温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价
十一 基本不等式的证明
(15分钟 35分)
1.已知a+2b=2(a>0,b>0),则ab的最大值为
( )
A.
B.2
C.3
D.
【解析】选A.因为a>0,b>0,所以a+2b≥2,所以2≤2,所以ab≤,当且仅当a=1,b=时,等号成立.
2.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是
( )
A.x=3
B.x=6
C.x=5
D.x=10
【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5(x=-1舍去).
3.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为a,b∈R时,
都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
即a2+b2≥2ab,而+≥2?ab>0,
所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件.
4.函数y=1-2x-(x<0)的最小值为________.?
【解析】因为x<0,所以y=1-2x-
=1+(-2x)+≥1+2=1+2,
当且仅当x=-时取等号,故y的最小值为1+2.
答案:1+2
5.若0
【解析】因为0所以a+b>2,a2+b2>2ab.
所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).
又因为0所以a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2答案:a+b
6.已知方程ax2-3x+2=0的解为1,b.
(1)求a,b的值.
(2)求(2a+b)x-(x>0)的最小值.
【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求a,b.(2)利用基本不等式求最小值.
【解析】(1)由题意知:
解得a=1,b=2.
(2)由(1)知a=1,b=2,
所以(2a+b)x-=4x+,
而x>0时,4x+≥2=2×6=12.
当且仅当4x=,即x=时取等号.
所以(2a+b)x-(x>0)的最小值为12.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a( )
A.aB.v=
C.D.v=
【解题指南】先写出全程的平均时速为v的表达式,再利用基本不等式与作差法比较即可.
【解析】选A.设甲、乙两地相距s,
则小王用时为+,因为a所以v==<=.
又v-a=-a=>=0,
所以v>a.
2.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=
( )
A.-3
B.2
C.3
D.8
【解析】选C.
令y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,
所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,
当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,即x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.
3.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为
( )
A.2
B.4
C.9
D.16
【解析】选B.(x+y)=1+a++≥1+a+2=(1+)2.
当且仅当=时取等号.
所以(1+)2≥9,所以a≥4.
4.如图所示,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中错误的是
( )
A.(a+b)2≥4ab
B.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合
C.(a-b)2≤4ab
D.(a+b)2>(a-b)2
【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2>(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有
( )
A.ab>1
B.ab<1
C.<1
D.>1
【解析】选BD.因为ab≤,a≠b,
所以ab<1,
又1==<,
所以>1,所以ab<1<.
6.下列推导过程,正确的为
( )
A.因为a,b为正实数,所以+≥2=2
B.因为x∈R,所以>1
C.a<0,所以+a≥2=4
D.因为x,y∈R,xy<0,所以+=-+≤-2=-2
【解析】选AD.因为a,b为正实数,所以,为正实数,符合基本不等式的条件,故A正确;
当x=0时,有=1,故B不正确;当a<0时,+a≥2=4是错误的,C不正确;由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,,均变为正数,符合基本不等式的条件,且计算正确,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知t>0,则函数y=的最小值为________.?
【解析】因为t>0,所以y==t+-4≥2-4=-2,且在t=1时取等号.
答案:-2
8.规定记号“☉”表示一种运算,即a☉b=+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为________,此时的最小值为________.?
【解析】1☉k=+1+k=3,即k+-2=0,
所以=1或=-2(舍),所以k=1.
==1++≥1+2=3,
当且仅当=,即x=1时等号成立.
答案:1 3
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求t=x+的取值范围.
【解析】当x>0时,x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=1时,“=”成立,
所以x+≥2.
当x<0时,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=,
即x=-1时,“=”成立.
所以x+≤-2.
故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.
10.已知a>b>c,求证:(a-c)≥4.
【证明】因为a-c=(a-b)+(b-c),
所以[(a-b)+(b-c)]
=2++,
又a>b>c,所以+≥2,
故(a-c)≥4,
当且仅当=时,取“=”.
1.已知a>0,b>0,则++2的最小值是
( )
A.2
B.2
C.4
D.5
【解析】选C.++2≥2+2≥
4=4.当
即a=b=1时,等号成立,
因此++2的最小值为4.
2.已知x1·x2·…·x2
020=1,且x1,x2,…,x2
020都是正数,求(1+x1)(1+x2)…(1+x2
020)的最小值.
【解析】因为x1·x2·…·x2
020=1,且x1,x2,…,x2
020都是正数,
所以(1+x1)(1+x2)…(1+x2
020)≥2·2·…·2
=22
020·=22
020.
当且仅当x1=x2=…=x2
020=1时,取“=”.
故所求最小值为22
020.
关闭Word文档返回原板块
PAGE(共30张PPT)
3.2.1 基本不等式的证明
必备知识·自主学习
导思
1.基本不等式的应用条件是什么?
2.基本不等式有哪些基本用途?
1.算术平均数与几何平均数
对于正数a,b,我们把________称为a,b的算术平均数,_____称为a,b的几何平均
数.
2.基本不等式
(1)公式:
①条件:a,b是正数;
②结论:__________;
③等号成立:当且仅当a=b时.
(2)本质:基本不等式表明,两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均
数
(3)变形式:当a,b∈R时,a2+b2≥2ab,a2+b2+2ab≥4ab,ab≤
,ab≤
(当
且仅当a=b时,等号成立).
【思考】
(1)基本不等式成立的条件能省略吗?
提示:基本不等式成立的条件“a>0,b>0”不能省略,例如
是不成立的.
(2)“当且仅当a=b时,等号成立”的含义是什么?
提示:一方面是当a=b时取等号,即a=b?
;另一方面是仅当a=b时取等
号,即
?a=b.
3.用基本不等式求最值的结论
对于正数a,b,
(1)和a+b为定值时,积ab有最___值;积ab为定值时,和a+b有最___值.
(2)取等号的条件:当且仅当____时,
.
(3)应用:求和式的最小值,乘积式的最大值.
大
小
a=b
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2
均成立.
( )
(2)若a≠0,则a+
=4.
( )
(3)若a>0,b>0,则ab≤
.
( )
提示:(1)×.任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立,当a,b都为正数时,不等式a+b≥
2
成立.
(2)×.只有当a>0时,根据基本不等式,才有不等式a+
=4成立.
(3)√.因为
,所以ab≤
.
2.不等式(x-2y)+
≥2成立的前提条件为
( )
A.x≥2y
B.x>2y
C.x≤2y
D.x<2y
【解析】选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y.
3.(教材二次开发:练习改编)设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值
为________.?
【解析】因为x,y都是正数,且x+y=40,所以xy≤
=400,当且仅当x=y=20时
取等号.
答案:400
关键能力·合作学习
类型一 利用基本不等式求简单问题的最值(逻辑推理、数学运算)
【题组训练】
1.当x>1时,(x-1)+
+2的最小值为______.?
2.若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值是______.?
3.已知x<0,则3x+
的最大值为________.?
【解析】1.令t=(x-1)+
+2,
因为x-1>0,所以t≥2
+2=8,当且仅当x-1=
,即x=4时,t的最小值为8.
答案:8
2.由于x>0,y>0,则x+y≥2
,所以xy≤
=81,当且仅当x=y=9时,xy取到最大
值81.
答案:81
3.因为x<0,所以-x>0.则3x+
=-12,当且仅当
=-3x,
即x=-2时,3x+
取得最大值为-12.
答案:-12
【解题策略】
基本不等式的使用条件
(1)一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值;
(2)二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数;
(3)三相等:当且仅当a=b时取等号;即:等号能否取得.
在应用基本不等式求最值时,要逐一验证三个条件是否成立.
【补偿训练】
1.式子
的最小值为
( )
A.3
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.
=|x|+
≥2
=4,
当且仅当x=±2时,等号成立.
2.已知m=x+
-2(x<0),则m有
( )
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为-4
D.最小值为-4
【解析】选C.因为x<0,
所以m=-
-2≤-2-2=-4,
当且仅当-x=
,即x=-1时取等号.
类型二 拼凑法利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.已知0( )
A.
2.已知x<
,则4x-2+
的最大值为________.?
3.当x>1时,不等式x+
≥a恒成立,则实数a的最大值为________.?
【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化,再用基本不等式求解.
【解析】1.选B.因为00.
所以x(3-3x)=3x(1-x)≤3
当x=1-x,即x=
时取等号.
2.因为x<
,所以5-4x>0,令y=4x-2+
所以y=4x-2+
=-
+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=
,即x=1时,
上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
答案:1
3.因为x>1,所以x-1>0.
又x+
=x-1+
+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,则a≤3,所以a的最大
值为3.
答案:3
【解题策略】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
【跟踪训练】
1.若0,则函数y=x(8-3x)的最大值为________.?
【解析】因为0,所以y=
(3x)(8-3x)≤
,当且仅当x=
时取等号.
答案:
2.函数y=
的最大值为________.?
【解析】令t=
≥0,则x=t2+1,
所以y=
当t=0,即x=1时,y=0;
当t>0,即x>1时,y=
,
因为t+
≥2
=4(当且仅当t=2时取等号),
所以y=
,即y的最大值为
(当t=2,即x=5时y取得最大值).
答案:
类型三 利用基本不等式证明不等式(逻辑推理)
【典例】(1)已知a>0,求证:
(2)已知a>2且b≠0,求证:a-2+
>2-b2.
【思路导引】利用基本不等式,结合不等式的基本性质证明.
【证明】(1)因为a>0,
所以
,
所以
所以
(2)因为a>2,所以a-2>0,
所以(a-2)+
=2,(当且仅当a=3时,等号成立)
由b≠0,得b2>0,所以2-b2<2,
所以a-2+
>2-b2.
【解题策略】
利用基本不等式证明问题的关注点
(1)若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”,这便是
应用基本不等式的题眼,可考虑是否利用基本不等式解决;
(2)在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件,
即a>0,b>0,同时注意能否取得等号.
【跟踪训练】
若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是
( )
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥2
C.
D.
【解析】选D.对于A项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A项错;对于B,C,条件ab>0,
只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;
对于D项,因为ab>0,所以
>0,
所以
=2,所以D项正确.
课堂检测·素养达标
1.已知ab=4,a>0,b>0,则a+b的最小值为
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.因为a>0,b>0,所以a+b≥2
=4,当且仅当a=b=2时取等号,
故a+b的最小值为4.
2.若x2+y2=2,则xy的最大值是
( )
A.
B.1
C.2
D.4
【解析】选B.xy≤
=1,当且仅当x=y时取“=”.
3.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是
( )
A.a-b<0
B.0<
<1
C.
D.ab>a+b
【解析】选C.因为a>b>0,由基本不等式知
一定成立.
4.(教材二次开发:练习改编)若0的取值范围是________.?
【解析】由00,
故
当且仅当x=
时,上式等号成立.
所以0<
答案:0<
5.已知a,b是不相等的正数,x=
,则x,y的大小关系为________.?
【解析】因为a,b是不相等的正数,
所以x2=
=a+b=y2,
又x>0,y>0,所以x答案:x