(共34张PPT)
4.2.2 对数的运算性质
必备知识·自主学习
1.对数的运算性质
(1)性质:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,n∈R,那么
①积的对数:loga(MN)=___________;
②商的对数:loga
=___________;
③幂的对数:logaMn=______.
导思
1.对数运算有哪些运算性质?
2.怎样用lg
2,lg
3计算log23?
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
【思考】
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗?
提示:积的对数等于积的各个因式的对数的和;
商的对数等于分子的对数减去分母的对数;
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.
2.换底公式
(1)公式:
logaN=
(a>0,且a≠1;N>0;c>0,c≠1).
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式?
(2)你能用换底公式证明结论
吗?
提示:(1)logab=
,logab=
.
(2)
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)lg(xy)=lg
x·lg
y.
( )
(2)
( )
(3)
=log216.
( )
提示:(1)×.lg(xy)=lg
x+lg
y.
(2)×.log3
=log327-log39.
(3)√.逆用换底公式可得.
2.若lg
a-2lg
2=1,则a=
( )
A.4
B.10
C.20
D.40
【解析】选D.lg
a-2lg
2=lg
a-lg
4=lg
=1,
所以
=10,所以a=40.
3.(教材二次开发:练习改编)
若ln
x=2ln
a-
ln
b,则x=________.?
【解析】因为ln
x=2ln
a-
ln
b=ln
a2
,
所以x=a2
.
答案:a2
关键能力·合作学习
类型一 对数运算性质的应用(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·苏州高一检测)计算:0.25-0.5-log525=
( )
A.0
B.1
C.3
D.4
2.若a=logm
x,b=logm
y,c=logm
z,则用a,b,c表示
=________.?
3.lg22+lg
2·lg
5+lg
5=________.?
【解析】1.选A.0.25-0.5-log525=
-log552=
-2=0.
2.原式=logm(xy2
)=logm
x+logm
y2+logm
=logm
x+2logm
y-
logm
z=a+2b-
c.
答案:a+2b-
c
3.lg22+lg
2·lg
5+lg
5=lg
2·(lg
2+lg
5)+lg
5=lg
2+lg
5=lg
10=1.
答案:1
【解题策略】
利用对数运算性质化简求值
(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用;
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用;
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg
2+lg
5=1,进行计算或化简.
【补偿训练】
若lg
x-lg
y=a,则
=( )
A.3a
B.a3
C.
D.
【解析】选A.lg
x-lg
y=lg
=a,
类型二 对数换底公式的应用(数学运算)
【典例】1.(2020·淮安高一检测)设a=lg
2,b=lg
3,则log26=
( )
A.ab2
B.a2b
C.
D.
2.设log34·log48·log8m=log416,则m的值是
( )
A.
B.9
C.18
D.27
3.(2020·泸州高一检测)实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的是( )
【思路导引】1.利用换底公式将log26换成常用对数后用a,b表示;
2.换成常用对数约分求m值;
3.利用指对互化表示出a,b后验证等式是否成立.
【解析】1.选C.因为a=lg
2,b=lg
3,
所以log26=
2.选B.因为log34·log48·log8m
所以lg
m=
·lg
3=lg
32,解得m=9.
3.选B.因为2a=5b=10,
所以a=log2
10,b=log5
10,
所以
=lg
2,
=lg
5,
所以
+
=lg
2+lg
5=lg
(2×5)=1.
【解题策略】
利用换底公式进行化简和求值
(1)一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值;
(2)如果出现多个指数式相等的式子,则先化为对数式,再利用对数的运算性质
化简求值;
(3)注意一些常见结论的应用,如对数的倒数公式
=logba.
【跟踪训练】
1.设lg
2=a,lg
3=b,则log125=
( )
【解析】选A.因为lg
2=a,lg
3=b,
则log125=
2.若实数a,b,c满足2a=1
009b=2
018c=2
020,则下列式子正确的是( )
【解析】选B.由已知,得2a=1
009b=2
018c=2
020,
得a=log22
020,b=log1
0092
020,c=log2
0182
020,
所以
=log2
0202,
=log2
0201
009,
=log2
0202
018,而2×1
009=2
018,所以
+
=
.
【补偿训练】已知2x=5y=t,
+
=2,则t=( )
A.
B.
C.
D.100
【解析】选C.因为2x=5y=t>0,t≠1,
所以x=
,y=
.
代入
+
=2,所以
+
=2,
所以ln
10=ln
t2,所以t2=10,则t=
.
类型三 实际问题中的对数运算(数学运算)
【典例】(2020·海淀高一检测)2018年9月24日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得
主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数
学界的震动.在1859年的时候,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于
某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,
著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字x的素数个数大约可以表
示为π(x)≈
的结论.若根据欧拉得出的结论,估计1
000以内的素数的个数
为
( )(素数即质数,lg
e≈0.434
29,计算结果取整数)
A.768
B.144
C.767
D.145
【思路导引】根据素数计算公式,利用换底公式计算.
【解析】选D.由题意可知:π(1
000)≈
≈145.
所以根据欧拉得出的结论,估计1
000以内的素数的个数为145.
【解题策略】
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
【跟踪训练】
根据有关资料,汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010,目前
人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与
最接近的是( )
(参考数据:lg
2≈0.30,lg
3≈0.48)
【解析】选B.汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010,
目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.
所以
两边取常用对数,
可得lg
=lg
1010-lg
36-lg
230
≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88.
所以
=10-1.88≈
.
课堂检测·素养达标
1.(2020·南京高一检测)化简lg
+2lg
2-
的值得
( )
A.2
B.-2
C.1
D.-1
【解析】选D.lg
+2lg2
-
=lg
+lg
4-2
=lg
-2=1-2=-1.
2.已知正实数a,b,c满足log2a=log3b=log6c,则
( )
A.a=bc
B.b2=ac
C.c=ab
D.c2=ab
【解析】选C.设log2a=log3b=log6c=k,
则a=2k,b=3k,c=6k,所以c=ab.
【误区警示】本题容易忽视设出log2a=log3b=log6c=k,导致无法表示出a,b,c.
3.(教材二次开发:练习改编)已知xlog32=1,则2x+2-x的值是
( )
A.1
B.3
C.
D.
【解析】选D.因为xlog32=1,
所以x=log23,
所以2x+2-x=
4.log23·log35·log516=________.?
【解析】原式=
答案:4
5.
=________.?
【解析】
答案:1温馨提示：
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课时素养评价
十七 对数的运算性质
(15分钟 30分)
1.化简2lg
5+lg
4-的结果为
( )
A.0
B.2
C.4
D.6
【解析】选A.原式=2lg
5+2lg
2-2
=2(lg
5+lg
2)-2=0.
2.+等于
( )
A.lg
3
B.-lg
3
C.
D.-
【解析】选C.原式=lo+lo
=log94+log35=log32+log35=log310=.
3.(2020·新乡高一检测)设a=lg
6,b=lg
20,则log23=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为a=lg
6=lg
2+lg
3,b=lg
20=1+lg
2,所以log23==.
4.计算:2-1+lg
100-ln=________.?
【解析】原式=+2-=2.
答案:2
5.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.
【解析】因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,
所以=logc3,=logc5,所以+=logc15.
由logc15=2得c2=15,即c=(负值舍去).
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1x2…x2
020)=4,则f()+f()+…+f()的值等于
( )
A.4
B.8
C.16
D.2log48
【解析】选B.因为函数f(x)=logax(a>0,a≠1),f(x1x2…x2
020)=4,
所以f(x1x2…x2
020)=loga(x1x2…x2
020)=4,
所以f()+f()+…+f()
=loga(××…×)
=loga(x1x2…x2
020)2=2loga(x1x2…x2
020)=2×4=8.
2.若lg
a,lg
b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值等于
( )
A.2
B.
C.4
D.
【解析】选A.由根与系数的关系,得lg
a+lg
b=2,lg
a·lg
b=,所以=
(lg
a-lg
b)2=(lg
a+lg
b)2-4lg
a·lg
b=22-4×=2.
3.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
( )
A.1010.1
B.10.1
C.lg
10.1
D.10-10.1
【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25
=lg,
所以lg=10.1,则=1010.1.
4.(多选题)(2020·滨州高一检测)已知a,b均为正实数,若logab+logba=,ab=ba,则可以取的值有
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选AD.令t=logab,则t+=,
所以2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0,
所以t=或t=2,所以logab=或logab=2.
所以a=b2或a2=b.
又因为ab=ba,所以2b=a=b2或b=2a=a2.
所以b=2,a=4或a=2,b=4.
所以=2或=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(lg
5)2-(lg
2)2+lg
4=________.?
【解析】原式=(lg
5+lg
2)(lg
5-lg
2)+lg
4
=lg
5-lg
2+2lg
2=lg
5+lg
2=1.
答案:1
6.已知lg
a+b=3,ab=100,则alg
2·b=________.?
【解析】lg
a+b=3,a=103-b,
又因为ab=100,所以10(3-b)b=100,b(3-b)=2,
所以b=1或2,a=100或10,
所以alg
2·b=102lg
2·1=4或alg
2·b=10lg
2·2=2×2=4.
答案:4
三、解答题
7.(10分)(2020·漳州高一检测)计算下列各式:
(1)(log32+log92)(log43+log83)+;
(2)2lg
5+lg
8+lg
5·lg
20+lg22.
【解析】(1)(log32+log92)(log43+log83)+
=+5
=···+5
=×+5=.
(2)2lg
5+lg
8+lg
5·lg
20+lg22
=2lg
5+lg
23+lg
5·lg(4×5)+lg22
=2lg
5+2lg
2+2lg
5·lg
2+lg25+lg22
=2(lg
5+lg
2)+2lg
5·lg
2+lg25+lg22
=2+(lg
5+lg
2)2=2+1=3.
【补偿训练】
计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;
(2)log2+log212-log242-1.
【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=
log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
(2)原式=log2+log212-log2-log22
=log2=log2=log2
=-.
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