(共43张PPT)
第1课时 集合的概念
必备知识·自主学习
导思
1.什么是元素、集合?
2.元素与集合的关系有哪些?
3.有哪些常见数集,分别用什么符号表示?
1.元素与集合
(1)集合
(2)元素
【思考】
(1)集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗?
提示:集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛,可以是数学中的数、点、代数式,也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
(2)根据集合的定义思考:集合中的元素具有哪些特性?
提示:确定性、互异性和无序性.
2.元素与集合的关系
关系
文字叙述
记法
读法
属于
a是集合A的元素
_____
a属于A
不属于
a不是集合A的元素
____
___
______
a不属于A
a∈A
a?A
或
a
?
A
【思考】
元素与集合之间有第三种关系吗?
提示:对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a?A”这两种结果.
3.常见的数集及表示符号
数集
自然数集
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
__
______
Z
__
R
N
N
或N+
Q
【思考】
N与N+(或N
)有何区别?
提示:N+(或N
)是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(或N
)多一个元素0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.
( )
(2)高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合.
( )
(3)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素.
( )
提示:(1)×.集合中的元素是互不相同的.
(2)×.
“难题”没有严格的标准,所以不能构成集合.
(3)
×.由于集合中的元素具有互异性,故由两方程的根组成的集合有2个元素.
2.(教材二次开发:练习改编)下列关系中,正确的个数为
( )
①
∈R.②
?Q.③|-3|∈N.④-
∈Z.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.
是实数,
是无理数,|-3|=3是非负整数,-
=-3是整数,故①②③④均正确.
3.已知集合A含有三个元素0,1,x-2,则实数x不能取的值是________.?
【解析】根据集合中元素的互异性可知:
x-2≠0且x-2≠1,所以实数x不能取的值是2,3.
答案:2,3
关键能力·合作学习
类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象)
【题组训练】
1.下列每组对象,能构成集合的是
( )
①中国最美的乡村;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的自然数;
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.
A.③④
B.②③④
C.②③
D.②④
2.下列研究对象组成的总体:
①不超过50的正整数;②中国的大城市;③绝对值最小的实数;④sin
30°,sin
45°,cos
60°,1,其中为集合的是________.?
【解析】1.选B.①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成集合.
2.①不超过50的正整数的全体是确定的,能构成集合;
②中国的大城市是不确定的,不能构成集合;③绝对值最小的实数是0,确定,能构成集合;④由于sin
30°=cos
60°,不满足互异性,所以不能构成集合.
答案:①③
【解题策略】
判断一组对象能否组成集合的策略
(1)注意集合中元素的确定性.看是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素,若具有此“标准”,就可以组成集合;否则,不能组成集合.
(2)注意集合中元素的互异性、无序性.
【补偿训练】
下列对象能构成集合的是
( )
A.高一年级较胖的学生
B.鲜艳的颜色
C.很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的点
【解析】选D.由于“较胖”“很大”和“鲜艳”没有一个确定的标准,因此A,B,C不能构成集合;
D中平面内到△ABC三个顶点距离相等的点是确定的,能构成集合.
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)
【题组训练】
1.由形如x=3k+1,k∈Z的数组成集合A,则下列表示正确的是
( )
A.-1∈A
B.-11∈A
C.15∈A
D.32∈A
2.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为
( )
A.2
B.2或4
C.4
D.0
3.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1?A,2∈A,则
( )
A.a>-4
B.a≤-2
C.-4
D.-4【解析】1.选B.由题干知集合A中的数为3的整数倍加1,选项A,C,D均不符合题意.
因为-11=3×(-4)+1,所以-11∈A.
2.选B.集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,a=2∈A,6-a=4∈A,所以a=2,或者a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4.
综上所述,a=2或4.
3.选D.因为1?A,2∈A,
所以
即-4【解题策略】
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法.
①使用前提:集合中的元素是直接给出的;
②判断方法:首先明确集合由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法.
①使用前提:对于某些不便直接表示的集合;
②判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
【补偿训练】
1.用符号“∈”或“?”填空.
-
________R;-3.14________Q;?
-1________N;3-2________Z.?
【解析】根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知,
-
∈R;-3.14∈Q;-1?N;3-2?Z.
答案:∈ ∈ ? ?
2.由不超过5的实数组成集合A,a=
则
( )
A.a∈A
B.a2∈A
C.
?A
D.a+1?A
【解析】选A.a=
=4<5,
所以a∈A.
a+1<
+1=5,所以a+1∈A,
a2=(
)2+2
>5,
所以a2?A,
所以
∈A.
类型三 集合中元素的特性的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】(2020·滁州高一检测)设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则
∈A(a≠1).
求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素.
(2)集合A不可能是单元素集.
【思路导引】(1)依据a∈A,则
∈A(a≠1),求集合A中的元素,同时注意集合中元素的互异性.
(2)转化为判断a=
是否有实数解.
【证明】(1)若a∈A,则
∈A.
又因为2∈A,所以
=-1∈A.
因为-1∈A,所以
∈A.
因为
∈A,所以
=2∈A.
根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为-1,
,结论得证.
(2)若A为单元素集,则a=
,
即a2-a+1=0,方程无实数解.
所以a≠
,所以集合A不可能是单元素集.
【变式探究】
本例前提条件不变,求证以下两个问题:
(1)若3∈A,则A中必还有另外两个元素.
(2)若a∈A,则1-
∈A.
【证明】(1)因为3∈A,所以
∈A,
所以
∈A,所以
=3∈A,
根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为-
,
,结论得证.
(2)因为a∈A,所以
∈A.
因为
【解题策略】
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
【跟踪训练】
1.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这两个元素,则下列说法中正确的是
( )
A.a可取全体实数
B.a可取除去0以外的所有实数
C.a可取除去3以外的所有实数
D.a可取除去0和3以外的所有实数
【解析】选D.因为2a∈A,a2-a∈A,所以2a≠a2-a.
所以a(a-3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M,则M中元素的个数
为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.方程x2-5x+6=0的解为2和3,方程x2-x-2=0的解为-1和2,所以集合M
是由-1,2,3这三个元素组成的集合.
【补偿训练】
已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,
(1)若-3∈A,试求实数a的值.
(2)若a∈A,试求实数a的值.
【解析】(1)因为-3∈A,
所以a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,则a=0.
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.
若2a-1=-3,则a=-1.
此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)因为a∈A,所以a-3=a或2a-1=a.
当a-3=a时,有-3=0,不成立.
当2a-1=a时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.
课堂检测·素养达标
1.下列各组对象不能构成一个集合的是
( )
A.不超过20的非负实数
B.方程x2-9=0在实数范围内的解
C.
的近似值
D.某校身高超过170厘米的同学
【解析】选C.A项,不超过20的非负实数,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.B项,方程x2-9=0在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.C项,
的近似值,元素不具有确定性,不能构成一个集合.D项,某校身高超过170厘米的同学,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.
2.设M是所有偶数组成的集合,则
( )
A.3∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.0?M
【解析】选C.因为2是偶数,所以2是集合M中的元素,即2∈M.
3.英文短语“open
the
door
to...”中的字母构成一个集合,该集合的元素个
数是
( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知,“open
the
door
to...”中的不
同字母共有“o,p,e,n,t,h,d,r”8个,故该集合的元素个数为8.
4.(教材二次开发:习题改编)下列表述正确的是________.(填序号)?
(1)0∈N.(2)
∈Z.(3)
∈Z.(4)π?Q.
【解析】因为N、Z、Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数,
不是整数,
不是整数,π不是有理数,所以0∈N和π?Q正确.
答案:(1),(4)
5.设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件.
(2)若-2∈A,求实数x.
【解析】(1)由集合中元素的互异性可知,x≠3,且x≠x2-2x,x2-2x≠3.解之得
x≠-1且x≠0,且x≠3.
(2)因为-2∈A,所以x=-2或x2-2x=-2.
由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x=-2.(共2张PPT)
第1章 集 合
1.1 集合的概念与表示(共48张PPT)
第2课时 集合的表示
必备知识·自主学习
导思
1.常见的表示集合的方法有哪些?
2.用描述法表示集合要注意哪些问题?
3.两个集合相等的含义是什么?
4.有限集、无限集和空集的含义是什么?
1.列举法
(1)方法:将集合的元素_________出来,并置于花括号_________内.?
(2)注意事项:①元素之间要用_____分隔;②列举时与元素的_____无关.
一一列举
“{
}”
逗号
次序
【思考】
一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗?
提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.
例如:{a,b}与{b,a}表示同一个集合.
2.描述法
(1)形式:{x|p(x)},其中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质.
(2)本质:它是集合符号语言的具体体现,可将集合中元素的规律与性质清楚地表示出来.
【思考】
{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢?
提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.
3.Venn图法
(1)形式:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.
(2)作用:直观地表示集合.
4.集合相等
(1)定义:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等.
(2)本质:A与B相等,即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素.
5.集合的分类
(1)含有_______元素的集合称为有限集;
(2)含有_______元素的集合称为无限集;
(3)_____________的集合称为空集,记作?.
有限个
无限个
不含任何元素
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.
( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.
( )
(3)集合{x|x2=1}与集合{-1,1}相等.
( )
(4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}相等.
( )
提示:(1)×.由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,2,3}.
(2)×.集合{(1,2)}中的元素是(1,2).
(3)√.由x2=1求得x=-1或x=1,所以{x|x2=1}与{-1,1}相等.
(4)√.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的实数,两个集合相等.
2.给出下列集合,
(1){0}.(2){x|x>7,且x<1}.
(3){x|x>4}.(4){x|x2-2=0,x∈Z}.
其中空集的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.满足x>7且x<1的实数不存在,
故{x|x>7,且x<1}=?.
因为x2-2=0的解为±?,不是整数,
所以{x|x2-2=0,x∈Z}=?.
另外两个集合显然不是空集.故空集的个数为2.
3.(教材二次开发:习题改编)由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示
为________,用描述法表示为________.?
【解析】大于-1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为
{0,1,2,3,4},
用描述法表示可用x表示代表元素,其满足的条件是-1示集合为{x|-1答案:{0,1,2,3,4} {x|-1关键能力·合作学习
类型一 列举法表示集合(数学抽象)
【题组训练】
1.(2020·长春高一检测)若2∈
,则x的值为________.?
2.(2020·常州高一检测)设M={m,2},N={m+2,2m},且M=N,则实数m的值是____.?
3.用列举法表示下列集合.
(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合.
(2)不大于10的非负偶数组成的集合.
(3)方程x3=x的实数解组成的集合.
(4)一次函数y=x-2与y=-x的图象的交点组成的集合.
【解析】1.因为2∈{1,x2+x},所以2=x2+x,
解得x=1或-2,经检验满足互异性,所以x=1或-2.
答案:1或-2
2.因为M={m,2},N={m+2,2m},且M=N,
所以
解得m=0,所以实数m的值为0.
答案:0
3.(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》,《西游记》,《水浒传》,《红楼梦》}.
(2)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(3)方程x3=x的实数解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1,-1}.
(4)解方程组
得
即交点是(1,-1),故两函数图象的交点组成的集合是{(1,-1)}.
【解题策略】
1.用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)用花括号括起来.
2.在用列举法表示集合时的关注点
(1)明确集合中的元素是什么.如T3(4)是点集,而非数集,集合的所有元素用有序数对表示,并用“{ }”括起来,元素间用分隔号“,”.
(2)元素不重复,元素无顺序.如{1,1,2}为错误表示.又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合.
【补偿训练】
用列举法表示下列集合:
(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合.
(2)
“Welcome”中的所有字母构成的集合.
(3)
2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1,2}.
(2)由于“Welcome”中包含的字母有W,e,l,c,o,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m}.
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市,因此可以用列举法表示为{北京,张家口}.
类型二 描述法表示集合(数学抽象)
【典例】1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断不正确的是
( )
A.x1·x2∈A
B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B
D.x1+x2+x3∈A
3.用描述法表示下列集合:
(1)
.
(2)被5除余1的正整数组成的集合.
(3)坐标平面内坐标轴上的点集.
【思路导引】
1.首先确定x和y的取值范围,其次根据x∈Z,y∈Z逐一列举,确定A中元素的个数.
2.首先确定集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,
其次根据奇数、偶数之间相加和相乘的运算结果判断.
3.首先确定集合中元素的共同特征,其次选择合适的等式和不等式表示.
【解析】1.选D.由题意得,-1≤x≤1,-1≤y≤1,x∈Z,y∈Z,A={(0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1)},所以A中元素的个数为4.
2.选D.因为集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,
所以x1+x2+x3为偶数,故D错误.
3.(1)集合
用描述法表示为
(2)根据被除数=商×除数+余数,故此集合可表示为{x|x=5n+1,n∈N}.
(3)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0,故可表示
为
【解题策略】
1.描述法表示集合的两个步骤
2.用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x<1,x∈R}不能写成{x<1,x∈R}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,
{x|x=2k,x∈Z},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x|x=2k,x∈Z,k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解组成的集合可表示为{x|x2-2x+1=0,x∈R},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
【跟踪训练】
1.已知集合M={x|x=7n+2,n∈N},则2
018______M,2
019________M.(填“∈”或“?”)?
【解析】因为2
018=7×288+2,2
019=7×288+3,
所以2
018∈M,2
019?M.
答案:∈ ?
2.用描述法表示下列集合:
(1)小于10的非负整数构成的集合;
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合;
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合;
(4)集合{1,3,5,7,…}.
【解析】(1)小于10的所有非负整数构成的集合,用描述法可表示为{x|0≤x<10,x∈Z};
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合,用描述法可表示为{x||x|>3};
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0};
(4){1,3,5,7,…}用描述法可表示为{x|x=2k-1,k∈N+}.
类型三 集合表示方法的综合应用(数学抽象、数学运算)
角度1 用适当的方法表示集合?
【典例】用适当的方法表示下列集合:
(1)函数y=x2-2x的图象与x轴的公共点的集合;
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;
(3)3和4的正的公倍数构成的集合;
(4)大于4的奇数构成的集合.
【思路导引】根据集合中元素的个数和特征,选择恰当的方法表示集合.
【解析】(1)列举法:{(0,0),(2,0)}.
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.
(3)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N
}.
(4)用描述法表示为D={x|x=2k+1,k≥2,k∈N}或D={x|x=2k+3,k∈N
}.
角度2 方程、不等式等知识与集合交汇?
【典例】(2020·朔州高一检测)已知集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
【思路导引】将问题转化为方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,求实数k的值.应注意分k=0和k≠0两种情况讨论.
【解析】(1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,A={2};
(2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4}.
综上所述,k=0时,集合A={2};k=1时,集合A={4}.
【变式探究】
本例的条件“只有一个元素”若改为“有两个元素”其他条件不变,求实数k的
值组成的集合.
【解析】由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根.
故
即k<1且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}.
【解题策略】
1.解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
(2)若已知集合是用列举法给出的,整体把握元素的共同特征是解题的关键.
2.方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素,明确元素的特征性质.
(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用.
【题组训练】
1.已知集合{b|b∈R}={x∈R|ax2-4x+1=0,a∈R},其中a,b为常数,则a+b=
( )
【解析】选D.因为集合{b|b∈R}为单元素集合,所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0,a∈R}也只有一个元素b,所以方程ax2-4x+1=0只有一个解,
①当a=0时,方程只有一个解x=
,
即b=
,满足题意,此时a+b=0+
=
;
②当a≠0时,则Δ=42-4a=0,解得a=4,
方程只有一个解x=
,即b=
,满足题意,
此时a+b=4+
=
.
综上所述,a+b=
或
.
2.集合{(x,y)|
}可用列举法表示为________.?
【解析】解方程组
可得
所以{(x,y)|
={(2,3)}.
答案:{(2,3)}
3.用适当的方法表示下列集合.
(1)36与60的公约数组成的集合.
(2)在自然数集内,小于1
000的奇数构成的集合.
(3)不等式x-2>6的解的集合.
(4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合.
【解析】(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.
(2){x|x=2n+1且x<1
000,n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1,2,3,4,5,6}.
课堂检测·素养达标
1.已知集合A={x|-1≤x<4,x∈Z},则集合A中元素的个数为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.因为-1≤x<4,x∈Z,所以x=-1,0,1,2,3,所以集合A={-1,0,1,2,3}
共有5个元素.
2.集合{(x,y)|y=2x-1}表示
( )
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的点组成的集合
【解析】选D.集合{(x,y)|y=2x-1}的代表元素是(x,y),满足的关系式为y=2x-1,
因此集合表示的是函数y=2x-1图象上的点组成的集合.
3.已知a∈
,则实数a的值为________.?
【解析】由题意得,a=1或a=
,
当a=1时,
=1不满足集合中元素的互异性;
当a=
时,a=0或a=1,
经检验,a=0符合题意,综上可知,a=0.
答案:0
4.函数y=
的自变量的值组成的集合为________.?
【解析】函数y=
的自变量应满足x≠1,组成的集合用描述法可表示为
{x∈R|x≠1}.
答案:{x∈R|x≠1}
5.(教材二次开发:习题改编)设x,y为实数,已知A={x,y},B={0,x2},且A=B,求x,y的值.
【解析】因为集合A,B相等,则x=0或y=0.
(1)当x=0时,x2=0,不满足集合中元素的互异性,故舍去.
(2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.
由(1)知x=0应舍去.
综上知:x=1,y=0.温馨提示：
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课时素养评价
一 集合的概念
(15分钟 30分)
1.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是
( )
A.3.14
B.-5
C.
D.
【解析】选D.由题意知a应为无理数,故a可以为.
2.下列说法中正确的个数是
( )
(1)大于3小于5的自然数构成一个集合.
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合.
(3)方程(x-1)2(x+2)=0的解组成的集合有3个元素.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.(1)正确,(1)中的元素是确定的,只有一个,可以构成一个集合.
(2)不正确,“一些点”标准不明确,不能构成一个集合.
(3)不正确,方程的解只有1和-2,集合中有2个元素.
3.若由a2,2
019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是
( )
A.0
B.2
019
C.1
D.0或2
019
【解析】
选C.若集合M中有两个元素,则a2≠2
019a.即a≠0且a≠2
019.
4.已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b____A,
ab____A.(填“∈”或“?”)?
【解析】因为a∈A,b∈B,所以a是偶数,b是奇数,所以a+b是奇数,ab是偶数,故a+b?A,ab∈A.
答案:? ∈
5.已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
【解题指南】由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.
【解析】因为-3∈A,
所以a-2=-3或2a2+5a=-3,
解得a=-1或a=-.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,
集合A不满足元素的互异性,所以舍去a=-1.
当a=-时,经检验,符合题意.故a=-.
【补偿训练】
设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.
【解析】因为a∈A且3a∈A,
所以解得a<2.
又a∈N,所以a=0或1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列三个命题:①集合N中最小的数是1;②-a?N,则a∈N;③a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.其中正确命题的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A.根据自然数的特点,显然①③不正确.②中若a=,则-a?N且a?N,显然②不正确.
2.已知集合A中元素x满足-≤x≤,且x∈N
,则必有
( )
A.-1∈A
B.0∈A
C.∈A
D.1∈A
【解析】选D.因为x∈N
,且-≤x≤,
所以x=1,2.所以1∈A.
3.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为
( )
A.-8
B.-16
C.8
D.16
【解析】选C.因为集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,
由题意得,集合A☉B中所有元素是2,-4,-1,
它们的积为:2×(-4)×(-1)=8.
4.(多选题)下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是
( )
A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
B.P是由π构成的集合,Q是由3.141
59构成的集合
C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D.P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x=0的解构成的集合
【解析】选AD.由于A,D中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.不等式x-a≥0的解集为A,若3?A,则实数a的取值范围是________.?
【解析】因为3?A,所以3是不等式x-a<0的解,所以3-a<0,解得a>3.
答案:a>3
6.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含________个元素.?
【解析】当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,当x=0时,x=|x|==-=-x=0,此时集合共有1个元素,
当x<0时,=|x|=-=-x,此时集合共有2个元素,综上,此集合最多有2个元素.
答案:2
三、解答题
7.(10分)设集合S中的元素x=m+n,m,n∈Z.
(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?
(2)对S中的任意两个元素x1,x2,则x1+x2,x1·x2是否属于S?
【解析】(1)a是集合S中的元素,
因为a=a+0×∈S.
(2)不妨设x1=m+n,x2=p+q,m,n,p,q∈Z.
则x1+x2=(m+n)+(p+q)
=(m+p)+(n+q),因为m,n,p,q∈Z.
所以n+q∈Z,m+p∈Z.
所以x1+x2∈S,x1·x2=(m+n)·(p+q)=(mp+2nq)+(mq+np),m,n,p,q∈Z.
故mp+2nq∈Z,mq+np∈Z.
所以x1·x2∈S.综上,x1+x2,x1·x2都属于S.
【补偿训练】
定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A,且∈A(b≠0)”,则集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,R是否分别为“闭集”?若是,请说明理由;若不是,请举反例说明.
【解析】①数集N,Z不是“闭集”,例如,3∈N,2∈N,而=1.5?N;3∈Z,-2∈Z,而=-1.5?Z,故N,Z不是闭集.
②数集Q,R是“闭集”.
由于两个有理数a与b的和,差,积,商,
即a±b,ab,(b≠0)仍是有理数,
所以Q是闭集,同理R也是闭集.
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