(共51张PPT)
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
必备知识·自主学习
1.全称量词与存在量词
导思
1.什么是全称量词?什么是全称量词命题?用什么符号表示?
2.什么是存在量词?什么是存在量词命题?用什么符号表示?
全称量词
存在量词
量词
“所有”“_____”“每一个”
等表示_____的词
“存在”“_____”“有一个”
等表示_____或_____的词
符号
用“____”表示“对任意x”
用“____”表示“存在x”
任意
全体
有的
部分
个体
?x
?x
【思考】
常见的全称量词、存在量词还有哪些?
提示:常见的全称量词还有“一切”“任给”“凡是”等.
常见的存在量词还有“有些”“对某些”“有的”等.
2.全称量词命题与存在量词命题
(1)定义和表示方法:
全称量词命题
存在量词命题
定义
含有_________的命题称为
全称量词命题
含有_________的命题称为存在
量词命题
表示
一般形式可表示为:
____________
一般形式可表示为:____________
全称量词
存在量词
?x∈M,p(x)
?x∈M,p(x)
(2)本质:全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.
(3)应用:全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语,数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题.
【思考】
全称量词命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么?
提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围,p(x)表示集合M的所有元素满足的性质,也可以用q(x),r(x)等符号表示.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.( )
(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题.
( )
(3)全称量词命题一定含有全称量词.( )
提示:(1)√.全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)√.存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
(3)×.有些命题虽然没有写出全称量词,但其意义具备“任意性”,这类命题也是全称量词命题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故(3)说法是错误的.
2.给出下列命题:
(1)所有一次函数的图象都是直线;
(2)对顶角相等;
(3)?x∈R,x2-4x+4≤0;
(4)对任意的整数x,5x-1是整数.其中全称量词命题是________,存在量词命题是________.(填序号)?
【解析】(1)含有全称量词“所有”,是全称量词命题;(2)省略了全称量词“所有”,是全称量词命题;(3)含有存在量词符号“?”,是存在量词命题;(4)含有全称量词“任意”,是全称量词命题.
答案:(1)(2)(4) (3)
3.(教材二次开发:练习改编)判断下列全称量词命题或存在量词命题的真假:
(1)?x∈Q,方程
x-2=0有解.
(2)至少有一个x∈R,使x能被5和8整除.
(3)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数.
【解析】(1)方程
x-2=0的解为x=
Q,所以此命题是假命题.
(2)因为40能被5和8整除,所以此命题是真命题.
(3)对于任意一个x∈Z,2x一定能被2整除,一定是偶数,所以此命题是真命题.
关键能力·合作学习
类型一 全称量词命题与存在量词命题的识别(数学抽象)
【题组训练】
1.下列命题:
①至少有一个x,使x2+2x+1=0成立.
②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立.
③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立.
④存在x,使x2+2x+1=0不成立.
其中是全称量词命题的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列命题:①有的平行四边形是菱形;②任何一个实数乘以0都等于0;③有一
个角α,使sin
α=
;④凸多边形的外角和等于360°;⑤所有正数都是实数.其
中是全称量词命题的为________,是存在量词命题的为______.(填序号)?
3.用量词符号“?”“?”表述下列命题.
(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立.
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.
(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立.
(4)所有的有理数x都能使
x2+
x+1是有理数.
【解析】1.选B.只有②③含有全称量词,是全称量词命题.
2.①含有存在量词“有的”,故为存在量词命题;
②含有全称量词“任何一个”,故为全称量词命题;
③含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题;
④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,含有全称量词“所有”,故为全称量词命题;
⑤含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
答案:②④⑤ ①③
3.(1)?x∈R,x2+x+1>0.
(2)?a,b∈R,ax+b=0恰有一解.
(3)?x,y∈Z,3x-2y=10.
(4)?x∈Q,
x2+
x+1是有理数.
【解题策略】
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
【补偿训练】
1.下列命题中为全称量词命题的是
( )
A.有些实数没有倒数
B.矩形都有外接圆
C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
D.?x∈R,x2+x≤2
【解析】选B.A、C、D是存在量词命题,B可改写为“所有矩形都有外接圆”,是全称量词命题.
2.下列命题中为存在量词命题的是
( )
A.存在实数x>1,使x2>1
B.全等的三角形必相似
C.相似三角形必全等
D.?x∈N
,(x-2)2>0
【解析】选A.A是存在量词命题,B、C、D是全称量词命题.
3.判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.
(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数.
(2)有些三角形不是等腰三角形.
(3)有的实数是无限不循环小数.
(4)所有的正方形都是矩形.
【解析】(1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.
(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断(逻辑推理)
【典例】1.(2020·淄博高一检测)下列各命题中,真命题是( )
A.?x∈R,1-x2<0
B.?x∈N,x2≥1
C.?x∈Z,x3<1
D.?x∈Q,x2=2
2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是
( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使
>2
3.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)有的集合中存在两个相同的元素.
(2)?a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.
(3)存在一个x∈R,使
=0.
(4)对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin
A=cos
B.
【思路导引】1.弄清R,N,Z,Q的含义,对于全称量词命题(选项A,B),每个元素都满足条件,才是真命题;对于存在量词命题(选项C,D),存在一个元素满足条件,就是真命题.
2.对于存在量词命题,只要存在一个元素满足条件,就是真命题.
3.对于全称量词命题,必须每个元素都满足条件,才是真命题;对于存在量词命题,只要存在一个元素满足条件,就是真命题.
【解析】1.选C.A是假命题,例如当x=0∈R时,
1-x2=1>0;B是假命题,例如当x=0∈N时,
x2=0<1;C是真命题,例如当x=0∈Z时,
x3=0<1;D是假命题,x2=2解得x=±
?Q.
2.选B.A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题;B中x=0时,x2=0,所
以B既是存在量词命题又是真命题;C中因为
+(-
)=0,所以C是假命题;D中
对于任意一个负数x,都有
<0,所以D是假命题.
3.(1)是存在量词命题,由集合中元素的互异性可知,此命题是假命题.
(2)是全称量词命题,?a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3
是真命题.
(3)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使
=0成立,所以该命题是假命题.
(4)是全称量词命题,根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个
锐角A,B,都有sin
A=cos
B,是真命题.
【解题策略】
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)全称量词命题的真假判断
要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)存在量词命题的真假判断
要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.
【跟踪训练】
1.给出下列四个命题:
(1)?x∈N
,(x-1)2>0.
(2)?x∈R,x+2
019<1.
(3)有一个锐角α,使sin
α=
.
(4)对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b.
其中的真命题的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.(1)为假命题,因为当x=1时,(x-1)2=0.
(2)为真命题,当x=-2
019时,x+2
019=0<1.
(3)为真命题,当α=30°时,sin
α=
.
(4)为真命题,对任意非正数c,总有b+c≤b,所以由a≤b+c,可得a≤b.
2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
(1)存在两个正实数x,y,使x2+y2=0.
(2)所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形.
(3)能被5整除的整数末位数是0.
(4)所有的二次函数的图象都是开口向上的抛物线.
【解析】(1)是存在量词命题,因为当x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故此命题是假命题.
(2)是全称量词命题,有两个角是45°的三角形,第三个角必是直角,所以此三角形是等腰直角三角形,故此命题是真命题.
(3)是全称量词命题,因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假命题.
(4)是全称量词命题,有的二次函数的图象是开口向下的抛物线,所以该命题是假命题.
【补偿训练】
指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点.
(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.
(3)任何数的0次方都等于1.
【解析】(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.
(2)存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.
(3)全称量词命题.0的0次方无意义,所以该命题是假命题.
类型三 根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围(数学抽象、逻辑推理)
【典例】1.已知集合A=[1,2],若命题“?x∈A,一次函数y=x+m的图象在x轴上方”是真命题,则实数m的取值范围是________.?
2.若命题“?x∈R,使得方程ax2+2x-1=0成立”是真命题,求实数a的取值范围.
【思路导引】1.先求出x+m的取值范围,根据题意求实数m的取值范围.
2.根据关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根,求实数a的取值范围.
【解析】1.当1≤x≤2时,1+m≤x+m≤2+m,
因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方,
所以1+m>0,即m>-1,
所以实数m的取值范围是(-1,+∞).
答案:(-1,+∞)
2.由题意得,关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根,当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意;当a≠0时,Δ=4+4a≥0,解得a≥-1,且a≠0.
综上知,实数a的取值范围是[-1,+∞).
【变式探究】
将本例2的方程改为“x2+2x+2=m”,求实数m的取值范围.
【解析】依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解,
所以Δ=4-4(2-m)≥0,解得m≥1.
【解题策略】
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.
【跟踪训练】
1.已知命题p:“?x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数m的取值范围是_______.?
【解析】当x∈R时,x2≥0,若“?x∈R,mx2≥0”是真命题,则有m≥0.
答案:[0,+∞)
2.若“存在x∈{x|3≤x≤5},x≥m”是真命题,则实数m的取值范围是________.?
【解析】当m≤5时,“存在x∈{x|3≤x≤5},x≥m”是真命题.
答案:(-∞,5]
【补偿训练】
已知命题p:“?x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是
__________.?
【解析】因为当x≥3时,2x-1≥5,所以若“?x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,
则m≤5.
答案:(-∞,5]
课堂检测·素养达标
1.下列命题不是“?x∈R,x2>3”的表述方法的是
( )
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,使得x2>3成立
C.任选一个x∈R,使得x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
【解析】选C.原命题是存在量词命题,而选项C中的命题是全称量词命题.
2.下列命题中全称量词命题的个数是
( )
①?x∈R,x2>0;
②?x∈R,x2≤0;
③平行四边形的对边平行;
④矩形的任一组对边相等.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.①含有全称量词符号“?”,为全称量词命题,
②含有存在量词符号“?”,为存在量词命题,
③隐含着全称量词“所有”,为全称量词命题,
④隐含着全称量词“所有”,为全称量词命题.
3.下列存在量词命题中,是假命题的是
( )
A.?x∈Z,x2-2x-3=0
B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3整除
C.有的三角形没有外接圆
D.?x∈R,
=x
【解析】选C.A中,x=-1满足题意,是真命题;B中,x=6满足题意,是真命题;C中,
所有的三角形都有外接圆,是假命题.D中,当x=0或1时,
=x,是真命题.
4.命题“自然数的平方大于零”是________量词命题(填“全称”或“存在”),其省略的量词是________.?
【解析】自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零,故该命题是全称量词命题,其省略的量词是“所有”.
答案:全称 所有
5.(教材二次开发:练习改编)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对某些实数x,有2x+1>0.
(2)?x∈{3,5,7},3x+1是偶数.
(3)存在实数x,
=-x.
【解析】(1)命题中含有存在量词“某些”,因此是存在量词命题,是真命题.
(2)命题中含有全称量词的符号“?”,因此是全称量词命题.把3,5,7分别代入
3x+1,得10,16,22,都是偶数,因此,该命题是真命题.
(3)存在量词命题.当x<0时,
=-x,所以该命题为真命题.温馨提示：
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课时素养评价
八 全称量词命题与存在量词命题
(15分钟 30分)
1.“存在集合A,使A”,对这个命题,下面说法中正确的是
( )
A.全称量词命题、真命题
B.全称量词命题、假命题
C.存在量词命题、真命题
D.存在量词命题、假命题
【解析】选C.当A≠时,A,是存在量词命题,且为真命题.故选C.
2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是
( )
A.?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
B.?a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
C.?a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D.?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.命题对应的全称量词命题为:?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2.
3.若“任意x∈,x≤m”是真命题,则实数m的最小值为( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.因为“任意x∈,x≤m”是真命题,所以m≥,
所以实数m的最小值为.
4.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1【解析】含有全称量词“每一个”,是全称量词命题,令x1=-1,x2=0,则>,故此命题是假命题.
答案:全称 假
5.用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
(1)实数都能写成小数形式.
(2)有的有理数没有倒数.
(3)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根.
(4)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.
【解析】(1)?a∈R,a都能写成小数形式,此命题是真命题.
(2)?x∈Q,x没有倒数,有理数0没有倒数,故此命题是真命题.
(3)?m∈R,方程x2+x-m=0必有实根.
当m=-1时,方程无实根,是假命题.
(4)?x∈R,使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立,所以为假命题.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列命题中,存在量词命题的个数是
( )
①实数的绝对值是非负数;
②正方形的四条边相等;
③存在整数n,使n能被11整除.
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选A.①②是全称量词命题,③是存在量词命题.
2.设非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,则下列命题是假命题的是
( )
A.?x∈Q,有x∈P
B.?x∈P,有x?Q
C.?x?Q,有x∈P
D.?x?Q,有x?P
【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q,所以QP,所以集合Q中的元素都是集合P的元素,但是集合P中有元素集合Q中是没有的,所以A,B,C正确,D错误.
3.(2020·丹东高一检测)已知?x∈[0,2],p>x;?x∈[0,2],q>x.那么p,q的取值范围分别为
( )
A.p∈(0,+∞),q∈(0,+∞)
B.p∈(0,+∞),q∈(2,+∞)
C.p∈(2,+∞),q∈(0,+∞)
D.p∈(2,+∞),q∈(2,+∞)
【解析】选C.由?x∈[0,2],p>x;得p>2.
由?x∈[0,2],q>x;得q>0.
所以p,q的取值范围分别为(2,+∞),(0,+∞).
4.(多选题)下列命题是真命题的为
( )
A.?x∈R,-x2-1<0
B.?n∈Z,?m∈Z,nm=m
C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D.存在实数x,使得=
【解析】选ABC.对于A,?x∈R,-x2≤0,
所以-x2-1<0,此命题是真命题;
对于B,当m=0时,nm=m恒成立,此命题是真命题;
对于C,任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,此命题是真命题.对于D,
因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
所以≤<.故该命题是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为________.?
【解析】当a=,b=时,存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对可以为.
答案:(答案不唯一)
6.给出下列命题,
①存在a,b∈R,使得a2+b2-2a-2b+2<0;
②任何实数都有算术平方根;
③某些四边形不存在外接圆;
④?x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
其中正确命题的序号为________.?
【解析】①是假命题,因为对任意的a,b∈R,
都有a2+b2-2a-2b+2=+≥0;
②是假命题,例如-4没有算术平方根;
③是真命题,因为只有对角互补的四边形有外接圆;
④为假命题,当x=y=0时,x2+|y|=0.
答案:③
【误区警示】解答本题①容易忽视配方法的应用.
三、解答题
7.(10分)是否存在整数m,使得命题“?x≥-,-5<3-4m【解析】假设存在整数m,使得命题“?x≥-,-5<3-4m因为当x≥-时,x+1≥,
所以-5<3-4m<,解得又m为整数,所以m=1,
故存在整数m=1,使得命题“?x≥-,
-5<3-4m关闭Word文档返回原板块
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