.4x<0.48x,解得x>25,
所以25当x>30时,由L(x)得0.5x-1<0.48x,解得x<50,
所以30故小李家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.2019年8月到11月这四个月的某产品价格的市场平均价f(x)(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)的数据如表
x
8
9
10
11
f(x)
28.00
33.99
36.00
34.02
现有三种函数模型:①f(x)=bx+a;②f(x)=ax2+bx+c;③f(x)=+a,找出你认为最适合的函数模型,并估计2019年12月份的该产品市场平均价( )
A.②,28元/千克
B.①,25元/千克
C.②,23元/千克
D.③,21元/千克
【解析】选A.因为f(x)的值随x的值先增后减,
所以选f(x)=ax2+bx+c最合适.
第二组数据近似为(9,34),第四组近似为(11,34),得f(x)图象的对称轴为x=10,
故f(12)=f(8)=28.
2.某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是
( )
A.(a-10%)(a+15%)万元
B.a(1-10%)(1+15%)万元
C.(a-10%+15%)万元
D.
a(1-10%+15%)万元
【解析】选B.由题意,5月份的产值为a(1-10%)(1+15%)万元.
3.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股,可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%,按月计复利,为获取最大利润,某人应将钱[注:(1+0.8%)12≈1.100
339]
( )
A.全部购买股票
B.全部存入银行
C.部分购买股票,部分存银行
D.购买股票或存银行均一样
【解析】选B.买股票利润:x=(18.96-17.25)×10
000,存银行利润:y=17.25×
10
000×(1+0.8%)12-17.25×10
000,计算得x4.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为
( )
A.125
B.100
C.75
D.50
【解析】选C.由已知得a=a·e-50k,
即e-50k==,
所以a=·a=(e-50k·a=e-k·75·a,
所以t=75.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)
( )
A.6
B.9
C.8
D.7
【解析】选BC.设经过n次过滤,产品达到市场要求,则
×≤,
即≤,
由
nlg≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得
n≥≈7.4.
6.如图,摩天轮的半径为40米,摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米,摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最高点处,下面的有关结论正确的有
( )
A.经过3分钟,点P首次到达最低点
B.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C.从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D.摩天轮在旋转一周的过程中点有2分钟距离地面不低于65米
【解析】选ABD.可以以点O在地面上的垂足为原点,OP所在直线为y轴,与OP垂直的向右的方向为x轴正方向建立坐标系,
设y=Asin(ωx+φ)+k,x表示时间.
由题意可得A=40,k=45,P,
T=6,可得ω==,
故有点P离地面的高度y=40sin+45=40cosx+45.A.经过3分钟,
y=40cos+45=5.
点P首次到达最低点,正确;
B.第4分钟和第8分钟点P距离地面的高度分别为f(4)=40cos+45=25,
f(8)=40cos+45=25.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高,正确;
C.从第7分钟至第9分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低,而从第9分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度开始上升.C项不正确.
D.由40cosx+45=65,化为:cosx=,取x=,可得x=1.结合图形可得:摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米.因此正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.要制作一个容积为4
m3,高为1
m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价为20元/m2,侧面造价为10元/m2,则该容器的最低造价是______元.?
【解析】设容器底的长和宽分别为a
m,b
m,成本为y元,
所以S底=ab=4,y=20S底+10[2(a+b)]
=20(a+b)+80≥20×2+80=160,
当且仅当a=b=2时,y取最小值160,则该容器的最低造价为160元.
答案:160
8.(2020·菏泽高一检测)某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料,瓶子的底面半径是r,高h=r(单位:cm),一个瓶子的制造成本是0.8πr2分,已知每出售1
mL(注:1
mL=1
cm3)的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6
cm.记每瓶饮料的利润为f(r),则f(3)=________,其实际意义是________.?
【解析】f(r)=0.2·πr2·r-0.8πr2
=-0.8πr2(0故f(3)=7.2
π-7.2
π=0.
表示当瓶子底面半径为3
cm时,利润为0.
答案:0 当瓶子底面半径为3
cm时,利润为0
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·上海高一检测)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8
000,已知此生产线年产量最大为230吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本P(年总成本除以年产量)最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,且生产的产品全部售完,那么当年产量为多少吨时,年总利润可以获得最大?最大利润是多少?
【解析】(1)y=-48x+8
000,0所以P==+-48≥2-48=32,当且仅当x=200时取等号.
所以年产量为200吨时,生产每吨产品的平均成本P最低,最低成本为32万元.
(2)设利润为z万元,
则z=40x-y
=40x-+48x-8
000
=-x2+88x-8
000
=-(x-220)2+1
680,
即年产量为220吨时,利润最大为1
680万元.
10.为净化新安江水域的水质,市环保局于2017年年底在新安江水域投入一些蒲草,这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快,2018年二月底测得蒲草覆盖面积为
24
m2,2018年三月底测得覆盖面积为36
m2,蒲草覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mx2+n(m>0)可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式;
(2)若市环保局在2017年年底投放了11
m2的蒲草,试判断哪个函数模型更合适?并说明理由;
(3)利用(2)的结论,求蒲草覆盖面积达到320
m2的最小月份.
(参考数据:lg2=0.301
0,lg3=0.477
1)
【解析】(1)由已知?
所以y=.
由已知?
所以
y=x2+.
(2)若用模型y=,则当x=0时,y1=,若用模型y=x2+,则当x=0时y2=,易知使用模型y=更为合适.
(3)由≥320?x≥30,
故x≥30===≈8.39,故蒲草覆盖面积达到320
m2的最小月份是9月.
1.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r=t+10,且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t,
(1)第4天的销售利润为________元;?
(2)在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(m∈N
)元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是________.?
【解析】(1)因为t=4时,r=×4+10=11,y=120-2×4=112,
所以该天的销售利润为11×112=1
232(元);
(2)设捐赠后的利润为W元,
则W=y(r-m)=(120-2t),
化简可得W=-t2+(2m+10)t+1
200-120m.
令W=f(t),因为二次函数的开口向下,对称轴为t=2m+10,由题意,
得2m+10≥20,m∈N
,解得m≥5,m∈N
.
答案:(1)1
232 (2)5
2.铅酸电池是一种蓄电池,电极主要由铅及其氧化物制成,电解液是硫酸溶液,这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点,在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛应用.但是由于在实际生活中使用方法不当,电池能量未被完全使用,导致了能源的浪费,因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中急需解决的问题.
研究发现,当电池以某恒定电流放电时,电压U关于放电时间t的变化率y满足y=a+(其中a,b为常数,无理数e=2.718
28…)
实验数据显示,当时间t的值为0和5时,电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752,求a,b的值.
【解析】电压U关于放电时间t的变化率y满足y=a+(其中a,b为常数,无理数e=2.718
28…)且当时间t的值为0和5时,电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752.
所以可得
解得a=-,b≈1.141.
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8.2.2 函数的实际应用
关键能力·合作学习
类型一 应用问题中的变量关系(数学建模)
【题组训练】
1.小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小
型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)
万元.在年产量不足8万件时,W(x)=
x2+x(万元);在年产量不小于8万件
时,W(x)=6x+
-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商
品当年能全部售完.
写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
【解析】因为每件产品售价为5元,则x万件产品的销售收入为5x万元,依题意得:
当0当x≥8时,L(x)=
所以
2.围建一个面积为360
m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用30
m的旧墙(利用旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为
2
m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:m).
分别写出矩形场地的另一边长C(单位:m)、旧墙维修费用P(单位:元)、新墙的造价R(单位:元)、建设矩形场地的总费用L(单位:元)关于利用旧墙的长度x(单位:m)的函数关系式.
【解析】矩形场地的另一边长C与利用的旧墙的长度x的关系式为C=
,2旧墙的维修费用P与利用的旧墙的长度x的关系式为P=45x,2新墙的造价R与利用的旧墙的长度x的关系式为
总的建造费用L与利用的旧墙的长度x的关系式为
L=P+R=45x+180x+
-360
=225x+
-360,2【解题策略】
关于应用性问题中的函数关系
不同的应用背景决定了其中的函数的关系,生产产品的利润问题是常见的应用背景,主要关注以下几个方面
(1)成本:要分析哪些是固定成本,哪些是可变成本.可变成本是随什么因素的变化而变化.一般最主要的影响因素是生产产量.
(2)销售量:销售量一般随价格的变化而变化.
(3)销售收入:销售收入=销售量×每件产品的销售价格.
(4)利润:利润=销售量×每件产品的销售利润.或利润=销售收入-总成本.
类型二 利用函数模型解决实际问题(数学建模)
【典例】1.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0
℃时的保鲜时间是192小时,在22
℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33
℃时的保鲜时间是____小时
( )?
A.22
B.23
C.24
D.33
2.英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的
冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却,假设这杯水从开始冷却,x分钟后物体
的温度f(x)满足:f(x)=15+
.则从开始冷却,经过5分钟时间这杯水的温度
是________(单位:℃).?
【思路导引】1.可通过整体代入法求解.
2.代入数据,利用对数恒等式运算.
【解析】1.选C.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:
℃)满足
函数关系y=ekx+b
(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数),
该食品在0
℃时的保鲜时间是192小时,在22
℃时的保鲜时间是48小时,
所以
解得e11
k=
,所以该食品在33
℃时的保鲜时间:
=24(小时).
2.f(5)=15+
=15+50×
=
.
答案:
【解题策略】
利用函数模型解决实际问题
(1)已知的函数模型一般含有未知参数,可以利用初始值或已知的数据求出未知参数;
(2)将实际问题转化为比较函数值的大小、求函数的最值、求不等式解集等来解决.即利用函数、不等式等知识解决实际问题.
(3)解题过程中往往需要利用配方、单调性求最值,解含有指数或对数的不等式.解不等式时常常用到换底公式,以及化同底、指对互化等方法.
【补偿训练】
光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度为y=k·0.9x,那么至少通过____块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的
以下(lg3≈0.477,lg2≈0.301)
( )?
A.12
B.13
C.14
D.15
【解析】选C.光线经过x块玻璃后,强度变为y=0.9xk.
由题意0.9xk<
,即0.9x<
,
两边同取对数,可得xlg0.9,因为lg0.9所以
因为x∈N+,所以xmin=14.即至少通过14块玻璃.
类型三 实际问题中函数模型的选择问题(数学建模)
角度1 根据费用(利润)选择函数模型?
【典例】(2020·秦淮高一检测)运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时,500千米/小时,每千米的运费分别为:20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(m>0),运输的路程为s(千米).设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为y1(元),y2(元),y3(元).
(1)请分别写出y1,y2,y3的表达式;
(2)试确定使用哪种运输工具总费用最省.
【思路导引】(1)运输总费用=每千米的费用×s+m×
.
(2)利用y1,y2,y3的表达式比较费用的大小.
【解析】(1)y1=20s+
,y2=10s+
,
y3=50s+
.
(2)因为m>0,s>0,故20s>10s,
所以y1>y2恒成立,故只需比较y2与y3的大小关系即可,
故当40-
>0即m<
时,f(s)>0,
即y2当40-
<0即m>
时,f(s)<0,
即y2>y3,此时选择飞机运输费用最省;
当40-
=0即m=
时,f(s)=0,
即y2=y3,此时选择火车或飞机运输费用最省.
【变式探究】
每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:
方案一:每年植树1万平方米;
方案二:每年树木面积比上年增加9%.
你觉得哪个方案较好?
【解析】方案一:5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).
方案二:5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).
因为15.386>15,所以方案二较好.
角度2 根据模拟效果选择函数模型?
【典例】据调查:人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,2015年,
2016年,2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位,3个单位,6个单位.若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数f(x)=px2+qx+r(其中p,q,r为常数)或函数g(x)=a·bx+c(其中a,b,c为常数),又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好?
【思路导引】首先根据已知条件确定两个模拟函数的解析式,再利用2018年的
测量值检验模拟效果.
【解析】若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数,
则依题意得:
解得
所以f(x)=
x2+
x.
若以g(x)=a·bx+c作模拟函数,
所以
利用f(x),g(x)对2018年CO2浓度作估算,则其数值分别为:
f(4)=10个单位,g(4)=10.5个单位,
因为|f(4)-16.5|>|g(4)-16.5|,
所以
作模拟函数与2018年的实际数据较为接近,故用
作模拟函数较好.
【解题策略】
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格,绘出散点图.
(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线.
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
【题组训练】
已知某观光海域AB段的长度为3百公里,一超级快艇在AB段航行,经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位:万元)与速度v(单位:百公里/小时)(0≤v≤3)的以下数据:
v
0
1
2
3
Q
0
0.7
1.6
3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:
Q=av3+bv2+cv,Q=0.5v+a,Q=klogav+b.
(1)试从中确定最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少?并求出最少航行费用.
【解析】(1)若选择函数模型Q=0.5v+a,则该函数在v∈[0,3]上为单调减函数,
这与试验数据相矛盾,所以不选择该函数模型,
若选择函数模型Q=klogav+b,需v>0,这与试验数据在v=0时有意义矛盾,
所以不选择该函数模型;从而只能选择函数模型Q=av3+bv2+cv,
由试验数据得,a+b+c=0.7,①
8a+4b+2c=1.6,②
27a+9b+3c=3.3,③
联立①②③解得a=0.1,b=-0.2,c=0.8,
故所求函数解析式为:Q=0.1v3-0.2v2+0.8v(0≤v≤3).
(2)设超级快艇在AB段的航行费用为y(万元),
则所需时间为
(小时),其中:0结合(1)知,y=
(0.1v3-0.2v2+0.8v)
=0.3[(v-1)2+7],
当v=1时,ymin=2.1.
即该超级快艇应以1百公里/小时的速度航行才能使AB段的航行费用最少,
最少为2.1万元.
【补偿训练】
随着我国经济的飞速发展,人们的生活水平也同步上升,许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明,人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查,调查显示两种产品投资收益如下:
①投资A产品的收益与投资额的算术平方根成正比;
②投资B产品的收益与投资额成正比.
公司提供了投资1万元时两种产品的收益,分别是0.2万元和0.4万元.
(1)分别求出A产品的收益f(x)、B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式;
(2)假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财,你该如何分配资金,才能让你的收益最大?最大收益是多少?
【解析】(1)设投资A产品的收益f(x)与投资额x的函数关系式为f(x)=m
,
投资B产品的收益g(x)与投资额x的函数关系式为g(x)=kx,
因为投资1万元时两种产品的收益,分别是0.2万元和0.4万元,
所以m
=0.2,k×1=0.4,所以m=0.2,k=0.4,
所以两种产品的收益与投资额的函数关系式分别为:
f(x)=0.2
,g(x)=0.4x.
(2)设10万元中有x万元投资A产品,那么有(10-x)万元投资B产品,则0≤x≤10,
设投资两种产品后总收益为h(x),所以h(x)=f(x)+g(10-x)
=0.2
+0.4(10-x)=-0.4x+0.2
+4,
因为0≤x≤10,所以
所以当
即x=
时h(x)取最大值,最大值为
.所以当投资A产品
万元,
B产品
万元时总收益最大,最大收益为
万元.
课堂检测·素养达标
1.某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,
此商品的销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如表所示的关系.
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
销售单价为x元时,才能获得最大日销售利润p元,则x,p分别为
( )
A.35,225
B.40,300
C.45,350
D.45,400
【解析】选B.由表格可知,x与y满足一次函数关系,设y=ax+b(a≠0),把点
(30,60)和点(40,30)代入得:
解得
所以y=-3x+150(x≥30),
所以销售利润p=y(x-30)=-3x2+240x-4
500(x≥30),所以当x=40时,p的值最大,
最大值为300.
2.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物:
(1)如不超过200元,则不予优惠;
(2)如超过200元但不超过500元,则全款按9折优惠;
(3)如超过500元,其中500元按9折给予优惠,超过500的部分按8折给予优惠.
某人两次去购物,分别付款168元和423元,若他只去一次购买同样价格的商品,则应付款
( )
A.472.8元
B.510.4元
C.522.8元
D.560.4元
【解析】选D.购物500元应付款500×0.9=450(元),
设第二次购物的原价为a,则200故0.9a=423,解得a=470.
故两次购物原价为168+470=638(元).
若一次购物638元,则应付款500×0.9+138×0.8=560.4(元).
3.(教材二次开发:练习改编)2020年度,国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元,国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元.从2021年开始,若企业甲的科研经费每年增加x%,计划用3年时间超过企业乙的年投入量(假设企业乙每年的科研经费投入量不变).请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系:________.(所列的不等式无需化简)?
【解析】由题意可得:115(1+x%)3>156.
答案:115(1+x%)3>156
4.某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:小时),y表示繁殖后细菌总个数,经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为________.?
【解析】由题意知,当t=
时,y=2,即2=
,
所以k=2ln
2,所以y=
.
当t=5时,y=
=210=1
024.
即经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为1
024.
答案:1
024
5.已知14C的半衰期为5
730年(是指经过5
730年后,14C的残余量占原始量的一半).设14C的原始量为a,经过x年后的残余量为b,残余量b与原始量a的关系如下:b=ae-kx,其中x表示经过的时间,k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.(已知log20.767≈-0.4,ln2≈0.69)?
【解析】由题意可知,当x=5
730时ae-5
730k=
a,解得k=
.现测得湖南长沙
马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.
所以76.7%=
得ln0.767=
x=-5
730×
-5
730×log20.767≈2
292.
答案:2
292