(共46张PPT)
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识·自主学习
1.全称量词命题与存在量词命题的否定
导思
1.全称量词命题的否定是什么?
2.存在量词命题的否定是什么?
原命题
否定
?x∈M,p(x)
_____________
?x∈M,p(x)
_____________
注:“﹁p(x)”是对语句“p(x)”的否定
?x∈M,﹁p(x)
?x∈M,﹁p(x)
【思考】
对省略量词的全称量词命题或存在量词命题怎样否定?
提示:对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时,可先根据题意补上适当的量词,再对命题进行否定.
2.命题与其否定的真假关系
对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题.这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.
( )
(2)?x∈M,p(x)与?x∈M,﹁p(x)的真假性相反.
( )
(3)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,量词不需要变,只否定结论即可.
( )
提示:(1)×.不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
(2)√.任意一个命题与其否定只能是一真一假.
(3)×.对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,先对量词进行变化,全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.
2.命题“?x∈N,x2>1”的否定为
( )
A.?x∈N,x2≤1
B.?x∈N,x2≤1
C.?x∈N,x2<1
D.?x∈N,x2<1
【解析】选B.因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以,命题“?x∈N,x2>1”的否定为“?x∈N,x2≤1”.
3.(教材二次开发:练习改编)命题“?x∈R,x2+2x+3=0”的否定是________.?
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“?x∈R,x2+2x+3=0”的否定是“?x∈R,x2+2x+3≠0”.
答案:?x∈R,x2+2x+3≠0
关键能力·合作学习
类型一 全称量词命题的否定(逻辑推理)
【题组训练】
1.命题“?x∈Z,x∈R”的否定是
( )
A.?x∈Z,x?R
B.?x∈Z,x∈R
C.?x?Z,x?R
D.?x∈Z,x?R
2.(2020·南通高一检测)命题:?x∈R,x2+x≥0的否定是______.?
3.写出下列全称量词命题的否定,并判断真假:
(1)?x∈R,1-
≤1.
(2)所有的正方形都是矩形.
(3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.
(4)正数的绝对值是它本身.
【解析】1.选D.全称量词命题的否定是存在量词命题,所以“?x∈Z,x∈R”的否定是?x∈Z,x?R.
2.全称量词命题的否定是存在量词命题,则命题的否定是:?x∈R,x2+x<0.
答案:?x∈R,x2+x<0
3.(1)该命题的否定:?x∈R,1-
>1,
因为?x∈R,
≥0,
所以-
≤0,
1-
≤1恒成立,所以这是一个假命题.
(2)该命题的否定:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3)该命题的否定:至少存在一个x∈Z,x2的个位数等于3,因为02=0,12=1,
22=4,32=9,42=16,52=25,62=36,72=49,82=64,92=81,…,所以这是一个假命题.
(4)该命题省略了量词“所有的”,该命题是全称量词命题,它的否定:有的正数的绝对值不是它本身.这是一个假命题.
【解题策略】
1.对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.
2.全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.
【拓展延伸】
常见的词语的否定:
原词
否定词
原词
否定词
等于
不等于
至多一个
至少两个
大于
不大于
至少一个
一个也没有
小于
不小于
任意
某个
是
不是
所有的
某些
都是
不都是
【拓展训练】
已知全集U=R,A?U,B?U,如果命题p:
∈(A∪B),则命题p的否定是____________________.?
【解析】因为p:
∈(A∪B),
所以命题p的否定为:
?A且
?B,
即
∈(?UA)∩(?UB).
答案:
∈(?UA)∩(?UB)
【补偿训练】
1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.已知命题?x∈A,2x∈B,则该命题的否定是
( )
A.?x∈A,2x∈B
B.?x?A,2x∈B
C.?x∈A,2x?B
D.?x?A,2x?B
【解析】选C.“?x∈A,2x∈B”是全称量词命题,它的否定是“?x∈A,2x?B”.
2.写出下列全称量词命题的否定:
(1)对所有正数x,
>x+1.
(2)?x∈R,x3+1≠0.
(3)所有被5整除的整数都是奇数.
(4)每一个四边形的四个顶点共圆.
【解析】(1)该命题的否定:存在正数x,
≤x+1.
(2)该命题的否定:?x∈R,x3+1=0.
(3)该命题的否定:存在一个被5整除的整数不是奇数.
(4)该命题的否定:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
类型二 存在量词命题的否定(逻辑推理)
【典例】1.命题“?x∈?RQ,x3∈Q”的否定是
( )
A.?x∈?RQ,x3?Q
B.?x??RQ,x3∈Q
C.?x??RQ,x3?Q
D.?x∈?RQ,x3?Q
2.写出下列存在量词命题的否定,并判断真假:
(1)有些分数不是有理数.
(2)?x,y∈Z,3x-4y=20.
(3)在实数范围内,有些一元二次方程无解.
(4)有些梯形的对角线相等.
【思路导引】1.存在量词改为全称量词,属于改为不属于.
2.先把存在量词改为全称量词,再否定结论.
【解析】1.选D.因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“?x∈
?RQ,x3∈Q”的否定是“?x∈?RQ,x3?Q”.
2.(1)该命题的否定:任意分数都是有理数,这是一个真命题.
(2)该命题的否定:?x,y∈Z,3x-4y≠20,当x=4,y=-2时,3x-4y=20.因此这是一
个假命题.
(3)该命题的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解,这是一个假命题.
(4)该命题的否定:所有梯形的对角线不相等,如等腰梯形对角线相等,因此这是
一个假命题.
【解题策略】
1.对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.
2.存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
【跟踪训练】
1.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是
( )
A.?x∈R,
|x|>0
B.?x∈R,
|x|>0
C.?x∈R,
|x|≤0
D.?x∈R,
|x|≤0
【解析】选C.“有些实数的绝对值是正数”的否定是“?x∈R,
|x|≤0”.
2.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)某些梯形的对角线互相平分.
(2)?x∈{x|x是无理数},x2是无理数.
(3)在同圆中,存在两段相等的弧,它们所对的圆周角不相等.
(4)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.
【解析】(1)假命题.该命题的否定为:任意一个梯形的对角线都不互相平分.
(2)真命题.该命题的否定为:?x∈{x|x是无理数},x2是有理数.
(3)假命题.该命题的否定为:在同圆中,任意两段相等的弧所对的圆周角相等.
(4)真命题.该命题的否定为:任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.
【补偿训练】
写出下列存在量词命题的否定,并判断真假.
(1)有一个奇数不能被3整除.
(2)?x∈Z,x2与3的和等于0.
(3)有些三角形的三个内角都为60°.
(4)存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.
【解析】(1)该命题的否定为:每一个奇数都能被3整除.假命题.
(2)该命题的否定为:?x∈Z,x2与3的和不等于0.真命题.
(3)该命题的否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60°.假命题.
(4)该命题的否定为:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.真命题.
类型三 含有一个量词命题的否定的综合问题(逻辑推理)
角度1 含有一个量词命题的否定?
【典例】写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)被8整除的数能被4整除;
(2)?x∈Q,
x2+
x+1是有理数;
(3)?x∈R,x2+2x+3≤0;
(4)至少有一个实数x,使x3+1=0.
【思路导引】一方面改量词,另一方面否定结论.
【解析】(1)该命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,
这是一个假命题.
(2)该命题的否定:?x∈Q,
x2+
x+1
不是有理数,这是一个假命题.
(3)该命题的否定:?x∈R,x2+2x+3>0.
因为?x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立,所以这是一个真命题.
(4)该命题的否定:?x∈R,x3+1≠0.
因为当x=-1时,x3+1=0,所以这是一个假命题.
【变式探究】
把本例(1)的命题改为“所有能被3整除的整数都是奇数”,结果又如何?
【解析】该命题的否定:存在一个能被3整除整数不是奇数.因为6能被3整除且不是奇数.所以这是一个真命题.
角度2 知命题真假求参数的范围?
【典例】命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值构成的集合.
【思路导引】根据已知命题的否定是真命题,列不等式求实数a的取值构成的集合.
【解析】命题“存在x>a,使得2x+a<3”是假命题,
所以此命题的否定“任意x>a,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>a有2x+a>3a,所以3a≥3,
解得a≥1.
所以实数a的取值范围是{a|a≥1}.
【解题策略】
1.含有一个量词命题的否定的步骤与方法
(1)确定类型:是存在量词命题还是全称量词命题.
(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.注意无量词的全称命题要先补回量词再否定.
(3)否定结论:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
2.知命题真假求参数的范围的两个关注点
(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化.
(2)求参数范围问题,通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围.
【跟踪训练】
1.命题“?x>0,x+a-1=0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a＜1}
B.{a|a≤1}
C.{a|a＞1}
D.{a|a≥1}
【解析】选D.命题“?x>0,x+a-1=0”是假命题,所以此命题的否定为“?x>0,x+a-1≠0”,即?x>0,x≠1-a.所以1-a≤0,即a≥1.所以实数a的取值范围是{a|a≥1}.
2.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.
(2)对所有的正实数p,
(3)?x∈R,-
≥0.
(4)所有能被2整除的数都是偶数.
【解析】(1)该命题的否定:?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.这是一个假命题.
(2)该命题的否定:至少存在一个正实数p,
≥p.
当p=1时,
=p,所以这是一个真命题.
(3)该命题的否定:?x∈R,-
<0.当x=-1时,-
=0,
所以这是一个假命题.
(4)该命题的否定:存在一个能被2整除的数不是偶数.这是一个假命题.
【补偿训练】
命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?
【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,
则需要使
的解集不为空集,
所以a,b应满足的条件是b课堂检测·素养达标
1.命题“对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0”的否定是
( )
A.不存在x∈R,使得x3-x2+1<0
B.存在x∈R,使得x3-x2+1<0
C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0
D.存在x∈R,使得x3-x2+1≥0
【解析】选D.命题“对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0”的否定为“存在x∈R,使得x3-x2+1≥0”.
2.?m,n∈Z,使得m2=n2+2
020的否定是
( )
A.?m,n∈Z,使得m2=n2+2
020
B.?m,n∈Z,使得m2≠n2+2
020
C.?m,n∈Z,都有m2≠n2+2
020
D.以上都不对
【解析】选C.这是一个存在量词命题,其否定为全称量词命题,形式是:
?m,n∈Z,都有m2≠n2+2
020.
3.命题“?x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________.?
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题,全称量词“任意”改为存在量词“存在”,并把结论否定.
答案:?x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3
4.命题“?x∈Q,x2=5”的否定是________,该命题的否定是________命题.(填“真”或“假”)?
【解析】“?x∈Q,x2=5”的否定是“?x∈Q,x2≠5”.
因为由x2=5解得x=±
?Q,所以该命题的否定是真命题.
答案:?x∈Q,x2≠5 真
5.(教材二次开发:习题改编)设集合A={1,2,4,6,8,10,12},试写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:?n∈A,n<12.
(2)q:?x∈{x|x是奇数},x∈A.
【解析】(1)﹁p:?n∈A,n≥12.
因为当n=12时,﹁p成立,所以﹁p是真命题.
(2)﹁q:?x∈{x|x是奇数},x?A.
﹁q是假命题.温馨提示：
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课时素养评价
九 全称量词命题与存在量词命题的否定
(15分钟 30分)
1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】选D.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题,其否定一定是一个存在量词命题,故排除A,B,结合全称量词命题的否定方法,我们易得命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.
2.(2020·潍坊高一检测)命题“?x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是
( )
A.?x∈(0,+∞),x+≤3
B.?x∈(0,+∞),x+<3
C.?x∈(0,+∞),x+<3
D.?x∈(0,+∞),x+≤3
【解析】选C.命题“?x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是:否定存在量词和结论,故为:?x∈(0,+∞),x+<3.
3.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是
( )
①所有能被3整除的数都能被6整除;
②所有实数的绝对值是正数;
③三角形的外角至少有两个钝角.
A.0
1
2
3
【解析】选B.①该命题的否定:存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能被3整除,不能被6整除的数,这是一个真命题;②该命题的否定:?x=0∈R,|0|=0,不是正数,这是一个真命题;③该命题的否定:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角,这是一个假命题.
4.(2020·扬州高一检测)命题“?x∈R,x>2”的否定是________.?
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以,命题“?x∈R,x>2”的否定是:?x∈R,x≤2.
答案:?x∈R,x≤2
【补偿训练】
命题“?x>-1,x2+x-2
019>0”的否定是________.?
【解析】该命题的否定是“?x>-1,x2+x-2
019≤0”.
答案:?x>-1,x2+x-2
019≤0
5.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)直角相等.
(2)等圆的面积相等,周长相等.
(3)有的三角形为正三角形.
(4)?x>0,x+1>.
【解析】(1)该命题的否定:有些直角不相等.这是一个假命题.
(2)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题.
(3)该命题的否定:所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.
(4)该命题的否定:?x>0,使x+1≤.
因为x+1-=+>0,所以?x>0,x+1>是真命题,它的否定是假命题.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.“对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是( )
A.对于任意a≤0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
B.对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根
C.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
D.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根
【解析】选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”,另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.
2.已知命题p:?x∈{x|1( )
A.a<1
B.a>3
C.a≤3
D.a≥3
【解析】选D.p是真命题,所以p是假命题;
所以?x∈{x|1所以当13.命题“?a,b∈R,使方程ax=b都有唯一解”的否定是
( )
A.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一
B.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一
C.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在
D.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在
【解析】选D.该命题的否定:?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
【误区警示】解答本题,在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.
4.(多选题)(2020·济南高一检测)下列命题正确的是
( )
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
【解析】选ABD.A正确.“a>1”可推出“<1”,但是当<1时,a有可能是负数,所以“<1”推不出“a>1”,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件;B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3,y=3时,x2+y2≥4,但是“x≥2且y≥2”不成立,所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”,所以“x≥2且y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件.
D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”,但“ab≠0”可推出“a≠0”,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为________,此命题的否定是______,是______命题(填“真”或“假”).?
【解析】此命题用符号表示为?x,y∈R,x+y>1,
此命题的否定是?x,y∈R,x+y≤1,
原命题为真命题,所以它的否定为假命题.
答案:?x,y∈R,x+y>1 ?x,y∈R,x+y≤1 假
6.命题“对于任意三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+中至少有一个不小于2”的否定是____________.?
【解析】该命题的否定:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2.
答案:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2
三、解答题
7.(10分)已知集合A=,集合B=,如果命题“?m∈R,使得A∩B≠”为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】因为“?m∈R,使得A∩B≠”为假命题,所以它的否定“?m∈R,使得A∩B=”为真命题,当a<0时,A==,符合A∩B=;当a≥0时,因为m2+3>0,所以由?m∈R,A∩B=可得a综上,实数a的取值范围为a<3.
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