苏教版（2019） 高中数学 必修第一册 3.1　不等式的基本性质（ 课件+课时练 共2份打包）

(共37张PPT)
第3章　不　等　式
3.1　不等式的基本性质　
必备知识·自主学习
导思
1.不等式具有哪些基本性质?
2.不等式的基本性质有哪些基本用途?
1.实数比较大小的基本事实
文字语言
符号表示
如果a>b,那么a-b是正数;
如果a如果a=b,那么a-b等于0
a>b?a-b>0
aa=b?a-b=0
【思考】
　(1)在比较两实数a,b大小的依据中,a,b两数是任意实数吗?
提示:是.
(2)如何由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法?
提示:通过两个实数作差,判断差的正负比较大小.
2.不等式的基本性质
(1)性质:
别名
性质内容
注意
性质1
对称性
a>b?b可逆
性质2
传递性
a>b,b>c?____
同向
性质3
可加性
a>b?________
可逆
性质3的推论
移项法则
a+b>c?a>c-b
可逆
性质4
可乘性
a>b,c>0?ac>bc
a>b,c<0?______
c的
符号
性质5
同向可加性
a>b,c>d?________
同向
性质6
同向同
正可乘性
a>b>0,
c>d>0?______
同向
同正
a>c
a+c>b+c
aca+c>b+d
ac>bd
(2)本质:不等式的基本性质可以由实数比较大小的基本事实证明,它阐述了不等式在不同条件下的同解变形结论,是求解和证明不等式的依据.
(3)应用:①解不等式;②判断或证明不等式.
【思考】
　(1)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数,不改变不等号的方向,对吗?为什么?
提示:不对.要看两边同乘以的数的符号,同乘以正数,不改变不等号的方向,但是同乘以负数时,要改变不等号的方向.
(2)使用性质6时,要注意什么条件?
提示:各个数均为正数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(　　)
(2)a>b且c>d,则a-c>b-d.
(　　)
(3)
若a+c>b+d,则a>b,c>d.
(　　)
(4)a>b>0,且c>d>0,则
.
(　　)
提示:(1)√.任意两数之间,有且只有a>b,a=b,a大小关系.
(2)×.例如5>3且4>1时,则5-4>3-1是错的.
(3)×.
取a=4,c=5,b=6,d=2.满足a+c>b+d,但不满足a>b.
(4)×.例如5>3且4>1,则
是错的.
2.已知a>b,c>d,且cd≠0,则
(　　)
A.ad>bc　　　　　　　B.ac>bc
C.a-c>b-d
D.a+c>b+d
【解析】选D.a,b,c,d的符号未确定,排除A、B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等式,排除C项.
3.(教材二次开发:例题改编)已知x≠2,则x2+4与4x的大小关系为________.?
【解析】x2+4-4x=
,而x≠2,
所以
>0,所以x2+4-4x>0,所以x2+4>4x.
答案:x2+4>4x
关键能力·合作学习
类型一　解不等式(数学运算、逻辑推理)
【题组训练】
1.不等式
>1的解集为
(　　)
2.不等式
的解集是
(　　)
3.下面解不等式的过程及理由对应正确的有________.(填序号)?
求解不等式3-
>5,并用不等式性质说明理由.
解:不等式3-
>5两边同乘以4,得
12-3x>20.　　(不等式性质4)　①
两边同加上-12,得
-3x>8.　　　　(不等式性质3)　②
两边同乘以-
,得
x<-
.　　　(不等式性质6)　③
【解析】1.选C.不等式两边同乘以6得,3x+2
>6,整理得,5x-4>6,两边同加
上4得,5x>10,两边同乘以
得,x>2.
2.选B.不等式两边同乘以15得,-5x≤3x-27,两边同加上-3x得,-8x≤-27,两边
同乘以-
得x≥
.
3.根据解不等式的过程可知,步骤①②分别应用了不等式的性质4,3,正确;步骤
③应用了不等式的性质4,不是性质6,错误.
答案:①②
【解题策略】
　一元一次不等式的解题策略
(1)依据:不等式的性质3与4;
(2)步骤:去分母,移项,系数化为1.
【补偿训练】
　　　求解关于a的不等式2x-a>a(x+1).
【解析】由原不等式得2x-a>ax+a,
根据不等式的性质3,得
x>2a,
若a=2,则原不等式无解;
若a<2,根据不等式的性质4,得x>
;
若a>2,根据不等式的性质4,得x<
.
类型二　判断或证明不等式(逻辑推理)
　角度1　利用不等式的性质判断命题真假?
【典例】设a,b,c∈R,且a>b,则
(　　)
A.ac2>bc2　　　　　　
B.
C.a4>b4
D.a+c>b+c
【思路导引】根据不等式的基本性质或取特殊值判断.
【解析】选D.A中,c=0时,由a>b不能得到ac2>bc2,故不正确;B中,当a>0,b<0(如
a=1,b=-2)时,由a>b不能得到
,故不正确;C中,当a=-1,b=-5时,a>b,而a4故不正确;根据不等式性质3,D正确.
　　【变式探究】
本例条件若改为:a,b为非零实数,且a(　　)
A.a2B.a2bC.
D.
【解析】选C.对于A,在a0时,
a2b>0,ab2<0,a2b>0,所以
;对于D,当
a=-1,b=1时,
=-1.
　角度2　利用不等式的性质证明不等式?
【典例】已知c>a>b>0,求证:
【思路导引】利用不等式的性质,先证明
,再由
得到
,也可
以先证0【证明】方法一:因为a>b>0,所以
,因为c>0,
所以
,所以
-1<
-1,即
,
又因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0,
所以
方法二:因为c>a>b>0,所以0所以0<
又因为a>b>0,所以
【解题策略】
1.运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能随意捏造性质.
(2)解有关不等式选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
2.利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,同时要注意性质适用的前提条件.
【题组训练】
1.下列命题中一定正确的是
(　　)
A.若a,则ab<0
B.若a>b,b≠0,则
>1
C.若a>b,且a+c>b+d,则c>d
D.若a>b且ac>bd,则c>d
【解析】选A.对于A项,因为
,所以
<0,即
<0,又a0,所
以ab<0;对于B项,当a>0,b<0时,有
<0<1,故B项错;对于C项,当a=10,b=3时,虽
有10+1>3+2,但1<2,故C项错;对于D项,当a=-1,b=-2时,有(-1)×(-1)>(-2)×7,
但-1<7,故D项错.
2.若bc-ad≥0,bd>0.求证:
【证明】因为bc-ad≥0,所以ad≤bc,因为bd>0,
所以
,所以
+1≤
+1,所以
类型三　作差法比较大小(逻辑推理)
【典例】已知a≠1且a∈R,试比较
与1+a的大小.
【解题策略】作差法比较大小的步骤
【跟踪训练】
1.已知0,且M=
,则M,N的大小关系是________.?
【解析】因为0,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=
>0,即M>N.
答案:M>N
2.已知a,b均为正实数,试比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
【解析】因为a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2;
当a≠b时,(a-b)2>0,a+b>0,a3+b3>a2b+ab2.
综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
课堂检测·素养达标
1.已知a+b>0,b<0,那么,a,b,-a,-b的大小是
(　　)
A.a>b>-b>-a　　　　　B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a
D.a>b>-a>-b
【解析】选C.令a=5,b=-2满足a+b>0,b<0,
所以a>-b>b>-a.
2.不等式x+
<1的解集为
(　　)
【解析】选B.不等式两边同乘以2得,2x+x-1<2,整理得,3x-1<2,两边同加上1得,
3x<3,两边同乘以
得,x<1.
3.(教材二次开发:习题改编)设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则
(　　)
A.a>b　　　B.a【解析】选C.a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x)
=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以a≥b.
4.若规定
=ad-bc,则
的大小关系为________.(a,b
∈R,且a≠b)?
【解析】
=[a·a-(-b)·b]-[a·b-(-a)·b]=a2+b2-2ab=
(a-b)2>0(因为a≠b),所以
答案:
5.已知a>b,
,则ab________0.(填“>”或“<”)?
【解析】因为
,所以
<0,即
<0,
而a>b,所以b-a<0,所以ab>0.
答案:>温馨提示：
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课时素养评价
十　不等式的基本性质
(15分钟　30分)
1.下列选项不正确的是
(　　)
A.
若aB.
若a-3≥0,则a≥3
C.<
D.x2+y2+1>2
【解析】选C.
由两个实数大小比较的基本事实以及不等式的基本性质知,
A,B正确,
-=1>0,
所以>,所以C不正确;
x2+y2+1-2=++1>0,
所以x2+y2+1>2,D正确.
2.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是
(　　)
A.a>b2　　　　　
B.>
C.<
D.a2>2b
【解析】选A.对于A,因为-11,所以a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但<,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但>,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.
3.不等式≥+1的解集是
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.不等式两边同乘以4得,x≥4x+2,两边同加上-4x得-3x≥2,两边同乘以-得x≤-.
4.已知a>b>0,c”或“<”)
【解析】因为c-d>0,
因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<<,
又因为e<0,所以>.
答案:>
5.世纪公园的票价是:每人5元;一次购票满30张,每张可少收1元.某班有27人去世纪公园游玩.当班长王小华准备好了零钱到售票处买27张票时,爱动脑筋的李敏喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白,明明我们只有27个人,买30张票,岂不是“浪费”吗?
那么,李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费?谈谈你们的看法.
【解析】如买27张票要花27×5=135(元),
如买30张票要花30×(5-1)=120(元),
通过比较,135>120,可以得出结论:27人买30张票不是浪费,
反而还节省15元呢.
李敏的提议非常正确.
同学们,数学无处不在,要好好学习数学!
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设a,b∈R,当a>b和>同时成立时,a,b必须满足的条件是
(　　)
A.b-a<0
B.ab<0
C.a>b>0
D.b<0【解析】选D.由-=>0,及b-a<0知ab<0,又a>b,所以b<0【补偿训练】
　　“>1”的一个充分不必要条件是
(　　)
A.x>y　　　　　
B.x>y>0
C.xD.y【解析】选B.当x>y>0时,必有>1,
而>1?>0?x>y>0或x所以x>y>0是>1的充分不必要条件.
2.下列命题中,恒成立的是
(　　)
A.若a>b,则|a|>|b|
B.x2+2y2+4x+4y>-6
C.若0D.若-1≤α<β≤1,则-<α+β<1
【解析】选C.用排除法.若a=1,b=-2,a>b但|a|<|b|,故A不正确;由x2+2y2+
4x+4y+6=(x+2)2+2(y+1)2≥0,
知B不正确;因为-1≤α<β≤1,所以-1≤α<1,
-<β≤
,所以-<α+β<,D不正确;故选C.
3.已知a>b>c,则++的值
(　　)
A.为正数
B.为非正数
C.为非负数
D.不确定
【解析】选A.因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0,>0,
<,所以+>0,所以++>0,所以++的值为正数.
4.(多选题)下列结论正确的是
(　　)
A.不等式x->5的解集是
B.若xax>a2
C.已知a,b,m是正实数,则当aD.已知m<0,则关于m的不等式m【解析】选BC.解不等式x->5得其解集为,A不正确;因为x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax,又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2,所以x2>ax>a2,所以B正确;因为-=
,当a>0,b>0,m>0,且
a0,a-b<0,所以<0,C正确;根据不等式性质,不等式m二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若x∈R,则与的大小关系为________.?
【解析】因为-==≤0.所以≤.
答案:≤
6.某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:
产品种类
每件需要人员数
每件产值/万元
A类
7.5
B类
6
今制订计划欲使总产值最高,则应开发A类电子器件________件,能使总产值最高为________万元.?
【解析】设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件,
则+≤20,解得x≤20.
由题意得总产值:y=7.5x+6=300+1.5x≤330
(万元),
当且仅当x=20
时,y取最大值330.
答案:20　330
三、解答题
7.(10分)已知m∈R,a>b>1,函数y=,试比较x=a与x=b时函数值的大小.
【解析】因为y==m,
所以,当x=a时的函数值为
m,
当x=b时的函数值为m.
由a>b>1,知a-1>b-1>0.
所以<,所以1+<1+.
(1)当m>0时,m(2)当m=0时,m=m;
(3)当m<0时,m>m.
综上所述,当m>0时,x=a时的函数值小于x=b时的函数值;当m=0时,两函数值相等;当m<0时,x=a时的函数值大于x=b时的函数值.
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