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课时素养评价
六 命题、定理、定义
(15分钟 30分)
1.下列语句中,是命题的个数是
( )
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②x,y都是无理数,则x+y是无理数;
③请完成第九题;
④正方形既是矩形又是菱形.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.根据命题的定义逐个判断.①不是命题,因为它不是陈述句;②是命题,是假命题,例如-+=0,不是无理数;③不是命题,因为它不是陈述句;④是命题,是真命题.
2.下列四个命题中,可判断为真的是
( )
A.空集没有子集
B.空集是任何集合的一个真子集
C.空集的元素个数为0
D.任何集合至少有两个不同子集
【解析】选C.空集只有一个子集是它本身,故A、D错误;空集是任何非空集合的一个真子集,故B错误;C正确.
3.将“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为_____________
_________________________.?
【解析】根据命题的特点,可以改写为:“如果两个角相等,那么它们的余角也相等”.
答案:如果两个角相等,那么它们的余角也相等
4.有下列命题:①对于任意m∈R,mx2+2x-1=0是一元二次方程;②若xy=0,则+=0;③互相包含的两个集合相等;④如果两个角互为补角,那么这两个角和为180°.真命题的个数是________.?
【解析】①当m=0时,方程是一元一次方程,故是假命题;②当x=1,y=0时,xy=0,但+≠0,故是假命题;③④是真命题.
答案:2
5.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数;
(2)能被6整除的整数,一定能被3整除;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
【解析】(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若一个整数能被6整除,则这个数能被3整除,是真命题.
(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.
(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为
( )
A.3,2,1
B.
1,-2,-3
C.-1,-2,-3
D.
0,-2,-3
【解析】选C.所举反例应满足“若a>b>c,则a+b≤c”,可设a,b,c的值依次为-1,-2,-3.
2.下列叙述正确的有____个
( )?
①若|a|=-a,则a≤0;②若|a|=|b|,则a=-b;
③若a|b|,则a>b.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.绝对值等于其相反数的数是小于等于0的,故①正确;绝对值相等的两个实数,相等或互为相反数,故②错误;当a=-3,b=1时,a|b|,故③错误;当a=-3,b=-1时,|a|>|b|,但a【补偿训练】
下列说法正确的是
( )
A.命题“任何一个角的补角都不小于这个角”是真命题
B.语句“标准大气压下,100
℃时水沸腾”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”是真命题
【解析】选D.选项A中的命题是假命题,例如120°的角大于它的补角;B所给语句是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”.对于D,因为m>0,所以方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.
所以“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.
3.下列命题中,是真命题的有
( )
①如果a>-1,那么am>-m(m≠0);
②在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若x2+y2=0,则x,y全为零;
④正三角形都相似.
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
【解析】选C.①a>-1,则当m>0时,am>-m,当m<0时,am<-m,故如果a>-1,那么am>-m(m≠0)是假命题;②在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a∥c,故在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c是假命题;③④是真命题,故真命题有2个.
4.(多选题)下列命题中,是真命题的是
( )
A.三边长为5,12,13的三角形是直角三角形
B.等边三角形是轴对称图形,它只有一条对称轴
C.有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等
D.抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是直线x=-2
【解析】选ACD.对于A,由于52+122=132,根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形是直角三角形,此命题是正确的;对于B,等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴,此命题是错误的;对于C,利用证两次全等的方法可以判断出:有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等,故此命题正确;对于D,抛物线y=(x+2)2+1
的对称轴是直线x=-2,正确,是真命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知命题:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p:________,q:________.?
【解析】已知命题可改写成:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.
p:一条直线是弦的垂直平分线,
q:这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.
答案:一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
6.给出下列几个命题:
(1)若x,y互为相反数,则x+y=0;
(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;
(3)若x>-3,则x2+x-6≤0.
其中的假命题有________个.?
【解析】根据两数互为相反数的性质,(1)正确,为真命题;(2)由圆的内接四边形的性质可知,为真命题;(3)中若取x=3>-3,而x2+x-6=6>0,故为假命题.
答案:1
三、解答题
7.(10分)判断下列命题的真假:
(1)若三条线段a,b,c满足a+b>c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形;
(2)个位数字是5的整数,能被5整除;
(3)对于所有的自然数n,代数式n2-n+11的值都是质数;
(4)一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形.
【解析】(1)a=2,b=5,c=3,满足a+b>c,但不能围成三角形,所以命题为假.
(2)因为个位数字是0或5的整数,能被5整除,所以命题为真.
(3)约数只有1和它本身的数就是质数.
当n=11时,n2-n+11=112不是质数,所以命题为假.
(4)命题为真,理由如下:
已知:如图,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,
求证:三角形ABC为等腰三角形;
证明:如图,因为DE=DF,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,
所以Rt△BDE≌Rt△CDF,所以∠B=∠C,
所以AB=AC,所以△ABC为等腰三角形.
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第2章 常用逻辑用语
2.1 命题、定理、定义
必备知识·自主学习
1.命题
(1)定义:可判断真假的陈述句叫作命题.
(2)一般形式:“如果p,那么q”
或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论.
导思
1.命题是如何定义的?
2.命题的一般形式是什么?
3.定理、定义的含义是什么?
【思考】
根据命题的定义思考,命题可分为哪几类?
提示:一类是判断为真的命题,即真命题;另一类是判断为假的命题,即假命题.
2.定理的含义
(1)已经被证明为真的命题;
(2)可以作为推理的依据而直接使用.
3.定义的含义和特点
(1)含义:对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
(2)特点:用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象,并加以区别.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
( )
(2)定理都是真命题.
( )
(3)命题“当x∈R时,x2是正数”是真命题.
( )
提示:(1)√.命题都是陈述句.
(2)√.定理是已经被证明为真的命题.
(3)×.当x=0时x2=0,故此命题是假命题.
2.(教材二次开发:例题改编)将命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果p,那么q”的形式:________.?
【解析】如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0.
答案:如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0.
3.给出下列命题:①
>
;②5能被3整除;
③若ab是正整数,则a,b都是正整数;
④若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点.其中真命题的序号为__________.?
【解析】①是真命题;②是假命题,5不能被3整除;③是假命题,例如a=-1和b=-2时ab是正整数,但a,b都是负整数;④是真命题.
答案:①④
关键能力·合作学习
类型一 命题的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.下列语句:
①6>5;②作射线OP;③sin
30°=
;④x2-1=0有一个根是-1;⑤x<10.其中是
命题的是
( )
A.①②③
B.①③④
C.③
D.②⑤
2.下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?
(1)x∈{0,1,2,3};
(2)当x=5时,x-3>0;
(3)直角三角形两锐角互余;
(4)求证:x∈R时,方程x2-x+1=0无实数根.
【思路导引】
1.根据命题的定义逐个判断;
2.依据是否是陈述句,是否可以判断真假逐个判断.
【解析】1.选B.①③④是命题,②是祈使句,故不是命题;⑤无法判断真假,故不是命题.
2.(1)无法判断真假,故不是命题.
(2)是能判断为真的陈述句,是命题;
(3)是能判断为真的陈述句,是命题;
(4)是一个祈使句,没有作出判断,不是命题.
【解题策略】
判断一个语句是否为命题的三个关键点
(1)一个语句是命题首先必须是陈述句;
(2)语句表述的内容可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题;
(3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假.若能,就是命题;否则就不是命题.
【补偿训练】
下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?
(1)求证:
是无理数;
(2)你是高二学生吗?
(3)x2-3x-4=0;
(4)若a=b,则a2=b2.
【解析】
(1)祈使句,不是命题;
(2)疑问句,不是命题;
(3)无法判断真假,故不是命题;
(4)是能判断真假的陈述句,是命题.
类型二 命题的结构形式(数学抽象)
【典例】1.写出下列命题的条件和结论:
(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直平分;
(3)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;
(4)如果a,b两数的积为0,那么a,b两数都为0.
2.将下列命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式.
(1)绝对值等于它本身的数是正数.
(2)等边三角形是锐角三角形.
(3)平行于同一直线的两直线平行.
(4)在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
【思路导引】1.已经表示为“若p,则q”(或“如果p,那么q”)形式的命题,p是命题的条件,q是命题的结论.
2.先明确命题的条件和结论,再改写形式.
【解析】1.(1)条件p:整数a能被2整除,结论q:a是偶数.
(2)条件p:四边形是菱形,结论q:它的对角线互相垂直平分.
(3)条件p:两个角相等,结论q:这两个角是对顶角.
(4)条件p:a,b两数的积为0,结论q:a,b两数都为0.
2.(1)若一个数的绝对值等于它本身,则这个数是正数.
(2)如果一个三角形是等边三角形,那么这个三角形是锐角三角形.
(3)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.
(4)在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.
【解题策略】
1.将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
2.命题改写中的注意点
若命题不是以“若p,则q”这种形式给出时,首先要确定这个命题的条件p和结论q,进而再写成“若p,则q”的形式.
【跟踪训练】
1.命题“若两个角的两边互相垂直,那么这两个角相等”的条件p:______,结论q:______.?
【解析】条件是“两个角的两边互相垂直”,结论是“这两个角相等”.
答案:两个角的两边互相垂直 这两个角相等
2.将下列命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式.
(1)有限小数一定是有理数.
(2)直角都相等.
(3)偶数是4的倍数.
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和.
【解析】(1)如果一个数是有限小数,那么它一定是有理数.
(2)如果几个角都是直角,那么它们都相等.
(3)如果一个数是偶数,那么这个数是4的倍数.
(4)如果一个角是三角形的外角,那么这个外角等于与它不相邻两内角的和.
【补偿训练】
将下列命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式.
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形.
(2)同角的余角相等.
(3)整数一定是有理数.
【解析】(1)如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形是菱形.
(2)如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等.
(3)如果一个数是整数,那么它是有理数.
类型三 判断命题的真假(逻辑推理)
【典例】1.能说明命题“若a2>b2,则a>b”为假的反例是
( )
A.a=-2,b=1
B.a=3,b=-2
C.a=0,b=1
D.a=2,b=1
2.下列命题中,可判断为真的是
( )
A.{1,2},{2,1}是两个集合
B.{(0,2)}中有两个元素
C.
是有限集
D.
是空集
3.判断下列命题的真假:
(1)若实数a,b是集合A中两个元素,则a≠b;
(2)
若x∈A,则x∈(A∪B);
(3)若x∈R,则x2+2x+1≥0;
(4)如果两个角的两边互相平行,这两个角一定相等.
【思路导引】1.反例是满足题目条件,但结论不成立;
2.依据集合的表示方法及Q,N的含义逐个判断;
3.真命题要依据已知定理和结论证明,假命题只要举一个反例.
【解析】1.选A.对于A,因为当a=-2,b=1时,
(-2)2>12
,但-2<1,所以a=-2,b=1是反例,符合题意;
对于B,因为当a=3,b=-2时,32>(-2)2
,且3>-2,所以a=3,b=-2不是反例,
不符合题意;
对于C,因为当a=0,b=1时,02<12,不满足命题的题设,所以a=0,b=1不是反例,
不符合题意.
对于D,因为当a=2,b=1时,22>12,且2>1,所以a=2,b=1不是反例,不符合题意.
2.选D.由集合中元素的无序性知A错;(0,2)作为一个有序数对,是该集合中唯一
的元素,故B错;当x=
,n∈N
时,
∈N,因此x有无数个,故C错;x2+x+2=0可化为
=0,此方程无实根,更没有有理数解,{x∈Q|x2+x+2=0}是空集,故D正
确.
3.(1)依据集合中元素的互异性可知,此命题为真;
(2)依据集合并集的定义可知,此命题为真;
(3)因为x2+2x+1=(x+1)2≥0.对于x∈R,不等式恒成立.所以,命题为真;
(4)如图,∠1与∠2的两边互相平行,但是∠1≠∠2.
所以,命题为假.
【变式探究】
例3(4)中“互相平行”改为“互相垂直”,应如何判断?
【解析】如图,∠1与∠2的两边互相垂直,但是∠1≠∠2.
【解题策略】
判断命题真假的策略
(1)要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
(2)要判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可.
【跟踪训练】
判断下列命题的真假:
(1)三角形的内角和是180°;
(2)若x,y互为倒数,则xy=1;
(3)如果a是有理数,则
a2+1>0;
(4)菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形.
【解析】(1)由三角形内角和定理可知,命题为真;
(2)互为倒数的两个数乘积为1,所以命题为真;
(3)因为a2≥0,所以a2+1>0,所以命题为真;
(4)菱形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,菱形也是轴对称图形,对称轴是对角线所在直线,所以命题为假.
【补偿训练】
判断下列命题的真假:
(1)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;
(2)若实数集的子集A是有限集,则A中的元素一定有最大值;
(3)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a>b,则∠A>∠B;
(4)正偶数不是质数.
【解析】(1)
当x=3或x=7时,都有(x-3)(x-7)=0,所以命题为真;
(2)
根据有限集的定义可知A中的元素一定有最大值,所以命题为真;
(3)三角形中大边对大角,所以命题为真;
(4)2是正偶数,并且它也是质数,所以命题为假.
课堂检测·素养达标
1.下列语句中,是命题的个数是
( )
①|x+2|;②-5∈Z;③π?R;④{0}
N.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.①不能判断真假,不是命题;②③④能判断真假,是命题.
2.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( )
A.这个四边形的对角线互相平分
B.这个四边形的对角线互相垂直
C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直
D.这个四边形是平行四边形
【解析】选C.把命题改写成:若一个四边形是平行四边形,则这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直,由此可知C正确.
3.(教材二次开发:练习改编)将命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为______________________________.?
【解析】若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除.
答案:若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除
4.下列语句:
(1)2+2
是有理数;
(2)1+1>2;
(3)2100是个大数;
(4)968能被11整除;
(5)流感病毒是怎样传播的?
其中是命题的是________.?
【解析】(1)能判断真假,是命题;
(2)能判断真假,是命题;
(3)不能判断真假,不是命题;
(4)能判断真假,是命题;
(5)是疑问句,不是命题.
答案:(1)(2)(4)
5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假:
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0;
(3)已知x,y为正整数,当y=x+1时y=3,x=2.
【解析】(1)命题可改写成:若一个三角形是等腰三角形,则两个底角相等,真命题.
(2)命题可改写成:若x=2或x=4,则x2-6x+8=0,真命题.
(3)命题可改写成:已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2.假命题.
