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课时素养评价
十三 从函数观点看一元二次方程
(15分钟 30分)
1.函数y=3x2+x-2的零点为
( )
A.1,-
B.-1,
C.2,-
D.-2,
【解析】选B.解方程3x2+x-2=0,得x1=-1,x2=,所以-1,是函数y=3x2+x-2的零点.
【补偿训练】
函数y=x2-x-6的零点为
( )
A.-2,3
B.-3,2
C.2,3
D.-2,-3
【解析】选A.解方程x2-x-6=0,得x1=-2,x2=3,所以-2,3是函数y=x2-x-6的零点.
2.函数y=5x2+4x-1的零点的个数为
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无法确定
【解析】选C.考察方程5x2+4x-1=0,因为Δ=42-4×5×=36>0,所以方程5x2+4x-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数有两个零点.
3.函数y=9x2-12x+4的零点所在的区间为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由求根公式可得一元二次方程9x2-12x+4=0的根为x=,所以函数y=9x2-12x+4的零点所在的区间为.
4.若二次函数y=ax2+2x+3(a≠0)没有零点,则实数a的取值范围为________.?
【解析】由题意,方程ax2+2x+3=0(a≠0)没有实数根,所以Δ=4-12a<0,所以a>.
答案:
5.已知函数y=x2+ax+b的图象与x轴分别交于点,,求函数y=x2+bx+a的零点.
【解析】由题意,1,2是函数y=x2+ax+b的零点,
所以x1=1,x2=2是方程x2+ax+b=0的根,所以,所以,所以方程x2+2x-3=0的两个根为x1=1,x2=-3,即函数y=x2+2x-3的零点为1,-3.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,与y轴正半轴相交,则函数的零点个数是
( )
A.1
B.2
C.0
D.无法确定
【解析】选B.因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,所以a<0,因为图象与y轴正半轴相交,所以c>0,所以a·c<0,所以Δ=b2-4ac>0,所以方程ax2+bx+c=0有两个根,故函数有两个零点.
2.已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间内,则a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为函数有两个零点,所以Δ=16-4a>0,解得a<4;又因为二次函数图象开口向上,对称轴为x=2,两个零点都在区间内,所以结合函数的图象知当x=1时的函数值大于0,即a>3;故a的取值范围是.
【补偿训练】
下列函数在区间上存在零点的是
( )
A.y=x2-3x+3
B.y=-2x2+x+1
C.y=ax2-x
D.y=4x2-3
【解析】选D.函数y=x2-3x+3没有零点,函数y=-2x2+x+1的零点为1,-,
函数y=ax2-x的零点为0,,由于0
1,故A,B,C选项中函数均不存在区间上的零点.函数y=4x2-3的零点为±,其中0<<1.
3.若函数y=ax2+b(a≠0)的零点为,那么函数y=bx2-ax的零点是
( )
A.0,
B.0,-
C.0,2
D.0,-2
【解析】选B.由题意可知2a+b=0,即b=-2a.
所以y=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),
因为方程-ax(2x+1)=0的解是x=0或x=-,
所以函数y=bx2-ax的零点是0,-
.
4.(多选题)下列函数存在零点的是
( )
A.y=x2-x+1
B.y=3x2-3x-1
C.
y=x2+ax-2
D.y=x2-4x+4
【解析】选BCD.在A选项中,Δ=2-4<0,函数没有零点;B选项中,Δ=9+12>0,函数有两个零点;C选项中,Δ=a2+8>0,函数有两个零点;D选项中Δ=16-16=0,函数有一个零点.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,则实数a的值为________,函数f(x)其余的零点为________.?
【解析】由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6.所以f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.
答案:6 2
6.函数f(x)=的零点是________.?
【解析】由x2-4=0求出x=±2,但是当x=2时函数无意义,所以函数的零点是-2.
答案:-2
【误区警示】本题易认为函数的零点有两个,即由x2-4=0求出x=±2.
三、解答题
7.(10分)若函数y=x2-(k+2)x+1-3k有两个零点x1,x2,且0【解析】因为函数y=x2-(k+2)x+1-3k有两个零点x1,x2,且0所以函数y=x2-(k+2)x+1-3k的大致图象如图.
据图象有当x=0时函数值大于0,当x=1时函数值小于0,当x=2时函数值大于0,
即1-3k>0,且-4k<0,且1-5k>0,
所以0所以实数k的取值范围为.
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3.3.1 从函数观点看一元二次方程
必备知识·自主学习
导思
1.什么是二次函数的零点?
2.一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系是怎样的?
1.二次函数的零点
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0
的根就是二次函数y=ax2+bx+c
当函
数值取零时____________,即二次函数y=ax2+bx+c
的图象与____________
_____,也称为二次函数y=ax2+bx+c
的零点.
自变量x的值
坐标
x轴交点的横
【思考】二次函数的零点就是二次函数图象与x轴的交点吗?
提示:不是,二次函数的零点是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0
的根、二次函数y=ax2+bx+c
的图象、二
次函数y=ax2+bx+c
的零点之间的关系
(1)关系(当a>0时)
(2)本质:判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.
(3)应用:①求二次函数的零点;②证明二次函数零点的个数;③判断二次函数零点所在的区间.
【思考】
当a<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系是怎样的?
提示:当a<0时
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)a>0时二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.
( )
(2)如果二次函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点,则此二次函数没有零点.
( )
提示:(1)×.Δ>0时二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.
(2)√.根据二次函数零点的概念可得.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中若b2>4ac,则函数零点的个数为
( )
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
【解析】选C.因为b2>4ac,
所以Δ=b2-4ac>0,所以函数有2个零点.
3.(教材二次开发:练习改编)函数y=
的零点是________.?
【解析】令
=0,解得x=-2或x=-1,所以函数的零点是-2,-1.
答案:-2,-1
关键能力·合作学习
类型一 求二次函数的零点(数学运算)
【题组训练】
1.函数y=4x2-4x+1的零点为
( )
2.函数y=2x2-6的零点为
( )
A.±3
B.±6
C.±
D.±
3.已知某函数的图象如图所示,则此函数的零点为______.?
【解析】1.选D.解方程4x2-4x+1=0,得x=
,
所以
是函数y=4x2-4x+1的零点.
2.选C.解方程2x2-6=0,得x=±
,所以±
是函数y=2x2-6的零点.
3.由图象可知,函数图象与x轴交点的横坐标分别为0.3,2,即为函数的零点.
答案:
0.3,2
【解题策略】
求二次函数零点的方法
(1)解相应的一元二次方程,方程的根即为零点;
(2)画二次函数的图象,与x轴交点的横坐标即为零点.
【补偿训练】
函数y=3x2-2x的零点为________.?
【解析】解方程3x2-2x=0,得x=0或x=
.
答案:0,
类型二 二次函数零点的判断(逻辑推理)
角度1 二次函数零点个数的判断?
【典例】二次函数y=
x2-ax+a-1
零点的个数为
( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无法判断
【思路导引】考察相应的一元二次方程,根据判别式的符号情况判断.
【解析】选C.考察方程
x2-ax+a-1=0,因为Δ=
-4×
=a2-2a+2=
+1>0,所以方程
x2-ax+a-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数有两个零点.
【变式探究】
本例若把二次函数变为:y=
x2+ax+a-
,则函数零点的个数为________.?
【解析】考察方程
x2+ax+a-
=0,因为Δ=a2-4×
=a2-2a+1=
≥0,
所以方程
x2+ax+a-
=0有两个相等的实数根或两个不相等的实数根,所以二
次函数有一个或两个零点.
答案:1或2
角度2 二次函数零点范围的判断?
【典例】(多选题)二次函数y=3x2-12x+5的零点所在的区间为
( )
【思路导引】解相应一元二次方程,判断其根所在的区间.
【解析】选BD.由求根公式可得一元二次方程3x2-12x+5=0的两个根分别是
x1=2-
,x2=2+
,
因为
故2-
所以0【解题策略】
二次函数零点判断的关注点
1.二次函数的零点的个数取决于相应的一元二次方程判别式的符号,即Δ>0时,两个零点,Δ=0时,一个零点,Δ<0时没有零点.
2.判断二次函数零点的范围时,如果求出的一元二次方程的根是无理数,一般结合不等式的基本性质,判断出大致的范围.
【题组训练】
1.二次函数y=-x2+3x-4零点的个数为
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无法判断
【解析】选A.考察方程-x2+3x-4=0,因为Δ=32-4×
=-7<0,所以方程-x2+
3x-4=0没有实数根,所以二次函数无零点.
2.下列二次函数在区间
上存在零点的是
( )
A.y=
(x-3)
B.y=x2-2x
C.y=2x2+2x+1
D.y=x2-2x-1
【解析】选D.因为方程
(x-3)=0的两个实数根分别为x1=-1,x2=3,方程x2-2x=
0的两个实数根分别为x1=0,x2=2,方程2x2+2x+1=0没有实数根,故A,B,C选项均不
正确;方程x2-2x-1=0的实数根为x=1±
,其中-1<1-
<0,D选项正确.
【补偿训练】
求证:二次函数y=x2-3x+1有两个零点,且在区间
上存在零点.
【证明】考察一元二次方程x2-3x+1=0.
因为Δ=
-4×1×1=5>0,
所以方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根,
因此二次函数y=x2-3x+1有两个零点.
又因为方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为:
x1=
因此二次函数y=x2-3x+1在区间
上存在零点.
类型三 二次函数零点的应用(逻辑推理,数学运算)
【典例】若函数y=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的值.
【思路导引】先讨论该函数是否为二次函数,再分别求参数a的值.
【解析】(1)若a=0,则y=-x-1为一次函数,易知函数只有一个零点.
(2)若a≠0,则函数为二次函数,
若其只有一个零点,则方程ax2-x-1=0仅有一个实数根.故判别式Δ=1+4a=0,得
a=-
.
综上所述,当a=0或a=-
时,函数仅有一个零点.
【解题策略】
已知二次函数的零点或零点的个数求参数的解题策略
1.已知函数的零点求参数时,只要把零点代入相应的方程,解出参数值即可.
2.已知函数零点的个数求参数时,先求判别式,再根据判别式符号情况解不等式或方程,便可得参数的值或范围.
【跟踪训练】
已知二次函数y=2ax2+a2x+1(a≠0)的一个零点为1,则a=________.?
【解析】由题意,x=1是方程2ax2+a2x+1=0的根,所以2a+a2+1=0,解得a=-1.
答案:-1
课堂检测·素养达标
1.若b2-4ac=0,则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)零点的个数为
( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无法确定
【解析】选B.因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.
2.(教材二次开发:习题改编)二次函数y=(2x+1)(x-5)的零点为
( )
A.
,-5
B.-
,5
C.2,-
D.-2,
【解析】选B.因为方程(2x+1)(x-5)=0的两个根为x1=-
,x2=5,所以二次函数
y
=(2x+1)(x-5)的零点为-
,5.
3.二次函数y=x2-2的零点所在的区间为
( )
【解析】选B.解方程x2-2=0得,x=±
,
其中1<
<2.
4.已知二次函数的图象如图所示,则此函数的零点为______.?
【解析】因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为-1,1,所以此函数的零点为-1,1.
答案:-1,1
5.二次函数y=x2-ax的一个零点为2,则a=________.?
【解析】由题意,x=2是方程x2-ax=0的根,所以4-2a=0,解得a=2.
答案:2