(共49张PPT)
2.2 充分条件、必要条件、
充要条件
必备知识·自主学习
1.命题真假与推出关系
导思
1.p是q的充分条件的含义是什么?它与判定定理有什么关系?
2.q是p的必要条件的含义是什么?它与性质定理有什么关系?
3.p是q的充要条件的含义是什么?它与数学定义有什么关系?
命题真假
“若p,则q”为真命题
“若p,则q”为假命题
文字表述
由p可以推出q成立
由p不能推出q成立
符号表示
_____
______
读法
p推出q
p不能推出q
传递性
如果p?q,q?s,那么
_____
p?q
p
q
p?s
2.充分条件、必要条件
推出关系
p?q
条件关系
p是q的_____条件,q是p的_____条件
充分
必要
3.充要条件
(1)定义:
推出关系
p?q,且q?p,记作_____称为“p与q等价”或“p等价于q”
条件关系
p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件
(2)本质:p是q的充分必要条件,也常说成p成立当且仅当q成立.
(3)应用:充要条件是数学中非常重要的概念,应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容.
p?q
【思考】
命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类?
提示:①充分必要条件(充要条件),即
p?q且q?p.
②充分不必要条件,即p?q且q
p.
③必要不充分条件,即p
q且q?p.
④既不充分又不必要条件,即p
q且q
p.
4.性质定理、判定定理和数学定义
(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征.
性质定理具有“_______”.
(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征,就一定有该对象的所有特征.
判定定理具有“_______”.
(3)数学定义既具有必要性也具有充分性.
必要性
充分性
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)
若A?B,则“x∈A”是“x∈B”的充分条件.
( )
(2)
两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.
( )
(3)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要条件.
( )
(4)如果p是q的充分条件,则p是唯一的.
( )
提示:(1)√.根据子集的定义,可知若A?B,则“x∈A”
?“x∈B”,所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件.
(2)√.由三角形相似的判定和性质可知.
(3)√.因为p?q,q?r,所以p?r,
所以p是r的充要条件.
(4)×.不唯一,如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.
2.
(教材二次开发:练习改编)从符号“?”“
”“?”中选择适当的一个
填空:
(1)x-2=0______(x-2)(x-3)=0;?
(2)a+5是无理数______a是无理数;?
(3)x=y______
=
.
【解析】(1)x-2=0?
x=2?(x-2)(x-3)=0;
(2)根据无理数的定义可知,a+5是无理数?a是无理数.
(3)因为当x=y<0时,
,
无意义,
所以x=y
=
.
答案:(1)? (2)? (3)
3.从“充分”“必要”中选择适当的一个填空:
(1)“x>2”是“x>3”的________
条件;?
(2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的________
条件.?
【解析】(1)因为“x>3”?“x>2”,所以“x>2”是“x>3”的必要条件;
(2)因为“四边形ABCD是正方形”?“四边形ABCD是菱形”,所以“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的充分条件.
答案:(1)必要 (2)充分
关键能力·合作学习
类型一 充分条件和必要条件的判断(逻辑推理)
角度1 利用定义直接判断?
【典例】1.已知p:点M(1-a,2a+6)在第四象限,q:a<1,则p是q的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些?p是q的必要条件的有哪些?p是q的充要条件的有哪些?
(1)p:四边形ABCD的对角线互相垂直,q:四边形ABCD是菱形;
(2)p:a>b+1,q:a>
b;
(3)p:关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,q:
a>0;
(4)p:△ABC
三个内角满足2B=A+C,
q:△ABC
的内角B=60°.
【思路导引】1.分别判断充分条件和必要条件是否成立,从而得到结果.
2.分别判断p?q和q?p是否成立,从而作出判断.
【解析】1.选A.因为点M(1-a,2a+6)在第四象限,
所以
解得a<-3.
因为{a|a<-3}
{a|a<1},所以p?q,q
p,
所以p是q的充分不必要条件.
2.(1)由菱形的判定方法和性质可知,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,
所以p
q,
反过来,菱形的对角线互相垂直,所以q
?
p,
因此,p是q的必要条件,但p不是q的充分条件;
(2)因为b+1>b,所以p?q,但是q
p,
因此,p是q的充分条件,但p不是q的必要条件;
(3)关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a≠0,所以p
q,
反过来,当a>0时,关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解x=-
,
所以q?p,
因此p是q的必要条件,但p不是q的充分条件;
(4)因为2B=A+C,A+B+C=180°,所以3B=180°,B=60°,所以p?q,反过来,
若B=
60°,则A+C=180°-B=120°,所以2B=A+C,所以q?p,
因此p是q的充要条件.
角度2 从集合观点判断?
【典例】(2020·淄博高一检测)设集合A={x|-1≤x<3},集合B={x|0
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【思路导引】首先判定集合A和B的包含关系,然后根据“小范围”可推出“大范围”,“大范围”不可推出“小范围”,进行判断.
【解析】选B.因为A={x|-1≤x<3},
B={x|0所以B
A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
【变式探究】
将本例中两个集合改为“集合A={x|-2≤x-1≤2},集合B={x|3-x≥0}”,其他条件不变,如何解答?
【解析】因为A
={x|-2≤x-1≤2}
={x|-1≤x≤3},
B={x|3-x≥0}={x|x≤3},
所以A
B,所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.
【解题策略】
判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)定义法:判断p是q的充分必要条件,主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q?p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合法:
若A?B,则p是q的充分条件,若A
B,则p是q的充分
不必要条件
若B?A,则p是q的必要条件,若B
A,则p是q的必要
不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若A?B且B?A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必
要条件
其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)“m<
”是“关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数
解”的____条件
( )?
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
【解析】选A.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解,则Δ=1-4m≥0,解得
m≤
,所以
,所以“m<
”是“关于x的一元二次方程
x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.
2.下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些?p是q的必要条件的有哪些?p是q的充要条件的有哪些?
(1)p:
,q:x=y;
(2)p:a∈Q,q:a∈R;
(3)p:
x≠-1,q:
x2-1≠0.
【解析】(1)若
,则x=y是真命题,所以p?q,反过来,x=y=0时,
不成立,所以q
p,因此,p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
(2)因为Q
R,所以p?q,但是q
p,因此,p是q的充分条件,但p不是q的必要条
件.
(3)由x2-1≠0得,x≠1且x≠-1,所以q?p,但是p
q,因此,p是q的必要条件,但
p不是q的充分条件.
【补偿训练】
下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些?p是q的必要条件的有
哪些?p是q的充要条件的有哪些?
(1)p:a和b都是偶数,q:ab是偶数;
(2)p:四边形有两个内角为直角,q:四边形是矩形;
(3)p:x=1或x=2,q:x-1=
;
(4)p:整数a能被4整除,q:整数a的个位数字为偶数.
【解析】(1)两个偶数的乘积是偶数,所以p?q,
反过来,当a=1,b=2时,ab是偶数,但a和b不都是偶数,所以q
p,因此,p是q的充
分条件,但p不是q的必要条件.
(2)有两个内角为直角的四边形不一定是矩形,所以p
q,反过来,矩形的四个
内角都是直角,所以q?p,因此,p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
(3)因为x=1或x=2?x-1=
,因此p是q的充要条件.
(4)
若整数a能被4整除,则整数a是偶数,其个位数字为偶数,所以p?q,反过
来,a=10个位数字为偶数,但是不能被4整除,所以q
p,因此,p是q的充分条件,
但p不是q的必要条件.
类型二 利用充分、必要条件的关系求参数范围(逻辑推理)
【典例】(2020·葫芦岛高一检测)设p:x>a,q:x>3.
(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;
(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.
【思路导引】将p与q的条件关系转换为相应集合的关系,求a的取值范围.
【解析】设A={x|x>a},B={x|
x>3}.
(1)若p是q的必要不充分条件,则有B
A,所以a<3;
(2)若p是q的充分不必要条件,则有A
B,所以a>3;
(3)因为方程x2-6x+9=0的根是3,
所以a=3,于是有A=B,所以p是q的充要条件.
【变式探究】
将本例条件改为“p:
|x|≤2,q:x≤a”,第(2)题如何解答?
【解析】设A={x|
|x|≤2},B={x|x≤a},
则A={x|-2≤x≤2},若p是q的充分不必要条件,则有A
B,所以a≥2.
【解题策略】
根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点
(1)先合理转化条件,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.
(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【跟踪训练】
(2020·岳阳高一检测)已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x∣a(1)若“1∈B”是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【解析】(1)若“1∈B”是真命题,则a
<1(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,
则B
A,即
,得-1≤a≤2,
即实数a的取值范围是{a|-1≤a≤2}.
【补偿训练】
设p:实数x满足a0),q:实数x满足2【解析】因为q是p的充分不必要条件,
所以q对应的集合是p对应集合的真子集,
所以{x|2{x|a即实数a的取值范围是
类型三 充要条件的探求与证明(逻辑推理)
【典例】求证:方程mx2-2x+3=0有两个同号不相等实根的充要条件是0.
四步
内容
理解
题意
即证0是方程mx2-2x+3=0有两个同号不相等实根的
充要条件
思路
探求
从充分性和必要性两个方面证明
四步
内容
书写
表达
证明:设p:0,
q:方程mx2-2x+3=0有两个同号不相等实根.
(1)充分性(p?q):①
因为0,所以Δ=4-12m>0,
所以一元二次方程mx2-2x+3=0有两个不等的实根.
设方程的两根为x1,x2,
当0时,x1+x2=
>0且x1x2=
>0,
故方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根.
四步
内容
书写
表达
(2)必要性(q?p):①
若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根,
则有
所以0,
即方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根?0.
综上可知,方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的
充要条件是0.
书写要点:①准确理解题意,明确充分性和必要性的含义;
②对题目条件进行准确的转化.
四步
内容
题后
反思
证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论.
【解题策略】
充要条件的证明策略
(1)准确理解题意,明确证明方向
①条件已知推出结论成立是充分性,结论已知推出条件成立是必要性.
②“p是q的充分(必要)条件”有时也写为“q的充分(必要)条件是p”.
(2)关注证明的两个环节
一是充分性;二是必要性.证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件的两次证明.
【跟踪训练】
求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
【证明】充分性:因为a-b+c=0,
即a·(-1)2+b·(-1)+c=0,
所以-1是ax2+bx+c=0的一个根.
必要性:因为ax2+bx+c=0有一个根为-1,
所以a·(-1)2+b·(-1)+c=0,即a-b+c=0.
综上可得ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
课堂检测·素养达标
1.使x(y-2)=0成立的一个充分条件是
( )
A.x2+(y-2)2=0
B.(x-2)2+y2=0
C.(x+1)2+y2=0
D.(x-1)2+(y+2)2=0
【解析】选A.根据题意,原题可改写为“( )是x(y-2)=0的充分条件”
.
x2+(y-2)2=0?x=0且y=2?
x(y-2)=0,
所以x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的充分条件.
2.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命题是
( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“acD.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
【解析】选B.若a=b,则ac=bc;若ac=bc,则a不一定等于b,故“ac=bc”是“a=b”的必要条件.
3.“x=-1”是“x2-x-2=0”的________条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的________条件.(用“充分”“必要”填空)?
【解析】由x=-1?x2-x-2=0,所以“x=-1”是“x2-x-2=0”的充分条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的必要条件.
答案:充分 必要
4.p:1-x<0,q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围为__________.?
【解析】x>1?x>a,令A={x|x>1},B={x|x>a},则A?B,所以a≤1.
答案:a≤1
5.(教材二次开发:习题改编)求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和
一负根的充要条件是ac<0.
【证明】(1)必要性:由于方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,
所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=
<0,所以ac<0.
(2)充分性:由ac<0可得b2-4ac>0及x1x2=
<0,
所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有
一正根和一负根.综上可知,关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根
的充要条件是ac<0.温馨提示：
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课时素养评价
七 充分条件、必要条件、充要条件
(15分钟 30分)
1.使|x|=x成立的一个必要条件是
( )
A.x<0
B.x≥0或x≤-1
C.x>0
D.x≤-1
【解析】选B.因为|x|=x?x≥0
?x≥0或x≤-1,所以使|x|=x成立的一个必要条件是x≥0或x≤-1.
2.有以下说法,其中正确的个数为
( )
(1)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(2)
“两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选D.(1)由于“m是有理数”?“m是实数”,因此“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应的角相等,所以“两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
(3)
由(a+b)·(a-b)=0,得|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
【补偿训练】
设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由(a-b)a2<0一定可得出a3.若△ABC∽△DEF,“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的_______
_________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)?
【解析】相似三角形的对应高的比与相似比相等,所以“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的充要条件.
答案:充要
4.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________.?
【解析】函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0,b>0.
答案:k>0,b>0
【补偿训练】
“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)?
【解析】当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.
由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,知x=0,
y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=>0,因为b<5,所以k>4.故填“充要”.
答案:充要
5.下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件?
(1)p:x2=x+6,q:x=;
(2)p:b2=ac,q:=;
(3)p:A∩B=A,q:UB?UA;
(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等,q:a=1或a=0.
【解析】(1)由于“x2=x+6”,则“x=±”,故“x2=x+6”是“x=”的必要不充分条件.
(2)b2=ac
=,如b=0,c=0时,b2=ac,而,无意义.但=?b2=ac,
所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
(3)画出Venn图(如图)可得.
A∩B=A?A?B?UA?UB,故p是q的充要条件.
(4)当a=1时,点P(1,1)到两坐标轴距离相等,
当a=0时,点P(2,-2)到两坐标轴距离相等,
当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时,
|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.
所以p?q,所以p是q的充要条件.
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则
( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.x∈A必有x∈C,但反之不一定成立,所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
2.(2020·常州高二检测)盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道:青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”,由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
3.(2020·南通高一检测)设U是全集,A,B均是非空集合,则“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”是“A∩B=”成立的
( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”,B与A可能有公共元素,
“A∩B=”?“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”,由此能求出结果.
【解析】选C.U是全集,A,B均是非空集合,
“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”,B与A可能有公共元素,
“A∩B=”?“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”,所以“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”是“A∩B=”成立的必要不充分条件.
4.(多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则
( )
A.p是q的既不充分也不必要条件
B.p是s的充分条件
C.r是q的必要不充分条件
D.s是q的充要条件
【解题指南】可将r,p,q,s的关系用图表示,然后利用递推法结合图示作答.
【解析】选BD.根据题意画出示意图如图:
由图示可知,p?r?s?q?r?s,所以p是q的充分条件,p是s的充分条件,
r是q的充要条件,s是q的充要条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知P={x|a-4【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q?P,所以即所以-1≤a≤5.
答案:-1≤a≤5
【补偿训练】
下列不等式:①
x<1;②
0【解析】由于<1,即-1x<1;
②
0③-1④-1所以②③④是<1的一个充分条件,①④是<1的一个必要条件.
答案:②③④ ①④
6.设n∈N+,一元二次方程
x2-4x+n=0
有整数根的充要条件是
n=__________.?
【解析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断.
x=
=2±
,因为
x
是整数,即
2±为整数,所以为整数,且n≤4
,又因为n∈N+
,取
n=1,2,3,4,验证可知
n=3,4符合题意;反之n=3,4
时,可推出一元二次方程
x2-4x+n=0有整数根.
答案:3或4
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示:a3+b3=
(a+b)(a2-ab+b2))
【证明】设p:
a3+b3+ab-a2-b2=0,q:
a+b=1.
(1)充分性(p?q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.
因为ab≠0,a2-ab+b2=+b2>0,
所以a+b-1=0,即a+b=1.
(2)必要性(q?p):因为a+b=1,所以b=1-a,
所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=
a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,
综上所述:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
8.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|,
(1)充分性(p?q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,
当xy=0时,不妨设x=0,
则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.
当xy>0时,即x>0,y>0,或x<0,y<0,
又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),
|x|+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
(2)必要性(q?p):若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,
所以|xy|=xy,所以xy≥0.
由(1)(2)可得,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
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