(共25张PPT)
3.2.2 基本不等式的应用
关键能力·合作学习
类型一 常数代换法(数学抽象、逻辑推理)
【典例】已知a>0,b>0,a+b=1,则
的最小值为________.?
【思路导引】把“1”代换为“a+b”(或者在
上乘以(a+b),构造成基本不
等式的原型,进而求出最小值.
【解析】因为a>0,b>0,a+b=1,所以
=
=4,即
的最小值为4,当且仅当a=b=
时等号成立.
答案:4
【变式探究】
(1)本例的条件和结论互换即:已知a>0,b>0,
=4,则a+b的最小值为_______.?
【解析】由
=4,得
=1.
所以a+b=
(a+b)=
=1.
当且仅当a=b=
时取等号.
答案:1
(2)若本例条件变为:已知a>0,b>0,a+2b=3,则
的最小值为________.?
【解析】由a+2b=3得
b=1,
所以
当且仅当a=2b=
时,取等号.
答案:
【解题策略】
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
【跟踪训练】
1.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=
的最小值是
( )
A.
B.4
C.
D.5
【解析】选C.依题意,得
当且仅当
时取等号,
即
的最小值是
.
2.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是
( )
A.
B.
C.5
D.6
【解析】选C.由x+3y=5xy,
可得
=1,
所以3x+4y=(3x+4y)·
当且仅当x=1,y=
时取等号,
故3x+4y的最小值是5.
类型二 消元法
【典例】已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为________.?
【思路导引】先把2a+b=ab-1变形为用b表示a的形式,再把a+2b中的a消去,配凑成能利用基本不等式求解的式子.
【解析】由2a+b=ab-1,得a=
因为a>0,b>0,所以a=
>0,b+1>0,所以b>2,
所以a+2b=
+2b=
+2(b-2)+4
=2(b-2)+
+5≥2
+5
=5+2
,
当且仅当2(b-2)=
,即b=2+
时等号成立.
答案:5+2
【解题策略】
含有多个变量的条件最值问题的解决方法
对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
【跟踪训练】
若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是
( )
【解析】选B.对于x2+3xy-1=0可得y=
所以x+y=
(当且仅当
,即x=
时等号成立).
类型三 基本不等式的实际应用(数学建模)
【典例】如图,动物园要围相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36
m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)要使每间虎笼面积为24
m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
【思路导引】若a>0,b>0,(1)已知a+b为定值,可以求ab的最大值;(2)已知ab为定值,可以求a+b的最小值.
【解析】设每间虎笼长x
m,宽y
m,则由条件知:4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S,则S=xy.
(1)方法一:由于2x+3y≥2
所以2
≤18,得xy≤
,
即S≤
,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
故每间虎笼长4.5
m,宽3
m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=9-
y.
因为x>0,所以9-
y>0,所以0
S=xy=
因为00,
所以S≤
当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.
故每间虎笼长4.5
m,宽3
m时,可使面积最大.
(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:因为2x+3y≥2
=24,
所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48.
当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
故每间虎笼长6
m,宽4
m时,可使钢筋网总长最小.
方法二:由xy=24,得x=
所以l=4x+6y=
+6y=6
≥6×2
=48.
当且仅当
=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.
故每间虎笼长6
m,宽4
m时,可使钢筋网总长最小.
【解题策略】
应用基本不等式解决实际问题的方法
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值,正确写出答案.
【跟踪训练】
某镇计划建造一个室内面积为800
m2的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1
m宽的通道,沿前侧内墙保留3
m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
【解析】设矩形温室的左侧边长为a
m,后侧边长为b
m,蔬菜的种植面积为S
m2,
则ab=800.
所以S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)≤808-4
=648,当且仅当a=2b,
即a=40,b=20时等号成立,则S最大值=648.
答:当矩形温室的左侧边长为40
m,后侧边长为20
m时,蔬菜的种植面积最大,最
大种植面积为648
m2.
课堂检测·素养达标
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是
( )
A.
B.
≤1
C.
≥2
D.a2+b2≥8
【解析】选D.4=a+b≥2
(当且仅当a=b时,等号成立),即
≤2,ab≤4,
,
A,C不成立;
≥1,B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8.
2.若x>0,y>0,且
=1,则xy有
( )
A.最大值64
B.最小值
C.最小值
D.最小值64
【解析】选D.由题意,得xy=
xy=2y+8x≥2
,所以
≥8,
即xy有最小值64,等号成立的条件是x=4,y=16.
3.设0的最大值为________.?
【解析】因为0所以0<3x<6,8-3x>2>0,
所以y=
=4,
当且仅当3x=8-3x,即x=
时,取等号.
所以当x=
时,y=
有最大值4.
答案:4
4.已知x>0,y>0,且
=1,则x+y的最小值为________.?
【解析】因为x>0,y>0,
=1,
所以x+y=
(x+y)=
+10≥6+10=16,
当且仅当
,即x=4,y=12时,上式取等号.
故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
答案:16
5.某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元,其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班有48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.若使每名同学游8次,每人最少应交多少元钱?
【解析】设买x张游泳卡,总开支为y元,则每批去x名同学,共需去
批,总开
支又分为:①买卡所需费用240x,②包车所需费用
×40.
所以y=240x+
×40(0所以y=240
≥240×2
=3
840,
当且仅当x=
,即x=8时取等号.
故每人最少应交
=80(元).温馨提示：
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课时素养评价
十二 基本不等式的应用
(15分钟 35分)
1.已知a>b>0,全集为R,集合M=xb( )
A.P=M∩(RN)
B.P=(RM)∩N
C.P=M∪N
D.P=M∩N
【解析】选A.由a>b>0结合基本不等式可得,a>>>b,故P=M∩(RN).
2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则
( )
A.x=
B.x≤
C.x>
D.x≥
【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,
所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,
所以1+x≤1+,故x≤.
3.已知a>0,b>0,ab=1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解题指南】利用“1”的代换解题.
【解析】选B.因为ab=1,所以m=b+=2b,n=a+=2a,所以m+n=2(a+b)≥4=4.
当且仅当a=b=1时,等号成立.
【补偿训练】
若实数a,b满足+=,则ab的最小值为
( )
A.
B.2
C.2
D.4
【解析】选C.由题意知a>0,b>0,
则+≥2=,
当且仅当=,即b=2a时等号成立.
所以≥,即ab≥2.
4.周长为+1的直角三角形面积的最大值为________.?
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,
则+1=a+b+≥2+,
解得ab≤,当且仅当a=b=时取等号,
所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.
答案:
5.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________.?
【解析】总运费与总存储费用之和
f(x)=4x+×4=4x+≥2=160,
当且仅当4x=,即x=20时取等号.
答案:20
6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
证明:
(1)ab+bc+ac≤.
(2)++≥1.
【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.所以++≥1.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若x,y为正数,且+2y=3,则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由x,y为正数得3=+2y
≥2,所以≤,≤,
当且仅当x=,y=时等号成立.
2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是
( )
A.6.5
m
B.6.8
m
C.7
m
D.7.2
m
【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形框架的周长为l,则ab=2,
所以ab=4,l=a+b+≥2+
=4+2≈6.828(m).
因为要求够用且浪费最少,故应选择7
m长的铁丝.
3.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为
( )
A.9
B.12
C.18
D.24
【解析】选B.由+≥
得m≤(a+3b)=++6,
又++6≥2+6=12,当且仅当=,即a=3b时等号成立.所以m≤12,所以m的最大值为12.
【补偿训练】
设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于( )
A.0
B.4
C.-4
D.-2
【解析】选C.由++≥0,得k≥,而=++2≥4,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以-≤-4,
因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,
即实数k的最小值等于-4.
4.若x,y为正数,则+的最小值是
( )
A.3
B.
C.4
D.
【解析】选C.+
=++≥4,
当且仅当即x=y=时等号成立.
【误区警示】同一题目中多次用基本不等式,必须保证每次用时等号成立的条件相同.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知a>0,b>0,a+b=1,对于代数式1+1+,下列说法正确的是
( )
A.最小值为9
B.最大值是9
C.当a=b=时取得最小值
D.当a=b=时取得最大值
【解析】选AC.
=1+1+=·
=5+2≥5+4=9.
当且仅当a=b=时,取等号.
6.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80
000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是
( )
A.该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20
000元
C.该单位每月不获利,也不亏损
D.每月需要国家至少补贴40
000元才能使该单位不亏损
【解析】选AD.由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200
≥2-200=200,
当且仅当x=,即x=400时等号成立,
故该单位月处理量为400吨时,
才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.
设该单位每月获利为S元,
则S=100x-y=100x-
=-x2+300x-80
000
=-(x-300)2-35
000,
因为x∈[400,600],
所以S∈[-80
000,-40
000].
故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40
000元才能不亏损.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上________和________.?
【解析】设两数分别为x,y,即4x+9y=60,
+=
=≥×(13+12)=,
当且仅当=,且4x+9y=60,即x=6且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.
答案:6 4
【补偿训练】
设x,y均为正数,且xy+x-y-10=0,则x+y的最小值是________.?
【解析】由xy+x-y-10=0,
得x==+1,
所以x+y=+1+y≥2=6,
当且仅当=1+y,即y=2时,等号成立.
答案:6
8.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大.?
【解析】C==.
因为t>0,所以t+≥2=4当且仅当t=,即t=2时,等号成立.
所以C=≤=5,
即当t=2时,C取得最大值.
答案:2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(1)xy的最小值.
(2)x+y的最小值.
【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,
又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)=10++≥
10+2=18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
10.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
【解析】(1)设所用时间为t=(h),
y=×2×+14×,x∈[50,100].
所以,这次行车总费用y关于x的表达式是
y=+x,x∈[50,100].
(或y=+x,x∈[50,100]).
(2)y=+x≥26,
当且仅当=x,
即x=18时,等号成立.
故当x=18时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.
1.已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大值为________.?
【解析】正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,
得===≤,
当且仅当=,即a=3b时,取最大值.
又因为a2-2ab+9b2-c=0,所以此时c=12b2,
所以+-=+-
=≤=1.
当且仅当a=3,b=1时,等号成立.
故最大值为1.
答案:1
【补偿训练】
设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是
( )
A.2
B.4
C.2
D.5
【解析】选B.2a2++-10ac+25c2
=(a-5c)2+a2-ab+ab++
=(a-5c)2+ab++a(a-b)+
≥0+2+2=4,
当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1时,等号成立,
如取a=,b=,c=时满足条件.
2.我们学习了二元基本不等式:设a>0,b>0,≥,当且仅当a=b时,等号成立,利用基本不等式可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.
(1)对于三元基本不等式请猜想:设a>0,b>0,c>0,≥________,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全).?
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明:
设a>0,b>0,c>0,求证:(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值:
设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.
【解析】(1)对于三元基本不等式猜想:设a>0,b>0,c>0,≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
答案:
(2)因为a>0,b>0,c>0,
又因为a+b+c≥3>0,
a2+b2+c2≥3>0,
所以(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9=9abc,
当且仅当a=b=c时,等号成立.
即(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc,
(3)因为a>0,b>0,c>0,≥,
所以abc≤,
又因为a+b+c=1,
0<1-a<1,0<1-b<1,0<1-c<1,
所以(1-a)(1-b)(1-c)≤=,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
所以(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.
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