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课时素养评价
五 交集、并集
(15分钟 35分)
1.(2020·宿迁高一检测)设集合A={x|-1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于
( )
A.{-1,0,1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3}
D.
【解析】选B.由题意,集合A={x|-1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},
又由集合B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.
【补偿训练】
设集合A={a,b},B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于
( )
A.{1,2,5}
B.{1,2}
C.{1,5}
D.{2,5}
【解析】选A.因为A∩B={2},所以2∈A,且2∈B,所以a+1=2,
所以a=1,所以b=2.
所以A={1,2},B={2,5},所以A∪B={1,2,5}.
2.(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=
( )
A.{-1,0,1}
B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{0,1,2}
【解析】选A.因为集合A={-1,0,1,2},
B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},
所以A∩B={-1,0,1}.
3.设全集U是实数集R,M={x|x<-2或x>2},N={x|1≤x≤3},如图,则阴影部分所表示的集合为
( )
A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-2≤x<3}
C.{x|x≤2或x>3}
D.{x|-2≤x≤2}
【解析】选A.由题意,知M∪N={x|x<-2或x≥1},所以阴影部分所表示的集合为U(M∪N)={x|-2≤x<1}.
4.(2020·徐州高一检测)已知集合A={-2,0,1,3},B={x|-
【解析】因为A={-2,0,1,3},B={x|-所以A∩B={-2,0,1},
所以A∩B的子集个数为23=8个.
答案:8
【补偿训练】
已知集合A={1,2,3},集合B={-1,1,3}
,集合S=A∩B,则集合S的真子集有________个.?
【解析】由题意可得
S=A∩B={1,3}
,
所以集合
S
的真子集的个数为
3
个.
答案:3
5.已知集合A={x|2若A∩B={x|3【解析】由A={x|2A∩B={x|3如图
可知a=3,此时B={x|3即a=3为所求.
答案:3
6.(2020·镇江高一检测)设U=R,A=,B=或,求(1)A∩B;(2)∩.
【解析】由题意得B=或.
(1)A∩B=.
(2)因为UA=或,
UB=,
所以∩=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知集合M={x|x<0},N={x|x≤0},则
( )
A.M∩N=
B.M∪N=R
C.MN
D.NM
【解析】选C.集合M={x|x<0},N={x|x≤0},集合N包含M中所有的元素,且集合N比集合M多一个元素0,由集合真子集的定义可知:集合M是集合N的子集,且是真子集,所以M={x|x<0}N={x|x≤0}.
2.设A,B是非空集合,定义A
B={x|x∈A∪B且x?A∩B},已知A={x|0≤x≤3},
B={y|y≥1},则A
B等于
( )
A.{x|1≤x<3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3}
D.{x|0≤x≤1或x≥3}
【解析】选C.由题意知,A∪B={x|x≥0},
A∩B={x|1≤x≤3},
则A
B={x|0≤x<1或x>3}.
3.(2020·无锡高一检测)已知全集U=N,设集合A={x|x=,k∈,集合B={x|x>6,x∈N},则A∩NB等于
( )
A.{1,4}
B.{1,6}
C.{1,4,6}
D.{4,6}
【解析】选C.因为A={x|x=,k∈N}={1,,,,,…},
B={x|x>6,x∈N},
所以NB={x|x≤6,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6},
所以A∩NB={1,4,6}.
4.(2020·盐城高一检测)设集合M=,N=,若M∩N=,则实数a的取值范围是
( )
A.a≤2
B.
a≤-1
C.
a<-1
D.
a>2
【解析】选B.因为M=,N=,若M∩N=,用数轴表示如图,
由图可知实数a的取值范围是a≤-1.
【补偿训练】
已知集合A=,B=,且A∩B=,求实数a的取值范围.
【解析】当a-1≥2a+1,即a≤-2时,A=,
满足A∩B=;当a-1<2a+1,即a>-2时,A≠,
若A∩B=,则需2a+1≤0或a-1≥1,
解得-2综上所述,a∈∪.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知集合M,N,P为全集U的子集,且满足M?P?N,则下列结论正确的是
( )
A.UN?UP
B.NP?NM
C.(UP)∩M=
D.(UM)∩N=
【解析】选ABC.因为集合M,N,P为全集U的子集,且满足M?P?N,
所以作出Venn图,如图所示.
由Venn图,得UN?UP,故A正确;NP?NM,
故B正确;(UP)∩M=,故C正确;
(UM)∩N≠,故D错误.
6.U为全集时,下列说法正确的是
( )
A.若A∩B=,则(UA)∪(UB)=U
B.若A∩B=,则A=或B=
C.若A∪B=U,则(UA)∩(UB)=
D.若A∪B=,则A=B=
【解析】选ACD.A对,因为(UA)∪(UB)=U(A∩B),而A∩B=,
所以(UA)∪(UB)=U(A∩B)=U.
B错,A∩B=,集合A,B不一定要为空集,只需两个集合无公共元素即可.
C对,因为(UA)∩(UB)=U(A∪B),而A∪B=U,所以(UA)∩(UB)=U(A∪B)=
.
D对,A∪B=,即集合A,B均无元素.综上ACD对.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·无锡高一检测)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=______.?
【解析】因为A∩B={1},所以x=1为方程x2-4x+m=0的解,则1-4+m=0,解得m=3,
所以x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以集合B=.
答案:
【补偿训练】
(2020·南充高一检测)设集合A={-4,t2},集合B={t-5,9,1-t},若9∈A∩B,则实数t=______.?
【解析】因为A={-4,t2},B={t-5,9,1-t},且9∈A∩B,
所以t2=9,解得:t=3或-3,当t=3时,根据集合元素的互异性可知不合题意,舍去;则实数t=-3.
答案:-3
8.如图所示,图中的阴影部分可用集合U,A,B,C表示为________.?
【解析】图中的阴影部分的元素既属于A,又属于B,但不属于C,故可用集合U,A,B,C表示为(A∩B)∩(UC).
答案:(A∩B)∩(UC)
【补偿训练】
如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.(IA∩B)∩C
B.(IB∪A)∩C
C.(A∩B)∩(IC)
D.(A∩IB)∩C
【解析】选D.由图可知阴影部分中的元素属于A,不属于B,属于C,则阴影部分表示的集合是(A∩IB)∩C.
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知集合U={x∈Z|-2求A∩B,U(A∪B),A∩(UB),B∪(UA).
【解析】集合U={x∈Z|-2A={0,1,3,4,,B={-1,1,4,6,;
所以A∩B={1,4,,A∪B={-1,0,1,3,4,6,,所以U(A∪B)={2,5,7,,
又UB={0,2,3,5,7,,UA={-1,2,5,6,7,,
所以A∩(UB)={0,,
B∪(UA)={-1,1,2,4,5,6,7,8,.
10.(2020·连云港高一检测)集合A={x|-2(1)当m=2时,求A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m=2时,集合
B={x|m-1又A={x|-2所以A∪B={x|-2(2)由A∩B=B,则B?A,当B=时,
有m-1≥2m+1,解得m≤-2,满足题意;
当B≠时,应满足
解得-1≤m≤;
综上所述,m的取值范围是m∈(-∞,-2]∪.
1.(2020·泰安高一检测)用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,已知全集U=A∪B,D=(UA)∪(UB),card(U)=m,card(D)=n,若A∩B非空,则card(A∩B)=
( )
A.mn
B.m+n
C.n-m
D.m-n
【解析】选D.由题意画出Venn图
空白部分表示集合D,整体表示全集U,阴影部分表示A∩B,
则card(A∩B)=card(U)-card(D)=m-n.
2.设全集U={x|x≤5,且x∈N+},其子集A={x|x2-5x+q=0},B={x|x2+px+12=0},且(UA)∪B={1,3,4,5},求实数p,q的值.
【解析】由已知得U={1,2,3,4,5}.
(1)若A=,则(UA)∪B=U,不合题意;
(2)若A={x0},则x0∈U,且2x0=5,不合题意;
(3)设A={x1,x2},则x1,x2∈U,且x1+x2=5,
所以A={1,4}或{2,3}.
若A={1,4},则UA={2,3,5},
与(UA)∪B={1,3,4,5}矛盾,舍去;若A={2,3},则UA={1,4,5},由(UA)∪B={1,3,4,5}知3∈B,同时可知B中还有一个不等于3的元素x,由3x=12得x=4,即B={3,4}.综上可知A={2,3},B={3,4},所以q=2×3=6,p=-(3+4)=-7.
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1.3 交集、并集
必备知识·自主学习
导思
1.两个集合的交集是由哪些元素构成的?用什么符号表示两个集合的交集?
2.两个集合的并集是由哪些元素构成的?用什么符号表示两个集合的并集?
1.交集
(1)定义
(2)本质:由A、B两个集合确定一个新的集合,此集合是A、B中的公共元素组成的集合,这个集合中的元素同时具有集合A和集合B的属性.
(3)作用:①依据定义求两个集合的交集;②求参数的值或范围.
2.并集
(1)定义
(2)本质:由A、B两个集合确定一个新的集合,此集合是所有A、B中的元素组成的集合,这个集合中的元素至少具有集合A或集合B的属性之一.
(3)作用:①依据定义求两个集合的并集;②求参数的值或范围.
【思考】
“x∈A或x∈B”包含哪几种情况?如何用Venn图表示?
提示:“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况:x∈A,但x?B;x∈B,但x?A;x∈A,且x∈B.用Venn图表示如图所示.
3.交集、并集的性质
(1)A∩B=B∩A,A∩B?A,A∩B?B.
(2)A∪B=B∪A,A?A∪B,B?A∪B.
4.区间的概念(表中a,b∈R,且a闭区间
符号
______={x|a≤x≤b}
图示
开区间
符号
______={x|a图示
左闭右
开区间
符号
______={x|a≤x图示
[a,b]
(a,b)
[a,b)
左开右
闭区间
符号
______={x|a图示
符号“+∞”读作“正无穷大”,符号“-∞”
读作“负无穷大”
符号
__________=
{x|x>a}
图示
符号
________={x|x图示
符号
__________=R
(a,b]
(a,+∞)
(-∞,b)
(-∞,+∞)
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若A,B中分别有3个元素,则A∪B中必有6个元素.
( )
(2)若A∩B=?,则A=B=?.
( )
(3)对于任意两个集合A,B,若A∩B=A∪B,则A=B.
( )
(4)若x∈A∩B,则x∈A∪B.
( )
提示:(1)×.当A,B有公共元素时,A∪B中元素个数小于6.
(2)×.例如对于A={x|x>11}
,B={x|x<2},A∩B=?.
(3)√.任意x∈A,有x∈A∪B,因为A∩B=A∪B,所以x∈A∩B,所以x∈B.同理,对于任意x∈B,可推出x∈A,所以A=B.
(4)√.因为(A∩B)?(A∪B),所以若x∈A∩B,则x∈A∪B.
2.已知集合
则A∩B=
( )
【解析】选A.由已知条件可得A∩B=
.
3.(教材二次开发:习题改编)若集合A=(-1,+∞),B=
,则A∪B=
( )
A.(-1,+∞)
B.(-3,+∞)
C.
D.
【解析】选B.因为集合A=(-1,+∞),B=
,
所以A∪B=(-3,+∞).
关键能力·合作学习
类型一 交集及其应用(数学运算、直观想象)
角度1 集合的交集运算?
【典例】(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=
( )
A.(-1,+∞)
B.(-∞,2)
C.(-1,2)
D.?
(2)已知集合U=R,集合M={x|-2≤x<2}和N={y|y=2k-1,k∈Z}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【思路导引】(1)借助于数轴求A∩B;
(2)分析集合N中元素的特征和Venn图表示的含义,即M∩N,求出集合的元素并判断元素个数.
【解析】(1)选C.如图
A∩B=
(2)选B.由题意得,阴影部分所示的集合为M∩N,由N={y|y=2k-1,k∈Z}知N表示奇数集合,又由M={x|-2≤x<2}得,在-2≤x<2内的奇数为-1,1,所以M∩N={-1,1},共有2个元素.
角度2 与交集有关的参数问题?
【典例】(2020·镇江高一检测)设集合
A∩B=A,则m的取值范围为
( )
A.1>m>-0.5
B.m≥-0.5
C.m<-1
D.m≤-1
【思路导引】由交集结果可知A?B,从而得到不等式组,解不等式组求得结果.
【解析】选B.因为A∩B=A,所以A?B,
所以
解得m≥-0.5.
【解题策略】
1.求集合A∩B的步骤与方法
(1)步骤:
①首先要搞清集合A,B的代表元素是什么;
②把所求交集的集合用集合符号表示出来,写成“A∩B”的形式;
③把化简后的集合A,B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?).
(2)方法:
①若A,B的代表元素是方程的根,则应先解方程,求出方程的根后,再求两集合的交集;若集合的代表元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,解集是点集.
②若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示.
2.解答与交集有关的参数问题的依据和关注点
(1)依据:交集的定义、交集的有关性质如:
A∩B=A?A?B;
(2)关注点:按照条件和集合元素的互异性进行检验.
【题组训练】
1.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为
( )
A.x=3,y=-1
B.(3,-1)
C.{3,-1}
D.{(3,-1)}
【解析】选D.由
解得
所以M∩N={(3,-1)}.
2.若集合A={x|2x+1>0},B={x|-1【解析】因为A=
,B={x|-1画数轴如图
所以A∩B=
.
答案:
3.已知M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},则实数a的值为________.?
【解析】因为M∩N={3},所以3∈M;
所以a2-3a-1=3,即a2-3a-4=0,解得a=-1或4.
但当a=-1时,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;
当a=4时,M={1,2,3},N={-1,3,4},符合题意.所以a=4.
答案:4
【补偿训练】
集合A={x|-2≤x≤5},集合B
={x|m+1≤x≤2m-1},
(1)若B?A,求实数m的取值范围.
(2)若A∩B≠?,求实数m的取值范围.
【解析】(1)当B=?时,B?A,此时m+1>2m-1,
解得m<2,
当B≠?时,为使B?A,m需满足
解得2≤m≤3,
综上可知,实数m的取值范围为m≤3.
(2)先求A∩B=?,当B=?时由(1)知m<2,
当B≠?时,为使A∩B=?,m需满足
解得m>4,
综上知当m<2或m>4时A∩B=?,
所以若A∩B≠?,实数m的取值范围是2≤m≤4.
类型二 并集及其应用(数学运算、直观想象)
角度1 集合的并集运算?
【典例】(2020·淮安高一检测)已知集合A={x|x2+2x=0},B={-2,-1},则A∪B=
( )
A.{2}
B.{-2,-1}
C.{2,0}
D.{-2,-1,0}
【思路导引】利用并集定义直接求解.
【解析】选D.因为集合A={x|x2+2x=0}={0,-2},B={-2,-1},所以A∪B={-2,-1,0}.
角度2 知并集求参数的值或范围?
【典例】(2019·沈阳高一检测)已知集合
且A∪B=R,
则实数a的取值范围是
( )
A.a≤1
B.a<1
C.a>1
D.a≥1
【思路导引】根据题意画数轴,分析实数a表示的点所在的位置.
【解析】选A.根据题意画出数轴表示集合A和B,如图所示
由图可知,实数a的取值范围是a≤1.
【变式探究】
本例条件若改为“A={x|x<-1或x>5},B={x|a【解析】在数轴上表示集合A,B如图所示.
因为A∪B=R,由数轴可得
解得-3【解题策略】
1.求集合并集的步骤
(1)识别集合:点集或数集.
(2)化简集合:明确集合中的元素.
(3)求并集:元素个数有限,利用定义或Venn图求解;元素个数无限且是用不等式表示的数集,借助数轴求解;对于点集,要注意判断A∪B中的元素的特征.
提醒:若两个集合中有相同元素,在求其并集时,只能算作一个.
2.知并集求参数的值或范围的三个关注点
(1)关注求并集的过程,通过运算结果列方程或不等式求值;
(2)注意并集的性质:A∪B=A?B?A;
(3)要始终具有检验意识,除了按照条件进行检验外,还应根据集合元素的互异性进行检验.
【题组训练】
1.(2020·哈尔滨高一检测)已知集合M={-1,0},则满足M∪N={-1,0,1}的集合N的个数是
( )
A.2
B.3
C.4
D.8
【解析】选C.由M∪N={-1,0,1},M={0,-1}可得,1∈N,则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{0,-1,1},共4个.
2.点集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素不可能在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选A.由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限.
3.(2020·扬州高一检测)集合A={0,2},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为________.?
【解析】根据题意,若A∪B={0,1,2,4},则集合A或B必然含有元素4,又由A={0,2},B={1,a2},则a2=4,即a=±2.
答案:±2
【补偿训练】
已知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.
(1)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为A∩B=?,所以
解得-1≤a≤2,所以实数a的取值范围
是[-1,2].
(2)因为A∪B=B,所以A?B,
所以a>5或a+3<-1,
即a的取值范围为a>5或a<-4,
所以实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(5,+∞).
类型三 集合交、并、补的综合运算(数学运算、逻辑推理)
【典例】(2020·连云港高一检测)设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤
x<3-a},
(1)若a=-2,求B∩A,B∩?UA;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
四步
内容
理解
题意
条件:全集U=R,集合A={x|1≤x<4},
B={x|2a≤x<3-a}
结论:若a=-2,求B∩A,B∩?UA;
知A∪B=A,求a的取值范围.
思路
探求
(1)求出?UA和a=-2时集合B,再计算B∩A,B∩?UA;
(2)由A∪B=A得B?A,讨论B=?和B≠?时,分别求出满足条件a的取值范围.
【解题策略】
求集合交、并、补运算的方法
【跟踪训练】
已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(?RA)∩B={2},A∩
(?RB)={4},求实数a,b的值.
【解析】由条件(?RA)∩B={2}和A∩(?RB)={4},知2∈B,但2?A;4∈A,但4?B.
将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程,
得
即
解得a=
,b=-
.
【拓展延伸】
集合交、并、补的性质
(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B);
(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B).
证明如下:
用Venn图表示(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B),有
用Venn图表示(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)有:
【拓展训练】已知全集U={x|-3≤x≤5},集合A={x|-3≤x<-2},B={x|-2≤x≤1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)求(?UA
)∩(?UB
),(
?UA
)∪(?UB
).
【解析】因为A={x|-3≤x<-2},
B={x|-2≤x≤1},
所以(1)A∩B=?,A∪B={x|-3≤x≤1};
(2)(?UA
)∩(?UB
)=
?U(A∪B)={x|1(?UA
)∪(?UB
)=
?U(A∩B)={x|-3≤x≤5}.
【补偿训练】
1.已知全集U={不大于20的素数},M,N为U的两个子集,且满足M∩(?UN)
={3,5},(?UM)∩N={7,19},(?UM)∩(?UN)={2,17},求M,N.
【解析】方法一:U={2,3,5,7,11,13,17,19},
如图,
所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.
方法二:因为M∩(?UN)={3,5},
所以3∈M,5∈M且3?N,5?N.
又因为(?UM)∩N={7,19},
所以7∈N,19∈N且7?M,19?M.
又因为(?UM)∩(?UN)={2,17},
所以?U(M∪N)={2,17},
所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.
2.已知集合U={x|x≤4},集合A={x|-2(?UA)∪B,A∩(?UB).
【解析】如图所示.
因为A={x|-2所以?UA={x|x≤-2或3≤x≤4},
?UB={x|x<-3或2A∩B={x|-2所以(?UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},
A∩(?UB)={x|2课堂检测·素养达标
1.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=
( )
A.?
B.
C.
D.{-2}
【解析】选B.因为B={x|x2-x-2=0}
={-1,2},A={-2,0,2},所以A∩B=
.
2.已知集合
,则
( )
A.A∩B=
B.A∪B=R
C.A∪B=
D.A∩B=?
【解析】选A.因为
,
则A∩B=
,A∪B=
.
3.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=__________.?
【解析】因为A={1,2},B={1,2,3},
所以A∩B={1,2}.又C={2,3,4},
所以(A∩B)∪C={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.
答案:{1,2,3,4}
4.已知集合A={1,2,
4
},B={a,a+1},若A∩B={2},则实数a的值为________.?
【解析】因为集合A={1,2,
4
},
B={a,a+1},A∩B={2}
所以a=2或a+1=2,
当a=2时,B={2,
3},A∩B={2},成立;
当a+1=2时,a=1,B={1,2},A∩B={1,
2
},不成立;
综上,实数a的值为2.
答案:2
5.(教材二次开发:习题改编)已知全集U=R,A={x|-35},分别求A∩B,A∪B,A∪?UB.
【解析】借助数轴可知
A∩B={x|-3-5},
A∪?UB={x|x≤-5或-3