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课时素养评价
十六 对数的概念
(15分钟 30分)
1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由条件知,log3(log2x)=1,
所以log2x=3,所以x=8,所以=.
【补偿训练】
若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是
( )
A.[2,+∞)
B.(2,3)∪(3,+∞)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,
需,解得t>2且t≠3,
所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).
2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N?b=logaN.现在已知a=log23,则2a=________.?
【解析】由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
答案:3
3.e0++=________.?
【解析】原式=1+2+8=11.
答案:11
4.已知log62=a,6b=12,则a2+b(1-a)的值为______.?
【解析】由log62=a,则6a=2,
又6b=12,所以b=a+1,
所以a2+b(1-a)=a2+(1+a)(1-a)=1.
答案:1
5.(1)将log232=5化成指数式.
(2)将3-3=化成对数式.
(3)log4x=-,求x.
(4)已知log2(log3x)=1,求x.
【解析】(1)因为log232=5,所以25=32.
(2)因为3-3=,所以log3=-3.
(3)因为log4x=-,所以x===2-3=.
(4)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,即x=32=9.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是
( )
A.128
B.16
C.8
D.256
【解析】选B.由题意,令log2x=2,解得x=4,
则f(log2x)=2x=24=16.
2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=,则x=
( )
A.log37-log32
B.lo4
C.log34
D.log37
【解析】选C.2×9x-28=,
所以2×(3x)2-28-3x=0,
即(3x-4)(2·3x+7)=0,
解得3x=4,则x=log34.
3.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是
( )
A.1
B.0
C.x
D.y
【解题指南】先对方程配方,求出x,y后再利用对数性质求值.
【解析】选B.由x2+y2-4x-2y+5=0,
则(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1,
所以logx(yx)=log2(12)=0.
【补偿训练】
若10α=2,β=lg
3,则=
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选D.因为β=lg
3,所以10β=3.
所以====.
4.(多选题)下列各式正确的有
( )
A.lg(lg
10)=0
B.lg(ln
e)=0
C.若10=lg
x,则x=10
D.若log25x=,则x=±5.
【解析】选AB.对于A,因为lg(lg
10)=lg
1=0,所以A对;
对于B,因为lg(ln
e)=lg
1=0,所以B对;
对于C,因为10=lg
x,所以x=1010,C错;
对于D,因为log25x=,所以x=2=5.
所以只有AB正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若loga2=m,loga3=n,其中a>0,且a≠1,则am+n=________.?
【解析】loga2=m,可得am=2.
loga3=n,an=3.am+n=aman=2×3=6.
答案:6
6.(2020·绍兴高一检测)已知方程loga(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a=________;当a=2时,方程的解x=________.?
【解析】因为x=2是方程的解,所以loga(52-32)=2.
所以a2=16,且a>0,所以a=4.
当a=2时,log2(5x-3x)=x.
所以5x-3x=2x,显然x=1是方程的解.
答案:4 1
【补偿训练】
方程log3(9x-4)=x+1的解x=________.?
【解析】因为log3(9x-4)=x+1,所以9x-4=3x+1,
所以(3x)2-3·3x-4=0,
所以3x=4,x=log34,或3x=-1(舍).
答案:log34
三、解答题
7.(10分)若lox=m,loy=m+2,求的值.
【解析】因为lox=m,所以=x,x2=.
因为loy=m+2,所以=y,y=,所以====16.
【补偿训练】
已知logab=logba(a>0,a≠1;b>0,b≠1),求证:a=b或a=.
【证明】令logab=logba=t,则at=b,bt=a,
所以=a则=a,所以t2=1,t=±1,
当t=1时,a=b;当t=-1时,a=.
所以a=b或a=.
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4.2 对 数
4.2.1 对数的概念
必备知识·自主学习
1.对数的概念
(1)定义:一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作
_______,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)特殊对数:
常用对数:以10为底,记作_____;?
自然对数:以e为底,记作_____.?
(3)指数与对数的关系:
当a>0,a≠1时,ab=N?_______.
导思
1.在指数运算1.11x=2中,怎样计算指数x?
2.对数有哪些性质?
logaN=b
lg
N
ln
N
b=logaN
【思考】
对数式logaN是不是loga与N的乘积?
提示:不是,logaN是一个整体,其运算结果是一个实数.
2.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2)loga1=__;
(3)logaa=__.
0
1
【思考】
你能否推导出对数的性质(2)(3)?
提示:因为a0=1,所以loga1=0;
因为a1=a,所以logaa=1.
3.对数恒等式
=__.
N
【思考】
对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系?
提示:指数的底数与对数的底数相等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)因为(-4)2=16,所以log(-4)16=2.
( )
(2)因为3x=81,所以log813=x.
( )
(3)log23=log32.
( )
提示:(1)×.对数的底数不能为负值.
(2)×.应为log381=x.
(3)×.log23≠log32,两个是不同的对数值.
2.把对数式x=log232改写为指数式________.?
【解析】对数式x=log232改写为指数式为2x=32.
答案:2x=32
3.(教材二次开发:练习改编)
若ln
e-2=-x,则x=________.?
【解析】因为ln
e-2=-x,所以e-x=e-2,所以x=2.
答案:2
关键能力·合作学习
类型一 对数的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.若a2
020=b(a>0且a≠1),则
( )
A.logab=2
020
B.logba=2
020
C.log2
020a=b
D.log2
020b=a
2.在M=log(x-3)(x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为
( )
A.(-∞,3]
B.(3,4)∪(4,+∞)
C.(4,+∞)
D.(3,4)
3.(多选题)下列指数式与对数式的互化中,正确的是( )
A.100=1与lg
10=1
B.27
=
与log27
=-
C.log39=2与
=3
D.log55=1与51=5
【解析】1.选A.若a2
020=b(a>0且a≠1),
则2
020=logab.
2.选B.由函数的解析式可得
解得3
4.
3.选BD.在A中,100=1?lg
1=0,故A错误;
在B中,27
=
?log27
=-
,故B正确;
在C中,log39=2?32=9,故C错误;
在D中,log55=1?51=5,故D正确.
【解题策略】
关于指数式的范围
利用式子logab?
求字母的范围.
【变式探究】
【补偿训练】在b=loga(5-a)中,实数a的取值范围是
( )
A.a>5或a<0
B.0C.0D.1【解析】选B.由对数的定义可知
解得0类型二 指数式与对数式的互化(数学运算)
角度1 指数与对数的互化及应用?
【典例】如表,其中解正确的题号是
( )
题号
①
②
③
④
方程
log64x=-
logx8=6
lg
100=x
-ln
e2=x
解
16
-2
A.①②
B.③④
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
【解析】选C.由log64x=-
得,x=
=
,所以①错误;
由logx8=6得,x6=8,所以x2=2且x>0,
所以x=
,所以②正确;
由log10100=x得,10x=100.所以x=2,所以③错误;
由-ln
e2=x得,x=-2,所以④正确;
所以正确的题号是②④.
角度2 对数性质的应用?
【典例】已知log2[log4(log3x)]=log3[log4(log2y)]=0,则x+y=________.?
【思路导引】由外向内求出x,y后求和.
【解析】由题意可得log4(log3x)=1,所以log3x=4,所以x=34=81;
同理可得log4(log2y)=1,所以log2y=4,
所以y=24=16,所以x+y=97.
答案:97
【变式探究】
将等式变为log2[log4(log3x)]=log3[log4(log2y)]=1,试求x+y.
【解析】由题意,log4(log3x)=2,得log3x=16,得x=316;log4(log2y)=3,得log2y=64,得y=264.
所以x+y=316+264.
【解题策略】
1.关于指数式与对数式的互化
指数式与对数式的互化关系:
2.对数性质在求值中的应用
此类题目一般都有多层,解题方法是利用对数的性质,从外向里逐层求值.
【题组训练】
1.(2020·乌鲁木齐高一检测)设m=loga3,logaπ=n,则a2m-n=( )
【解析】选C.因为m=loga3,logaπ=n.
所以am=3,an=π.所以a2m-n=
2.计算log3[log3(log28)]等于
( )
A.1
B.16
C.4
D.0
【解析】选D.令log28=x,则2x=8,所以x=3.
所以log3[log3(log28)]=log3(log33)=log31=0.
【补偿训练】若log2[log2(log2x)]=0,则x=
( )
A.2
B.4
C.1
D.
【解析】选B.若log2[log2(log2x)]=0,
则log2(log2x)=1,则log2x=2,解得:x=4.
类型三 对数恒等式的应用(数学运算)
【典例】1.
=( )
2.若x=log43,则2·4x+4-x=________.?
【思路导引】1.先利用指数运算性质拆分,再利用对数恒等式求值.
2.直接将x代入所求式,再利用对数恒等式求值.
【解析】1.选A.
=2-1×
=
×
=
.
2.由x=log43,则2·4x+4-x=2·
+
=
2×3+
=6+
=
.
答案:
【解题策略】
关于对数恒等式的应用
首先利用指数运算性质变形,变形为
的形式,再利用对数恒等式计算求值.
【跟踪训练】
(2020·绍兴高一检测)若a=log23,则2a+2-a=________.?
【解析】因为a=log23,所以2a+2-a=
答案:
课堂检测·素养达标
1.
+log22等于
( )
A.
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.原式=4+1=5.
2.(2020·杭州高一检测)已知logx8=3,则x的值为( )
A.
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为logx8=3,所以x3=8,解得x=2.
3.(教材二次开发:练习改编)
若10m=
,则m=________.?
【解析】因为10m=
,则m=lg
.
答案:lg
4.ln(lg
10)=________.?
【解析】ln(lg
10)=ln
1=0.
答案:0
5.若对数ln(x2-5x+6)存在,则x的取值范围为________.?
【解析】因为对数ln(x2-5x+6)存在,
所以x2-5x+6>0,所以解得x>3或x<2,
即x的取值范围为:(-∞,2)∪(3,+∞).
答案:(-∞,2)∪(3,+∞)