温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价
十四 从函数观点看一元二次不等式
(15分钟 30分)
1.下列四个不等式中解集为R的是
( )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+>0
C.2x2+3x-4<0
D.x2+6x+10>0
【解析】选D.对于D项,不等式可化为>-1,所以x2+6x+10>0的解集为R,其他不等式相应的方程的判别式均大于0,故解集不为R.
2.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.原不等式等价于(x+2a)(x-4a)<0,a>0,
所以不等式的解集为(-2a,4a),
所以x2-x1=4a-(-2a)=15,解得a=.
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3
000
+20x-0.1x2(0( )
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3
000≤0,
即x2+50x-30
000≥0,
解得x≥150或x≤-200(舍去).
故生产者不亏本的最低产量是150台.
4.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax2+bx+c<0的解集是________.?
【解析】根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
5.若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集,则实数m的取值范围是________.?
【解析】由题意,知x2-4x+3m≥0对一切实数x恒成立,所以Δ=(-4)2-4×3m≤0,解得m≥.
答案:
6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分),求矩形花园一边长x(单位:m)的取值范围.
【解析】矩形的一边长为x
m,设另一边长为y
m,
则由三角形相似知=,所以y=40-x.
因为xy≥300,所以x(40-x)≥300,
所以x2-40x+300≤0,
所以10≤x≤30.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为
( )
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
【解题指南】先利用☉运算的法则变形,再解不等式.
【解析】选B.由a☉b=ab+2a+b,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0,所以-22.若不等式ax2-x-c>0的解集为(-2,1),则函数y=ax2-x-c的图象为
( )
【解析】选B.因为不等式的解集为(-2,1),所以a<0,排除C、D,又与x轴交点的横坐标为-2,1,所以排除A.
3.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,4]
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)
D.[-2,5]
【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
【补偿训练】
函数y=对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m>2
B.m<2
C.m<0或m>2
D.0≤m≤2
【解析】选D.由题意知x2+mx+≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-2m≤0,所以0≤m≤2.
4.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10
000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意,设本年度年利润为y,则
y=[(1+0.75x)×12-(1+x)×10]×(1+0.6x)×10
000=-6
000x2+2
000x+20
000,
即y=-6
000x2+2
000x+20
000(0上年度利润为(12-10)×10
000=20
000.
所以y-20
000>0,即-6
000x2+2
000x>0,
所以0二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下面所给关于x的不等式,其中一定为一元二次不等式的是
( )
A.3x+4<0
B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0
D.x2<0
【解析】选BD.根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是,C不一定是,B,D一定是.
6.下列结论错误的是
( )
A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0
C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R,则a≤-
D.不等式>1的解为x<1
【解析】选ABD.A选项中,只有a>0时才成立;B选项当a=b=0,c≤0时也成立;D选项应为0三、填空题(每小题5分,共10分)
7.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2
400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是________.?
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
则y=2
400×t%=60(8t-t2).
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
答案:[3,5]
8.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则=________,关于x的不等式>0的解集是________.?
【解析】依题意,a>0且-=1,所以=-1;不等式>0可变形为(ax-b)(x-2)>0,即(x-2)>0,所以(x+1)(x-2)>0,故x>2或x<-1.
答案:-1 {x|x<-1或x>2}
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
【解析】(1)
因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.
由根与系数的关系,得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|210.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时,而用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时).
经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%?
【解析】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75),则新增用电量为千瓦时.依题意,有(a+)(x-0.3)≥a(0.8-0.3)(1+20%),即(x-0.2)(x-0.3)≥0.6(x-0.4),整理得x2-1.1x+0.3≥0,解此不等式,得x≥0.6或x≤0.5,
又0.55≤x≤0.75,
所以0.6≤x≤0.75,因此xmin=0.6,即电价最低为0.6元/千瓦时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.
1.对于实数x,当且仅当n≤x)时,[x]=n,则关于x的不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为________.?
【解析】由4[x]2-36[x]+45<0,得<[x]<,又当且仅当n≤x)时,[x]=n,所以[x]=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为[2,8).
答案:[2,8)
2.当0≤x≤2时不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2恒成立,试求t的取值范围.
【解析】令y=x2-3x+2,0≤x≤2.
则y=x2-3x+2=(x-)2-,所以y在[0,2]上取得最小值为-,最大值为2.
若(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2在[0,2]上恒成立,则
即
所以或
所以t的取值范围为-1≤t≤1-.
关闭Word文档返回原板块
PAGE(共36张PPT)
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
必备知识·自主学习
导思
1.什么是一元二次不等式?
2.如何求一元二次不等式的解集?
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的___________叫作一元二次不等式.
整式不等式
【思考】
不等式x2+
>0是一元二次不等式吗?
提示:不是,一元二次不等式一定是整式不等式.
2.一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系
(1)关系:(a>0)
(2)本质:方程ax2+bx+c=0(a≠0)和不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y=0时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)就转化为方程,当y>0或y<0时就转化为一元二次不等式.
(3)应用:①解一元二次不等式,②已知一元二次不等式的解集求参数,③一元二次不等式的应用问题.
【思考】
(1)有人说:当Δ>0时表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗?
提示:x1,x2既是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元
二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.
(2)若一元二次不等式ax2+x-1>0(a≠0)的解集为R,则实数a应满足什么条件?
提示:结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0(a≠0)的解集为R,则
解得a∈
,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式
( )
(2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解
( )
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1( )
提示:(1)×.当m=0时是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2)
×.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.
(3)×.当a>0时,ax2+bx+c<0的解集为{x|x12.(教材二次开发:练习改编)不等式(2x+1)(x-1)>0的解集是
( )
A.
B.{x|x>1}
C.{x|x<1或x>2}
D.
【解析】选D.因为方程(2x+1)(x-1)=0的解为x1=-
,x2=1,所以根据函数y=(2x
+1)(x-1)的图象,可得原不等式的解集为
.
3.不等式-3x2+5x-4>0的解集为________.?
【解析】原不等式变形为3x2-5x+4<0.
因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0
的解集为
.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 解一元二次不等式(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4( )
A.{x|-4B.{x|-4C.{x|-2D.{x|22.函数y=
的自变量的取值范围是
( )
A.{x|x<-4或x>3}
B.{x|-4C.{x|x≤-4或x≥3}
D.{x|-4≤x≤3}
3.下列不等式中解集为R的是
( )
A.2x2-3x-2>0
B.x2-4x+4>0
C.-x2+2x-3<0
D.-3x2+5x-2>0
【解析】1.选C.由题意得,M={x|-4N={x|-22.选C.由题意得函数满足x2+x-12≥0,即(x-3)(x+4)≥0,解得x≤-4或x≥3,所以
函数的定义域为{x|x≤-4或x≥3}.
3.选C.不等式2x2-3x-2>0的解集为
,不等式x2-4x+4>0的解集为
{x|x≠2},不等式-x2+2x-3<0的解集为R,
不等式-3x2+5x-2>0的解集为
【解题策略】解一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
【补偿训练】
已知集合A=
则A∩B=
( )
【解析】选D.因为A=
,B=
,
所以A∩B=
.
类型二 一元二次不等式的实际应用(数学建模、数学运算)
【典例】国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【解题策略】一元二次不等式应用题的关注点
(1)常见模型:二次函数模型.
(2)解题流程:解题时要审清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
【跟踪训练】
某单位在对一个长800
m、宽600
m的草坪进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,则花坛宽度的取值范围是多少?当花坛宽度为多少时,绿草坪面积最小?
【解析】设花坛的宽度为x
m,则绿草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,根据题
意得(800-2x)·(600-2x)≥
×800×600整理得x2-700x+60
000≥0,
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,
由题意知
x>0,所以0当x在(0,100]之间取值时,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.
绿草坪的面积S=(800-2x)·(600-2x)
=4
当x=100时S取得最小值.
即当花坛宽度为100
m时绿草坪面积最小.
类型三 “三个二次”的关系及应用(逻辑推理)
角度1 一元二次不等式的恒成立问题?
【典例】(1)若一元二次不等式2kx2+kx-
<0对一切实数x都成立,则k的取值范
围为
( )
A.(-3,0]
B.[-3,0)
C.[-3,0]
D.(-3,0)
(2)若对x∈[-3,-1]上恒有x2-ax-3<0成立,则a的取值范围是________.?
【思路导引】转化为二次函数,结合图象求解.
【解析】(1)选D.一元二次不等式2kx2+kx-
<0对一切实数x都成立,
则必有
解得-3(2)要使
x2-ax-3<0在[-3,-1]上恒成立,则必须使函数y=x2-ax-3在[-3,-1]上的
图象在x轴的下方,由于函数的图象开口向上,
此时a应满足
解得a<-2.故当a∈(-∞,-2)时,有x2-ax-3<0在x∈[-3,-1]时恒成立.
答案:(-∞,-2)
【变式探究】若把本例(1)条件改为“不等式2kx2+kx+
>0对一切实数x都成
立”,试求k的取值范围.
【解析】当k=0时不等式为
>0,显然成立;
当k≠0时则有
解得0 角度2 一元二次不等式给解求参数问题?
【典例】已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为
,求p、q的值并求
不等式qx2+px+1>0的解集.
【思路导引】由一元二次不等式的解集,可得相应二次函数与x轴的交点,再利用
根与系数的关系求待定系数.
【解析】因为x2+px+q<0的解集为
,所以x1=-
与x2=
是方程x2+px+
q=0的两个实数根,由根与系数的关系得
所以不等式qx2+px+1>0即为-
x2+
x+1>0,整理得x2-x-6<0,解得-2即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2【解题策略】
1.一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
(1)在R上恒成立问题
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立?
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立?
(2)在给定区间上的恒成立问题
①a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时
小于0.
②a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时
大于0.
2.解决一元二次不等式给解求参数问题的关注点
(1)由一元二次不等式中不等号的方向及其解集可以逆推二次函数的开口;
(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,也是函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标.
【题组训练】
1.不等式ax2+5x+c>0(a≠0)的解集为
,则a,c的值为
( )
A.a=6,c=1
B.a=-6,c=-1
C.a=1,c=6
D.a=-1,c=-6
【解析】选B.因为不等式ax2+5x+c>0(a≠0)的解集为
,则x1=
,x2=
分别是方程ax2+5x+c=0的两个根,故
解得a=-6,c=-1.
2.若对于任意x∈[m,m+1],都有x2+mx-1<0成立,则实数m的取值范围是________.?
【解析】作出二次函数y=x2+mx-1的草图,对于任意x∈[m,m+1],都有x2+mx-1<0,
则
答案:
【补偿训练】
已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|2+bx+a<0的解集.
【解析】由不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|2是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知
=-5,
=6.由a<0知c<0,
,故不等式cx2+bx+a<0,即x2+
>0,即x2-
>0,解得x<
或x>
,所
以不等式cx2+bx+a<0的解集为
课堂检测·素养达标
1.不等式
>0的解集是
( )
【解析】选D.方程
=0的两根为x1=
,x2=
,所以原不等式的解集
为
2.一元二次不等式ax2+bx+2>0(a≠0)的解集是
,则a+b的值是( )
A.10 B.-10 C.14 D.-14
【解析】选D.方程ax2+bx+2=0(a≠0)的两个根为-
所以a=-12,b=-2,a+b=-14
3.(教材二次开发:练习改编)某公司每个月的利润y(单位:万元)关于月份n的关系式为y=n2-9n+114,则该公司12个月中,利润大于100万元的月份共有
( )
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
【解析】选C.由题意得n2-9n+114>100,解得n<2或n>7故n=1,8,9,10,11,12,共6个月.
4.(教材二次开发:练习改编)二次函数y=x2-4x+3当函数值为负数时x的取值范围是________.?
【解析】由于方程x2-4x+3=0的两个根为x1=1,x2=3.故不等式x2-4x+3<0的解集为{x|1答案:15.不等式-x2+mx+m<0恒成立的条件是________.?
【解析】-x2+mx+m<0恒成立,等价于Δ<0,即m2+4m<0,所以-4答案:-4
