(共45张PPT)
第1课时 子集、真子集
必备知识·自主学习
导思
1.子集、真子集是如何定义的?分别用什么符号表示?
2.如何用Venn图表示集合之间的关系?
1.子集
【思考】
符号“∈”与“?”有什么区别?
提示:①“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如1∈N,-1?N.
②“?”是表示集合与集合之间的关系,比如N?R,{1,2,3}?{3,2,1}.
③“∈”的左边是元素,右边是集合,而“?”的两边均为集合.
2.真子集
本质:集合之间的关系是对集合深入认识的开始,同时也是集合在整个高中学习应用的基础和关键,是理解和掌握集合知识的重要部分.
应用:①用数学语言表达集合之间的关系.②求参数的值或范围.
【思考】
集合M,N是两个至少含有一个元素的集合,试画图说明这两个集合关系有哪几种?
提示:有以下五种关系
1
2
3
4
5
3.集合间关系的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集,即____.
(2)对于空集,我们规定??A,即空集是任何集合的子集.
A?A
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何一个集合都有子集.
( )
(2)空集是任何集合的真子集.
( )
(3)A?B的含义是A
B或A=B.
( )
提示:(1)√.任何一个集合都是其本身的子集.
(2)×.空集是任何非空集合的真子集.
(3)√.若A是B的子集,则说明这两个集合的关系有以下两种可能:A是B的真子集或A与B相等.
2.(教材二次开发:练习改编)用适当的符号填空:
(1)2________
{x|x2=2x}.?
(2){3,4,8}________
Z.?
(3){x|x是平行四边形}______{x|x是中心对称图形}.?
(4){x|x<1}__________{x|x<2}.?
【解析】(1)因为{x|x2=2x}={0,2},所以2∈{x|x2=2x};
(2)因为3,4,8都是整数,所以{3,4,8}
Z;
(3)因为平行四边形是中心对称图形,所以{x|x是平行四边形}
{x|x是中心对
称图形};
(4)显然对于任意x0∈{x|x<1},必有x0∈{x|x<2},
且1.5∈{x|x<2},但1.5?{x|x<1},
所以{x|x<1}
{x|x<2}.
答案:(1)∈ (2)
(3)
(4)
3.已知集合A={-1,0,1},则含有元素0的A的真子集为______________.?
【解析】根据题意,含有元素0的A的真子集为{0},{0,1},{0,-1}.
答案:{0},{0,1},{0,-1}
关键能力·合作学习
类型一 集合的子集、真子集问题(数学抽象)
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)集合A={x|-1
2.(2020·台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A=________.若集合B满足{0}
B?A,则集合B=________.?
3.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
【解析】1.因为集合A={x|-1所以集合A={x|-1答案:3
2.因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,
所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},
因为集合B满足{0}
B?A,所以集合B={-1,0}.
答案:{-1,0} {-1,0}
3.因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},
所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
所以A的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
【解题策略】
1.求集合子集、真子集的步骤
2.求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集:?和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
【补偿训练】
设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0},写出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集.
【解析】由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(x-4)(x+1)(x+4)2=0,则方程的根为x=-4或x=-1或x=4.
故集合A={-4,-1,4},
由0个元素构成的子集为:?.
由1个元素构成的子集为:{-4},{-1},{4}.
由2个元素构成的子集为:{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.
由3个元素构成的子集为:{-4,-1,4}.
因此集合A的子集为:?,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,-1,4}.
真子集为:?,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.
【拓展延伸】与子集、真子集个数有关的3个结论
(1)假设集合A中含有n个元素,则有:A的子集的个数为2n个;
(2)A的真子集的个数为(2n-1)个.
(3)A的非空真子集的个数为(2n-2)个.
【拓展训练】
1.设含有4个元素的集合的全部子集数为S,其中由2个元素组成的子集数为T,
则
的值为________.?
【解析】含有4个元素的集合的全部子集数S=24=16,其中由2个元素组成的子集
数T=6,则
=
=
.
答案:
2.设集合A={x∈Z|-1≤x+1≤6},求A的非空真子集的个数.
【解析】化简集合A得A={x∈Z|-2≤x≤5}.
因为x∈Z,所以A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
即A中含有8个元素,
所以A的非空真子集个数为28-2=254(个).
类型二 集合间关系的判断(逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)如果集合S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k-2,k∈Z},则
( )
A.S
T
B.T?S
C.S=T
D.S∈T
2.(2020·太原高一检测)在下列各组中的集合M与N中,使M=N的是
( )
A.M={(1,-3)},N={(-3,1)}
B.M=?,N={0}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}
D.M={y|y=x2+1,x∈R},N={t|t=(y-1)2+1,y∈R}
3.判断下列两个集合之间的关系:
(1)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=4n,n∈Z}.
(2)P={x|x-3>0},Q={x|2x-5≥0}.
(3)P={x|x2-x=0},Q=
.
【思路导引】1.根据子集、真子集的定义判断.
2.先明确集合中元素是数、点还是其他,然后判断两个集合的元素是否一样.
3.先分析或计算判断各组中两个集合是由哪些元素构成的,然后确定两个集合的关系.
【解析】1.选A.对任意t∈S,存在n0∈N,使3n0+1=t,
故t=3n0+1=3(n0+1)-2∈T,故S?T;由-5∈T,但-5?S,故S?T.
2.选D.在A中,M和N表示点集,因为(1,-3)和(-3,1)是不同的点,所以M≠N.
在B中,M是空集,N是单元素集合,所以M≠N.
在C中,M是数集,N是点集,所以M≠N.
在D中,M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={t|t=(y-1)2+1,y∈R}={t|t≥1},所以M=N.
3.(1)因为P是偶数集,Q是4的倍数集,所以Q
P;
(2)P={x|x-3>0}={x|x>3},Q={x|2x-5≥0}=
.所以P
Q.
(3)P={x|x2-x=0}={0,1}.在Q中,当n为奇数时,x=
=0,当n为偶数时,
x=
=1,所以Q={0,1},所以P=Q.
【解题策略】
1.集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
2.证明集合相等的两种方法
(1)用两个集合相等的定义,证明两个集合
A,B中的元素全部相同,即可证明A=B.
(2)证明A?B,同时B?A
,推出A=B.
【补偿训练】
判断下列各组中集合之间的关系:
(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}.
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}.
(3)
【解析】(1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A
B.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,所以
A
B.
(3)方法一:对于集合M,其组成元素是
,分子部分表示所有的整数;对于集合N,其组成元素是
,分子部分表示所有的奇数.由真子集的概念知,N
M.
方法二:用列举法表示集合如下:
所以N
M.
类型三 由集合间的关系求参数的值或取值范围(逻辑推理)
【典例】(2020·临沂高一检测)已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围.
四步
内容
理解
题意
条件:A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},B?A
结论:求实数a的取值范围
【解题策略】
1.由集合之间的包含关系求参数的两类问题
(1)若集合中的元素是一一列举的,依据集合之间的关系,可转化为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性.
(2)若集合中的元素由不等式(组)限制,常借助于数轴转化为不等式(组)求解,此时要注意端点值能否取到.
2.由集合之间的包含关系求参数的一个关注点
空集是任何集合的子集,因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时,要注意讨论A=?和A≠?两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.
【跟踪训练】
已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若B?A,求实数m的取值范围.
【解题指南】分B=?和B≠?两种情况讨论,B≠?时根据B?A列不等式组求m的取值范围.
【解析】(1)当B=?时,有m-6>2m-1,
则m<-5,此时B?A成立.
(2)当B≠?时,B?A,此时满足
解得
不等式组解集为?.
由(1)(2)知,实数m的取值范围是{m|m<-5}.
课堂检测·素养达标
1.下列集合中与{1,9}是同一集合的是
( )
A.{{1},{9}}
B.{(1,9)}
C.{(9,1)}
D.{9,1}
【解析】选D.与{1,9}是同一集合的是{9,1}.故选D.
2.设A,B是集合I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A?B的B的个数是
( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】选B.满足条件的集合B可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},所
以满足A?B的B的个数是4.
3.若集合M={x|x≤6},a=2
,则下面结论中正确的是
( )
A.{a}
M
B.a
M
C.{a}∈M
D.a?M
【解析】选A.由集合M={x|x≤6},a=2
,
知:在A中,{a}
M,故A正确;
在B中,a∈M,故B错误;
在C中,{a}
M,故C错误;
在D中,a∈M,故D错误.
4.设集合A={x|x2+x-1=0},B={x|x2-x+1=0},则集合A,B之间的关系是________.?
【解析】由已知A=
,B=?,故B
A.
答案:B
A
5.(教材二次开发:习题改编)已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若A
B,求a的取值范围.
(2)若B?A,求a的取值范围.
【解析】(1)若A
B,由图可知,a>2.
(2)若B?A,由图可知,1≤a≤2.(共31张PPT)
第2课时 补集、全集
必备知识·自主学习
1.补集
(1)定义
导思
1.补集是由什么元素构成的?用什么符号表示?
2.全集的含义是什么?
(2)本质:补集既是集合之间的一种关系,也是集合的基本运算之一.
(3)作用:①依据定义求集合的补集;
②求参数的值或范围;
③补集思想的应用.
2.全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_____元素,那么就称这个集合为全
集,全集通常记作U.
所有
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)同一个集合在不同的全集中补集不同.
( )
(2)不同集合在同一个全集中的补集也不同.
( )
(3)若x∈U,则x∈A或x∈?UA,二者必居其一.
( )
提示:(1)√.补集是相对于全集而言的,全集不同补集就不同.
(2)√.结合Venn图可知,此说法正确.
(3)√.根据补集的定义可知,此说法正确.
2.设集合U={1,2,3,4,5,6},B={3,4,5},则?UB=________.?
【解析】根据补集的定义?UB={x|x∈U且?B}={1,2,6}.
答案:{1,2,6}
3.(教材二次开发:练习改编)已知U=R,A=
,则?UA=__________.?
【解析】因为A=
,所有?UA=
.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 补集的运算(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·宿迁高一检测)设集合U={-1,0,1,2,4},集合?UM={-1,1},则集合M=
( )
A.{0,2}
B.{0,4}
C.{2,4}
D.{0,2,4}
2.若全集U=
,则集合A={x∈R|-2≤x≤0}的补集?UA为( )
3.已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},求集合B.
【解析】1.选D.因为?UM={-1,1},U={-1,0,1,2,4},所以M={0,2,4}.
2.选C.借助数轴易得?UA=
3.方法一:A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
方法二:借助Venn图,如图所示,
由图可知B={2,3,5,7}.
【解题策略】
1.求补集的常用方法
(1)列举求解.适用于全集U和集合A可以列举的简单集合.
(2)画数轴求解.适用于全集U和集合A是不等式的解集.
(3)利用Venn图求解.
2.补集是以全集为前提建立的,即A一定是U的子集,?UA也一定是U的子集,求解有关问题时,一定要充分利用这种包含关系.
【补偿训练】
已知全集为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则?RA=________.?
【解析】结合数轴可得?RA={x|1≤x<5}.
答案:{x|1≤x<5}.
类型二 已知补集求参数的值或范围问题(数学运算、直观想象)
【典例】1.已知全集U=R,不等式组
的解集为A,?UA=
则a=______,b=______.?
2.已知全集U={|a-1|,(a-2)(a-1),4,6}.
(1)若?U(?UB)={0,1},求实数a的值;
(2)若?UA={3,4},求实数a的值.
【思路导引】1.由?UA可求A,与解不等式组求出的A对比可求出a,b的值;
2.(1)根据?U(?UB)=B且B?U求a的值;
(2)
根据?UA?U,列方程求a,最后要注意检验.
【解析】1.由题意得
A=
因为?UA=
所以A=
,所以
解得a=2,b=3.
答案:2 3
2.(1)因为?U(?UB)={0,1},所以B={0,1},且B?U,
所以
得a无解;
或
得a=2.所以a=2.
(2)因为?UA={3,4},又?UA?U,所以|a-1|=3或(a-2)(a-1)=3,所以a=4或a=-2
或a=
.
经验证,当a=4时不合题意,舍去.
所以所求实数a的值为-2或
.
【变式探究】本例2的条件改为“设全集U={3,6,a2-a-1},A={|3-2a
|,6},
?UA={5}”,求实数a的值.
【解析】因为?UA={5},所以5∈U但5?A,
所以a2-a-1=5,解得a=3或a=-2.
当a=3时,|3-2a|=3≠5,
此时U={3,5,6},A={3,6},满足?UA={5};
当a=-2时,|3-2a|=7≠5,
此时U={3,5,6},A={6,7},不满足A?U.
综上可知,实数a的值为3.
【解题策略】由集合补集求参数的方法
【跟踪训练】
1.设全集U={1,3,5,7},集合M={1,a-5},M?U,?UM={5,7},则实数a=
( )
A.3
B.5
C.7
D.8
【解析】选D.由题知a-5=3,a=8.
2.已知全集U={x|-1【解析】(1)当A=?时,显然?UA≠?,此时a≤1,
(2)当A≠?时,若?UA≠?,则1综上知,实数a的取值范围是a≤9.
【补偿训练】
设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数m=________.?
【解析】因为U={0,1,2,3},?UA={1,2}.
所以A={x|x2+mx=0}={0,3}.所以0,3是方程x2+mx=0的两根,所以0+3=-m,即m=-3.
答案:-3
类型三 补集与子集的综合应用(数学运算、直观想象)
【典例】已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}且A??UB,求实数a的取值范围.
四步
内容
理解
题意
条件:①A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}
②A??UB.
结论:求实数a的取值范围
思路
探求
求?UB,然后根据A??UB列不等式(组)求实数a的取值范围.
四步
内容
书写
表达
若B=?,①则a+1>2a-1,所以a<2.
此时?UB=R,所以A??UB;
若B≠?,则a+1≤2a-1,即a≥2,
此时?UB={x|x2a-1},
由于A??UB,如图,
②则a+1>5所以a>4,
所以实数a的取值范围为a<2或a>4.
注意书写的规范性:
①注意空集是任意集合的子集;
②画数轴借助图形分析集合之间的关系.
题后
反思
解答此类问题的关键是准确掌握补集的含义,并根据集合之间的关系列出方程或不等式(组)
【解题策略】
解决此类问题的注意点
(1)空集作为特殊情况,不能忽略;
(2)数形结合方法更加直观易懂,尽量使用;
(3)端点值能否取到,应注意分析.
【跟踪训练】
设全集U=R,集合A={x|x≥-3},B={x|-3【解析】因为A={x|x≥-3},所以?UA={x|x<-3}.
又因为B={x|-3所以?UB={x|x≤-3,或x>2}.
画数轴如图
所以?UA
?UB.
【补偿训练】
已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B=
.若全集U=R,且A?（?UB）,则a
的取值范围是________.?
【解析】因为A={x|-4≤x≤-2},B=
,U=R,所以?UB=
.要使
A?(?UB),只需a>-2(如图所示).
答案:{a|a>-2}
课堂检测·素养达标
1.已知集合A={x|3≤x≤7,x∈N},B={x|4( )
A.{3}
B.{3,4}
C.{3,7}
D.{3,4,7}
【解析】选B.A={3,4,5,6,7},B={5,6,7},所以?AB={3,4}.
2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x<0}的补集?UA=
( )
A.
B.
C.{x|-1D.{x|0【解析】选A.由集合补集的定义可知?UA={x|x<-1或x≥0}.
3.已知全集U=R,A={x|1≤x【解析】因为?UA={x|x<1或x≥2},
所以A={x|1≤x<2},所以b=2.
答案:2
4.(教材二次开发:例题改编)设全集U=R,不等式组
的解集为A,试求A
及?UA,并把它们分别表示在数轴上.
【解析】A=
={x|-1≤x≤2},所以?UA={x|x<-1或x>2},在数轴
上分别表示如图.(共2张PPT)
1.2 子集、全集、补集温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价
二 集合的表示
(15分钟 30分)
1.下列集合中,不同于另外三个集合的是
( )
A.{0}
B.{y|y2=0}
C.{x|x=0}
D.{x=0}
【解析】选D.A是列举法;C是描述法;对于B要注意集合的代表元素是y,但实质上表示的都是0,故与A,C相同;而D表示该集合含有一个元素,即方程“x=0”.
2.(2020·镇江高一检测)下列集合表示同一集合的是
( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
C.M={4,5},N={5,4}
D.M={1,2},N={(1,2)}
【解析】选C.对于A,两个集合中的元素不同;对于B,一个集合中元素是点,一个集合中元素是实数,故不同;对于C,列举法表示集合时,与元素顺序无关,故是相同的集合;对于D,两个集合中,一个元素是数,一个元素是点,故不同.
3.(2020·哈尔滨高一检测)设集合B={x|x2-4x+m=0},若1∈B,则B=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为集合B={x|x2-4x+m=0},
1∈B,所以1-4+m=0,解得m=3.
所以B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.
4.(2020·承德高一检测)若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示集合B为________.?
【解析】由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的,故B={4,9,16}.
答案:{4,9,16}
【补偿训练】
用列举法表示集合{(x,y)|(x+1)2+|y-1|=0,x,y∈R}为________.?
【解析】因为(x+1)2≥0,|y-1|≥0,所以(x+1)2=0且|y-1|=0,故有x=-1且y=1,因此答案为{(-1,1)}.
答案:{(-1,1)}
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合.
(2)24的正因数组成的集合.
(3)自然数的平方组成的集合.
(4)由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.
【解析】(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.
(3)用描述法表示为{x|x=n2,n∈N}.
(4)用列举法表示为{0,1,2,10,12,20,21,102,120,210,201}.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的一个是
( )
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1,k∈Z,k<5}
C.{x|x=4t-3,t∈N,t<5}
D.{x|x=4s-3,s∈N
,s<6}
【解析】选D.集合中的元素除以4余1,故元素可以用4k+1(0≤k≤4,k∈Z)或4k-3(1≤k≤5,k∈Z)来表示.
2.(2020·济宁高一检测)设集合A={x|x2-x-2=0},B={x||x|=y+2,y∈A},则集合B是
( )
A.{-4,4}
B.{-4,-1,1,4}
C.{0,1}
D.{-1,1}
【解析】选B.解集合A中方程x2-x-2=0,得到x=2或x=-1,
因为y∈A,即y=2或y=-1,
得|x|=y+2=4或|x|=y+2=1,
故x=±4或x=±1,所以集合B={-4,-1,1,4}.
3.(2020·鹤壁高一检测)定义集合A,B的一种运算:A
B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A
B中的所有元素之和为
( )
A.21
B.18
C.14
D.9
【解析】选C.因为A
B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},A={1,2,3},B={1,2},
所以A
B={2,3,4,5},所以A
B中的所有元素之和为:2+3+4+5=14.
【补偿训练】
若A={1,2,3},B={3,5},用列举法表示AB={2a-b|a∈A,b∈B}=
________.?
【解析】因为A={1,2,3},B={3,5},又AB={2a-b|a∈A,b∈B},
所以AB={-3,-1,1,3}.
答案:{-3,-1,1,3}
4.(多选题)下列各组中的M,P表示同一集合的是
( )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=-1},P={t|t=-1}
D.集合M={m|m+1≥5},P={y|y=x2+2x+5,x∈R}
【解析】选CD.在A中,M={3,-1}是数集,P={(3,-1)}是点集,二者不是同一集合;在B中,M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点的集合,二者不是同一集合;在C中,M={y|y=-1}={y|y≥-1},P={t|t=-1}={t|t≥-1},二者表示同一集合;在D中,M={m|m≥4,m∈R},即M中元素为大于或等于4的所有实数,
P={y|y=(x+1)2+4},y=(x+1)2+4≥4,所以P中元素也为大于或等于4的所有实数,故M,P表示同一集合.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·无锡高一检测)已知集合{a,b,c}={0,1,2}且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c=________.?
【解析】若只有①正确,则c=0,a=1,b=2与②不正确矛盾;若只有②正确,则b=2,a=2,c=0与a≠b矛盾;若只有③正确,则a=2,c=1,b=0符合题意.所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
答案:201
【补偿训练】
已知集合A={x|x2+px+q=0}={2},则p=________,q=________.?
【解析】由得
答案:-4 4
6.(2020·济南高一检测)设a,b,c为非零实数,m=+++,则m的所有值组成的集合为________.?
【解题指南】根据a,b,c三个数中负数的个数分类讨论.
【解析】当a,b,c均为负数时,,,,均为-1,故m=-4;
当a,b,c只有一个为正数时,,,,中必有两个为1,两个为-1,故m=0;
当a,b,c有两个为正数时,,,,中必有两个为1,两个为-1,故m=0;
当a,b,c均为正数时,,,,均为1,故m=4,
所以由m=+++的所有值组成的集合的元素有0,-4,4,则所求集合为{-4,0,4}.
答案:{-4,0,4}
三、解答题
7.(10分)设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},若5∈A,且5?B,求实数a的值.
【解析】因为5∈A,且5?B,
所以
解得故a=-4.
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三 子集、真子集
(15分钟 35分)
1.以下四个关系:∈{0},0∈,{}?{0},{0},其中正确的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.集合与集合间的关系是?,因此∈{0}错误;{
}表示只含有一个元素(此元素是)的集合,所以{}?{0}错误;空集不含有任何元素,因此0∈错误;
{0}正确.因此正确的只有1个.
2.(2020·宿迁高一检测)已知集合A={x|x=x2},B={1,m,2},若A?B,则实数m的值为( )
A.2
B.0
C.0或2
D.1
【解析】选B.由题意,集合A={x|x=x2}={0,1},
因为A?B,所以m=0.
【补偿训练】
已知集合A={1+x2,x},B={1,2,3},且A?B,则实数x的值是
( )
A.-1 B.1 C.3 D.4
【解析】选B.集合A={1+x2,x},B={1,2,3},且A?B,则集合B包含集合A的所有元素,
x=1时,代入A检验,A={2,1},符合题意,
x=2时,代入A检验,A={5,2},不符合题意,
x=3时,代入A检验,A={10,3}不符合题意,
综上,实数x的值是1.
3.(2020·南通高一检测)满足{1}?A?{1,2,3}的集合A的个数为
( )
A.2
B.3
C.8
D.4
【解析】选B.满足条件的集合A有3个,即A={1,2}或{1,3}或{1}.
4.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的是
( )
①S∈U;②F?T;③S?T;④S?F;⑤S∈F;⑥F?U.
A.①③
B.②③
C.③④
D.③⑥
【解析】选D.元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错;子集的区域要被全部包含,故②④错.
5.(2020·邢台高一检测)已知集合A=,B={b,ba,-1},若A=B,则a+b=________.?
【解析】若=-1,即a=-1时,b=2,经验证符合题意;若-=-1,即a=b,则无解.
所以a+b=1.
答案:1
6.判断下列每组中集合之间的关系:
(1)A={x|-3≤x<5},B={x|-1(2)A={x|x=2n-1,n∈N
},B={x|x=2n+1,n∈N
}.
(3)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},
C={x|x是四边形},D={x|x是正方形}.
(4)A={x|-1≤x<3,x∈Z},B={x|x=,y∈A}.
【解析】(1)将两个集合在数轴上表示出来,如图所示,显然有BA.
(2)当n∈N
时,由x=2n-1知x=1,3,5,7,9,….
由x=2n+1知x=3,5,7,9,….
故A={1,3,5,7,9,…},B={3,5,7,9,…},
因此BA.
(3)由图形的特点可画出Venn图,
如图所示,从而可得DBAC.
(4)依题意可得:A={-1,0,1,2},B={0,1,2},
所以BA.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·赣州高一检测)已知集合M={x|-( )
A.P={-3,0,1}
B.Q={-1,0,1,2}
C.R={y|-πD.S={x||x|≤,x∈N}
【解析】选D.因为集合M={x|-所以在A中:P={-3,0,1}不是集合M的子集,故A错误;在B中:Q={-1,0,1,2}不是集合M的子集,故B错误;在C中:R={y|-π2.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为( )
A.AB
B.AB
C.A=B
D.A?B
【解析】选B.B=={(x,y)|y=x,且x≠0},所以BA.
3.(2020·泰州高一检测)已知集合A={x|x( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)
D.(-∞,2]
【解析】选A.因为集合A={x|xB={x|0因为B?A,所以a≥2.
4.(2020·南昌高一检测)已知集合A=,B=,且A是B的真子集.若实数y在集合中,则不同的集合共有
( )
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
【解析】选A.因为A是B的真子集,y在集合{0,1,2,3,4}中,由集合元素的互异性知y=0或y=3,
当y=3时,B={1,2,3,4},x可能的取值为:2,3,4;
当y=0时,B={0,1,2,4},x可能的取值为:0,2,4;由互异性可知集合{x,y}共有2+2=4个.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠,B?A,则(a,b)可能是
( )
A.(-1,1)
B.(-1,0)
C.(0,-1)
D.(1,1)
【解析】选ACD.当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合;当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合;
当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-1,1},符合;当a=b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合.
6.已知集合M={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有
( )
A.3∈M
B.{-3}∈M
C.?M
D.{3,-3}?M
【解析】选ACD.根据题意,集合M={x|x2-9=0}={-3,3},依次分析4个选项:
对于A,3∈M,3是集合M的元素,正确;
对于B,{-3}是集合,有{-3}?M,故B选项错误;
对于C,?M,空集是任何集合的子集,正确;
对于D,{3,-3}?M,任何集合都是其本身的子集,正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知集合A={x|ax2-5x+6=0},若2∈A,则集合A的子集的个数为________.?
【解析】依题意得:4a-10+6=0,解得a=1.则x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3,所以A={2,3},所以集合A的子集个数为4.
答案:4
【补偿训练】
集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集,则a的取值为________.?
【解析】由集合有两个子集可知,该集合是单元素集合,当a=1时,满足题意.当a≠1时,由Δ=9+8(a-1)=0可得a=-.
答案:1或-
8.图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系,请作适当的选择填入下面的空格:
A为________;B为________;?
C为________;D为________.?
【解析】由Venn图可得AB,CDB,A与D之间无包含关系,A与C之间无包含关系.由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系,可得A为小说,B为文学作品,C为叙事散文,D为散文.
答案:小说 文学作品 叙事散文 散文
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知集合M?{1,2,3,4,5},且当a∈M时,有6-a∈M,试求M所有可能的结果.
【解析】若M只含1个元素,则M={3};
若M只含2个元素,则M={1,5},{2,4};
若M只含3个元素,则M={1,3,5},{2,3,4};
若M只含4个元素,则M={1,2,4,5};
若M含5个元素,则M={1,2,3,4,5}.
所以M可能的结果为:
{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.
10.已知集合A={x|x2-9x+14=0},集合B={x|ax+2=0},若BA,求实数a的取值集合.
【解析】A={x|x2-9x+14=0}={2,7},因为BA,所以若a=0,即B=时,满足条件.
若a≠0,则B=,若BA,
则-=2或7,
解得a=-1或-.
则实数a的取值的集合为.
1.(2020·南昌高一检测)若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M={-1,0,
,,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为
( )
A.15
B.16
C.32
D.256
【解析】选A.因为若x∈A,则∈A,所以0?A,
当-1∈A时,=-1∈A,
当1∈A时,=1∈A,当2∈A时,?A,
当3∈A时,∈A,当4∈A时,∈A,
所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合中有-1,1,和3成对出现,和4成对出现,所以从上述4个元素(元素对)中选取,组成的非空集合共有15个.
2.已知集合A={x|1【解析】(1)当a=0时,A=,满足A?B.
(2)当a>0时,A=.
又因为B={x|-1所以所以a≥2.
(3)当a<0时,A=.
因为A?B,所以
所以a≤-2.
综上所述,a的取值范围为{a|a≥2或a≤-2或a=0}.
【误区警示】解答本题,研究集合中元素满足的性质时,容易忽视分a=0,a>0,a<0三种情况讨论.
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课时素养评价
四 补集、全集
(15分钟 30分)
1.已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-2( )
A.
{x|-2≤x<4}
B.
{x|
x<-2或x>4}
C.
{x|-3≤x≤-2}
D.
{x|-3≤x≤-2或x>4}
【解析】选D.将全集U,集合A表示在数轴上,如图所示.
所以UA={x|-3≤x≤-2或x>4}.
2.设全集U和集合A,B,P,满足A=UB,B=UP,则A与P的关系是
( )
A.A=P
B.A?P
C.P?A
D.A≠P
【解析】选A.由A=UB,得UA=B.
又因为B=UP,所以UP=UA,即A=P.
3.已知A={0,2,4,6},UA={-1,-3,1,3},UB={-1,0,2},集合B=__________.?
【解析】因为A={0,2,4,6},UA={-1,-3,1,3},
所以U={-3,-1,0,1,2,3,4,6}.
而UB={-1,0,2},
所以B=U(UB)={-3,1,3,4,6}.
答案:{-3,1,3,4,6}
4.已知全集U={-1,0,1},集合A={0,|x|},则UA=________.?
【解析】根据题意知,|x|=1,所以A={0,1},U={-1,0,1},所以UA={-1}.
答案:{-1}
5.(1)已知U={n|n是小于10的正整数},A={n|n是3的倍数,n∈U},求UA.
(2)已知U={x|x是三角形},A={x|x是等腰三角形},B={x|x是等边三角形},求U
B和AB;
(3)已知全集U=R,A={x|3≤x<10},B={x|2【解析】(1)因为U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
A={3,6,9},所以UA={1,2,4,5,7,8}.
(2)UB={x|x是三边不都相等的三角形};
AB={x|x是有且仅有两边相等的三角形}.
(3)因为A={x|3≤x<10},B={x|2所以借助于数轴知UA={x|x<3,或x≥10},UB={x|x≤2,或x>7}.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·南通高一检测)若全集U=且UA=,则集合A的真子集共有
( )
A.7个
B.5个
C.
3个
D.
8个
【解析】选A.由题意知,集合A有三个元素,所以A的真子集个数为7个.
【补偿训练】
设全集U={x||x|<4,且x∈Z},S={-2,1,3},若UP?S,则这样的集合P共有
( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【解析】选D.U={-3,-2,-1,0,1,2,3},因为U(UP)=P,所以存在一个UP,即有一个相应的P(如当UP={-2,1,3}时,P={-3,-1,0,2},当UP={-2,1}时,P={-3,-1,0,2,3}等),由于S的子集共有8个,所以P也有8个.
2.已知集合I,M,N的关系如图所示,则I,M,N的关系为
( )
A.(IM)?(IN)
B.M?(IN)
C.(IM)?(IN)
D.M?(IN)
【解析】选C.由题图知M?N,
所以(IM)?(IN).
3.(多选题)已知集合A={x|x<-1或x>5},C={x|x>a},若RA?C,则a的值可以是
( )
A.-2
B.-
C.
-1
D.0
【解析】选AB.RA={x|-1≤x≤5},要使RA?C,则a<-1.故a的值可以是-2和-.
4.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0},若UM={-1,1},则实数p和q的值分别为
( )
A.0,-1
B.-1,0
C.-5,6
D.5,-6
【解析】选C.因为UM={-1,1},所以M={2,3},即2,3是x2+px+q=0的根,所以-p=2+3,q=2×3.所以p=-5,q=6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知集合U={x∈N|x≤10},A={小于10的正奇数},B={小于11的质数},则UA=________,UB=________.?
【解析】U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
因为A={小于10的正奇数}={1,3,5,7,9},
所以UA={0,2,4,6,8,10}.
因为B={小于11的质数}={2,3,5,7},
所以UB={0,1,4,6,8,9,10}.
答案:{0,2,4,6,8,10} {0,1,4,6,8,9,10}
【补偿训练】
设U={x|-5≤x<-2,或2【解析】方法一:在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},
所以UA={-5,-4,3,4},UB={-5,-4,5}.
方法二:可用Venn图表示
则UA={-5,-4,3,4},UB={-5,-4,5}.
答案:{-5,-4,3,4} {-5,-4,5}
6.已知全集U={x|-1≤x≤1},A={x|0________.?
【解析】由全集定义知A?U,从而a≤1.
又UA≠U,所以A≠,故a>0.
综上可知0答案:0三、解答题
7.(10分)已知全集U={2,3,a2-2a-3},A={b,2},UA={5},(1)求实数a,b的值;
(2)写出集合A的所有子集.
【解析】(1)因为全集U={2,3,a2-2a-3},A={b,2},UA={5},
所以a2-2a-3=5,b=3,所以a=4或-2,b=3;
(2)由(1)知A={3,2},故集合A的所有子集为,{2},{3},{2,3}.
【补偿训练】
已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|ax-6=0}且RA?RB,求实数a的取值集合.
【解析】因为A={x|x2-4x+3=0},
所以A={1,3}.又RA?RB,
所以B?A,所以有B=,B={1},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,所以a=2;
当B={1}时,有a-6=0,所以a=6;
当B=?时,有a=0,
所以实数a的取值集合为{0,2,6}.
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