(共45张PPT)
第2课时 分
段
函
数
必备知识·自主学习
导思
用什么样的函数描述出租车随着行驶路程增加的计费多少?
分段函数
(1)定义:在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,像这样的函数叫作分段函数.
(2)本质:函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系.
(3)应用:可以用分段函数描述很多生活中的实际问题.
【思考】
1.分段函数y=
是两个函数吗?
提示:分段函数是一个函数,只不过在不同范围上解析式不同.
2.分段函数的定义域、值域是怎么规定的?
提示:定义域为各段范围的并集;值域为各段上值域的并集.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)分段函数中各段函数的定义域交集是空集,并集是分段函数的定义域.
( )
(2)函数y=|x+1|不是分段函数.
( )
(3)分段函数f(x)=
则f(-2)=-2.
( )
提示:(1)√.由分段函数的定义可知,此说法正确.
(2)×.函数y=|x+1|=
是分段函数.
(3)×.f(-2)=2×(-2)=-4.
2.若f(x)=
则f(f(-2))=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.因为-2<0,所以f(-2)=-(-2)=2,
又因为2>0,所以f(f(-2))=f(2)=22=4.
3.(教材二次开发:练习改编)某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3
km(含
3
km),以后每1
km为1.6元(不足1
km,按1
km计费),若出租车行驶在不需等
待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致
为
( )
【解析】选C.由题意,当0
当3,y=10+1.6,
当4关键能力·合作学习
类型一 分段函数的求值(范围)问题(数学运算)
【题组训练】
1.设函数f(x)=
若f(a)=a,则实数a的值为
( )
A.±1
B.-1
C.-2或-1
D.±1或-2
2.已知f(x)=
使f(x)≥-1成立的x的取值范围是
( )
A.[-4,2)
B.[-4,2]
C.(0,2]
D.(-4,2]
3.已知f(x)=
则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是
( )
A.[-2,1]
B.(-∞,-2]
C.
D.
【解析】1.选B.由题意知,f(a)=a,
当a≥0时,有
a-1=a,解得a=-2,(不满足条件,舍去);
当a<0时,有
=a,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1.
所以实数a的值是-1.
2.选B.因为f(x)≥-1,所以
或
所以-4≤x≤0或03.选D.(1)当x+2≥0,即x≥-2时,f(x+2)=1.
由x+(x+2)·f(x+2)≤5可得x+x+2≤5,
所以x≤
,即-2≤x≤
;
(2)当x+2<0即x<-2时,f(x+2)=-1,
由x+(x+2)·f(x+2)≤5可得x-(x+2)≤5,
即-2≤5,所以x<-2.
综上不等式的解集为
【解题策略】
1.分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值(范围)的步骤
(1)先将字母分情况代入解析式,列出方程(不等式).
(2)解方程(不等式)求字母的值(范围),并检验是否符合字母的取值范围.
(3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求.
【补偿训练】
设f(x)=
则f(5)的值为
( )
A.10
B.11
C.12
D.13
【解析】选B.因为f(x)=
所以f(5)=f(f(11))=f(9)=f(f(15))=f(13)=11.
类型二 分段函数的表示方法及应用(数学运算、直观想象)
角度1 求分段函数的解析式?
【典例】函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)=______.?
【思路导引】由图象确定函数类型,待定系数法求解析式.
【解析】当x<-1时,设f(x)=ax+b,
则
解得
所以f(x)=x+2;
当-1≤x≤2时,设f(x)=kx2,由4=k·22得k=1,所以f(x)=x2;
当x>2时,设f(x)=cx+d,则
解得
所以f(x)=2x,
所以f(x)=
答案:
【变式探究】本例中,若f(a)=
,求实数a的取值的集合.
【解析】当a<-1时,f(a)=a+2=
,
可得a=-
;
当-1≤a≤2时,f(a)=a2=
,可得a=±
;
当a>2时,f(a)=2a=
,
可得a=
(舍去),
综上所述,a的取值构成的集合为
角度2 分段函数图象的应用?
【典例】已知f(x)=-x+3,g(x)=
x+
,h(x)=x2-4x+3.
(1)在同一坐标系中画出函数f(x),g(x),h(x)的图象.
(2)?x∈R,令M(x)表示f(x),g(x),h(x)中的最大者,记作M(x)={f(x),g(x),h(x)},请分别利用图象法和解析法表示函数M(x),并求M(x)的值域.
【思路导引】(1)利用描点法作三个函数在同一坐标系中的图象.
(2)根据M(x)的图象及定义解题.
【解析】(1)由题意可以画出函数f(x)=-x+3,g(x)=
x+
,h(x)=x2-4x+3在同一坐标系下的图象:
(2)由图中函数的取值情况,结合函数M(x)的定义,可得M(x)的图象为:
结合图象得函数M(x)=
且最小值在x=1处取得,最小值是2,故值域为[2,+∞).
【解题策略】
1.关于分段函数的求值(范围)
一是要分段求值或范围,二是求出的值和范围要符合本段的自变量取值范围.
2.关于分段函数图象的应用
首先要准确作出函数的图象,再根据图象的关系、条件的要求解题.
【题组训练】
1.函数f(x)=x+
的图象是
( )
【解析】选C.由题意得x≠0,
当x>0时,f(x)=x+
=x+1;
当x<0时,f(x)=x-1,
根据一次函数图象可知C正确.
2.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x+1|-1的图象只有一个交点,则a的值为________.?
【解析】在同一平面直角坐标系内,作出函数y=2a与y=|x+1|-1的图象,
如图所示.
由题意,可知2a=-1,则a=-
.
答案:-
【补偿训练】
已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是________.?
【解析】由题图可知,
当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式,得
所以
即f(x)=x+1.
当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入,得k=-1,即f(x)=-x.
综上,f(x)=
答案:f(x)=
类型三 分段函数在实际问题中的应用(数学建模)
【典例】1.(2020·南京高一检测)在股票买卖过程中,经常用到两种曲线:一种是
即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x).例如,f(2)=3是指开始买卖
2小时的即时价格为3元;g(2)=3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元.下图给出
的四个图象中,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是
( )
2.某地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题:
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)利用函数解析式,说明电力公司采取的收费标准.
(3)若该用户某月用电62度,则应交费多少元?若该用户某月交费105元,则该用户该月用了多少度电?
【思路导引】1.根据即时价格和平均价格的变化趋势判断.
2.先分段求出解析式,再利用解析式解题.
【解析】1.选A.开始时平均价格与即时价格一致,排除C,D,即时价格减少时,
平均价格不可能增大,排除B.
2.(1)当0≤x≤100时,设函数解析式为y=kx.
将x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x.
当x>100时,设函数解析式为y=ax+b.
将x=100,y=65和x=130,y=89代入,
得
解得
所以y=0.8x-15.
综上可得y=
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时,
每度电0.65元;超过100度时,超出的部分,每度电0.80元.
(3)当x=62时,y=62×0.65=40.3(元);
当y=105时,因为0.65×100=65<105,故x>100,
所以105=0.8x-15,解得x=150.
即若用户月用电62度时,则用户应交费40.3元;若用户月交费105元,
则该用户该月用了150度电.
【解题策略】
分段函数应用问题的两个关注点
(1)应用情境
日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.
(2)注意问题
求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理.
【跟踪训练】
根据统计,一名工人组装第x件产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=
(A,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分
钟,则A的值为________.?
【解析】由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为
=15,
因为该工人组装第4件产品用时30分钟>15分钟,
所以4=30,解得c=60.
所以
=15,解得A=16.
答案:16
课堂检测·素养达标
1.一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到达下一站停车,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶,下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是
( )
【解析】选B.根据题意,知这列火车从静止开始匀加速行驶,所以排除A,D;然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间,排除C.
2.已知函数f(x)=
则f(2)=
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选A.f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1.
3.(教材二次开发:习题改编)国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4
000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4
000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为
( )
A.2
800元
B.3
000元
C.3
800元
D.3
818元
【解析】选C.设纳税额为y元,稿费(扣税前)为x元,
由题意,知纳税额y元与稿费(扣税前)x元之间的函数解析式为
y=
由于此人纳税420元,所以当800000时,则(x-800)×0.14=420,
解得x=3
800,符合题意;
当x>4
000时,0.112x=420,解得x=3
750(舍去),
故这个人应得稿费(扣税前)为3
800元.
4.已知函数f(x)=
若f(x)=3,则x=________.?
【解析】依题意,若x≤0,则x+2=3,解得x=1,
不合题意,舍去;
若0(舍去)或x=
.
答案:
5.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则
=________.?
【解析】由题图可知,函数f(x)的解析式为f(x)=
所以
所以
答案:(共2张PPT)
5.2 函数的表示方法
(共47张PPT)
第1课时 函数的表示方法
必备知识·自主学习
导思
在初中我们学习了哪些表示函数的方法?
1.表示函数的三种方法
解析法
用_____来表示两个变量之间的函数关系
列表法
用_____来表示两个变量之间的函数关系
图象法
用_____表示两个变量之间的函数关系
2.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.
等式
列表
图象
【思考】
函数的三种表示方法各有哪些优缺点?
提示:
表示
方法
优点
缺点
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图象法
能从整体上形象直观地表示出函数的变换情况
只能近似地求出函数值,而且有时误差较大
解析法
便于用解析式研究函数的性质
不够形象、直观,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用图象法表示出来.
( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示出来.
( )
(3)函数的图象一定是连续不断的曲线.
( )
提示:(1)×.如函数f(x)=
就不能画出函数的图象.
(2)×.如时间与空气质量指数的函数关系就无法用解析法表示.
(3)×.如y=
的图象就是不连续的曲线.
2.已知函数f(x)的图象如图所示,其中点A,B的坐标分别为(0,3),(3,0),则f(f(0))=
( )
A.2
B.4
C.0
D.3
【解析】选C.结合题图可得f(0)=3,则f(f(0))=f(3)=0.
3.(教材二次开发:例题改编)某商场新进了10台彩电,每台售价3
000元,试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系,用解析法表示y=________.?
【解析】用解析法表示y=3
000x,x∈{1,2,3,…,10}.
答案:3
000x,x∈{1,2,3,…,10}
关键能力·合作学习
类型一 函数的表示方法(数学建模)
【题组训练】
1.已知x∈Q时,f(x)=1;x为无理数时,f(x)=0,我们知道函数表示法有三种:①列表法,②图象法,③解析法,那么该函数y=f(x)应用________表示(填序号).?
2.某问答游戏的规则是:共5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.
【解析】1.因为Q和无理数的元素无法具体表示,
所以①列表法,②图象法,都无法建立x和y之间的对应关系,所以不能表示
函数y=f(x).
③利用解析法表示为f(x)=
答案:③
2.(1)列表法,列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为:
x
0
1
2
3
4
5
y
50
40
30
20
10
0
(2)图象法,画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系如图:
(3)解析法,参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为:y=50-10x,x∈{0,1,2,3,4,5}.
【解题策略】关于函数的三种表示方法
三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系,各有优缺点,在解题的过程中,可以选取最适合的方法表示函数.
【补偿训练】
某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的
站数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价
1
1
1
2
2
2
3
3
3
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
【解析】设票价为y元,行进的站数为x,
解析法:
y=
图象法:
类型二 函数的图象及其应用(直观想象)
【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y=
的图象的大致形状是
( )
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图.
(2)根据图象写出f(x)的值域.
【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断.
2.先作出图象,再根据图象写值域.
【解析】1.选C.函数的定义域为{x|x≠0},
当x>0时,y=
=-x;
当x<0时,y=
=x,则对应的图象为C.
2.(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],
即f(x)的值域是[-1,3].
【解题策略】画函数图象的两种常见方法
(1)描点法:
一般步骤:
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;
②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.
【跟踪训练】作出下列函数的图象并写出其值域.
(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}.
(2)y=
,x∈[2,+∞).
【解析】(1)列表
x
-2
0
1
3
y
2
0
-1
-3
函数图象只是四个点(-2,2),(0,0),(1,-1),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.
(2)列表
x
2
3
4
…
y
1
…
当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=
的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些?
提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.
(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.
(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称.
(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象沿y轴对折而成.
(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.
【拓展训练】
已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(|x|)的图象为
( )
【解析】选B.函数y=f(|x|)=
,x≥0时,函数y=f(|x|)的图象与
函数y=f(x)的图象相同,当x<0时,f(x)的图象与x>0时的图象关于y轴对称.
所以函数y=f(|x|)的图象为:
.
类型三 求函数的解析式(逻辑推理、数学运算)
角度1 待定系数法?
【典例】一辆中型客车的营运总利润y(单位:万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如表所示,要使总利润达到最大值,则该客车的营运年数是________,营运10年的总利润是________万元.?
x/年
4
6
8
…
y是x的二次函数
7
11
7
…
【思路导引】由一元二次函数的对称性可得最大值时的年数;求出函数的解析式,计算营运10年的总利润.
【解析】由表格数据可知,f(4)=f(8)=7.f(6)>f(8),则二次函数开口向下,且对称轴为x=6,根据二次函数的性质可知,当x=6时,营运总利润y最大为11;设y=a(x-6)2+11,则a(4-6)2+11=7,解得a=-1,所以当x=10时,y=-5.
答案:6 -5
角度2 代入法?
【典例】若
则f(x)=________.?
【思路导引】令t=1+
,换元求解析式.
【解析】设t=1+
,则t≠1,
=t-1,
因为
所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,
所以f(x)=x2-2x,(x≠1).
答案:x2-2x,(x≠1)
【变式探究】
本例中若已知
(x>0),试求函数的解析式及定义域.
【解析】因为
=
-2,
令t=x+
,所以f(t)=t2-2,
因为x>0,所以t=x+
≥2
=2,
当且仅当x=1时等号成立,所以f(x)=x2-2(x≥2).
角度3 解方程组法?
【典例】(2020·秦淮高一检测)已知2f(x)+f(
)=3x,求f(x).
【思路导引】用
替换x,代入后消去f(
).
【解析】因为2f(x)+f(
)=3x,
用
替换x得2f(
)+f(x)=
,
消去f(
)得3f(x)=6x-
,所以f(x)=2x-
.
【解题策略】
1.待定系数法求解析式
根据已知的函数类型,设出函数的解析式,再根据条件求系数,常见的函数设法:
正比例函数
y=kx,k≠0
反比例函数
y=
,k≠0
一元一次函数
y=kx+b,k≠0
一元二次函数
一般式:y=ax2+bx+c,a≠0
顶点式:y=a(x-h)2+k,a≠0
两点式:y=a(x-x1)(x-x2),a≠0
2.换元法求函数的解析式
已知复合函数f(g(x))的解析式,令t=g(x),
当x比较容易解出时,可以解出x换元代入;
当x不容易解出时,可以考虑先构造,
如f(1+
)=x2+
=(x+
)2-2,令t=x+
,换元代入.
换元法还要注意换元t的范围.
3.解方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法),适用于自变量具有对称规律的函数表达式,如互为相反数的f(-x),f(x)的函数方程,通过对称规律再构造一个关于f(-x),f(x)的方程,联立解出f(x).
【题组训练】
1.已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例
函数,且φ(
)=16,φ(1)=8,则φ(x)的解析式为________.?
【解析】设f(x)=mx(m≠0),
g(x)=
(n≠0),所以φ(x)=mx+
,
由φ(
)=16,φ(1)=8得
解得
故φ(x)=3x+
,x≠0.
答案:φ(x)=3x+
,x≠0
2.已知f(
)=
,那么f(x)=________,定义域为________.?
【解析】由f(
)=
可知,函数的定义域为{x|x≠0,x≠-1},
用
替换x,代入上式得:f(x)=
答案:
{x|x≠0,x≠-1}
3.已知f(x)+2f(-x)=
,求f(x).
【解析】因为f(x)+2f(-x)=
,①
用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-
,②
②×2-①得3f(x)=-
-
=-
,
所以f(x)=-
.
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f(
)+x,则f(x)的解析式为________.?
【解析】因为f(x)=2f(
)+x,用
替换x得f(
)=2f(x)+
,
代入上式得f(x)=
解得f(x)=
.
答案:f(x)=
课堂检测·素养达标
1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,
下列说法中错误的是
( )
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13℃
D.这天21时的温度是30℃
【解析】选C.这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14(℃).
2.已知函数f(x)满足:f(
)=8x2-2x-1,则f(x)=
( )
A.2x4+3x2
B.2x4-3x2
C.4x4+x2
D.4x4-x2
【解析】选A.令t=
,t≥0,得x=
,
故有f(t)=8×
-2×
-1,
整理得f(t)=2t4+3t2,即f(x)=2x4+3x2,x≥0.
3.(教材二次开发:复习题改编)已知函数f(x)=x-
,且此函数的图象过点(5,4),则实数m的值为________.?
【解析】因为函数f(x)=x-
的图象过点(5,4),
所以4=5-
,解得m=5.
答案:5
4.(2020·无锡高一检测)已知一次函数f(x)满足条件f(x+1)+f(x)=2x,则函数f(x)的解析式为f(x)=________.?
【解析】设f(x)=kx+b,k≠0,
因为f(x+1)+f(x)=2x,所以k(x+1)+b+kx+b=2x,
即2kx+k+2b=2x,所以
解可得,k=1,b=-
,
所以f(x)=x-
.
答案:x-
5.作出下列函数的图象,并求其值域:
(1)y=1-x(x∈Z,且|x|≤2).
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
【解析】(1)因为x∈Z,且|x|≤2,所以x∈{-2,-1,0,1,2},
所以该函数图象为直线y=1-x上的孤立点(如图①).
由图象知,y∈{-1,0,1,2,3}.
(2)因为y=2(x-1)2-5,所以当x=0时,y=-3;
当x=3时,y=3;当x=1时,y=-5.
因为x∈[0,3),故图象是一段抛物线(如图②).
由图象可知,y∈[-5,3).温馨提示：
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课时素养评价
二十二 分
段
函
数
(15分钟 30分)
1.已知函数f(x)=若f(x)=5,则x的值是
( )
A.-2
B.2或-
C.2或-2
D.2或-2或-
【解析】选A.由题意知,当x≤0时,f(x)=x2+1=5,得x=-2(x=2舍去);
当x>0时,f(x)=-2x=5,得x=-,舍去.
【误区警示】本题容易出现忽视各段自变量的取值对x值的限制,出现错解.
2.函数f(x)=x2-2|x|的图象是
( )
【解析】选C.f(x)=分段画出.
3.已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是
( )
A.{x|x≤1}
B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|x<0}
【解析】选A.当x≥0时,f(x)=1,xf(x)+x≤2?x≤1,所以0≤x≤1;
当x<0时,f(x)=0,xf(x)+x≤2?x≤2,所以x<0.
综上,x≤1.
4.(2020·西城高一检测)因市场战略储备的需要,某公司1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是________(写出所有正确的图标序号).?
【解析】图①③所反映的是公司会挣钱,而图②公司会亏本;
所以反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是①③.
答案:①③
5.已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的简图(不必列表).
(2)求f(f(3))的值.
(3)当-4≤x<3时,求f(x)取值的集合.
【解析】(1)由分段函数可知,函数f(x)的简图为:
(2)因为f(3)=4-32=4-9=-5,
所以f(f(3))=f(-5)=1-2×(-5)=1+10=11.
(3)当-4≤x<0时,1当x=0时,f(0)=2;
当0综上f(x)取值的集合为(-5,9].
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·武汉高一检测)AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示3月1日的AQI指数值为201.则下列叙述不正确的是
( )
A.这12天中有6天空气质量为“优良”
B.这12天中空气质量最好的是3月9日
C.这12天的AQI指数值的中位数是90.5
D.从3月4日到9日,空气质量越来越好
【解析】选C.根据图象:有6天AQI指数小于100,
所以这12天中有6天空气质量为“优良”,所以A叙述正确;这12天中,AQI指数的最小值是3月9日的67,
所以12天中空气质量最好的是3月9日,所以B叙述正确;由图象知,AQI指数值的中位数是=99.5,所以C叙述错误;通过图象可以看出,从3月4日到9日,AQI的值逐渐减小,即空气质量越来越好,所以D叙述正确.
2.已知f(x)=g(x)=3-2x,则f(g(2))=
( )
A.-3
B.-2
C.3
D.-1
【解析】选C.因为g(x)=3-2x,所以g(2)=3-2×2=-1<0,所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.
3.已知f(x)=则f(x)的图象大致为
( )
【解析】选A.由f(2)=-<0,排除选项B;
f=-2+<0,排除选项D;
函数在x=1处是连续的,排除C.
4.(多选题)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是
( )
A.在t1时刻,甲车的速度大于乙车的速度
B.t0时刻后,甲车的速度小于乙车的速度
C.在t0时刻,两车的位置相同
D.在t0时刻,甲车在乙车前面
【解析】BD.由图可知,当时间为t1时,甲车的速度小于乙车的速度;t0时刻之前,甲车的速度一直大于乙车,时间相同的情况下,甲车行驶路程大于乙车行驶路程,故t0时刻甲车在乙车前面;t0时刻后,甲车的速度小于乙车的速度.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·徐州高一检测)若函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是__________.?
【解析】当x≤1时,f(x)≤2+a;
当x>1时,f(x)=(x-a)2+1-a2,
所以①a>1时,f(x)≥1-a2,由于f(x)的值域为R,所以2+a≥1-a2,
解得a∈R,所以a>1;
②a≤1时,f(x)>(1-a)2+1-a2=2-2a,由于f(x)的值域为R,
所以2+a≥2-2a,解得a≥0,所以0≤a≤1,
综上,实数a的取值范围是[0,+∞).
答案:[0,+∞)
【补偿训练】
若函数f(x)=则f(-3)=__________________.?
【解析】f(-3)=f(-3+2)=f(-1)
=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.
答案:6
6.已知函数f(x)=则f(1)=________,若f(f(0))=a,则实数a=________.?
【解析】依题意知f(1)=3+2=5;f(0)=3×0+2=2,则f(f(0))=f(2)=22-2a=a,
求得a=.
答案:5
三、解答题
7.(10分)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|,g(x)=|x-3|.
(1)在平面直角坐标系里作出f(x),g(x)的图象.
(2)?x∈R,用min(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记作min(x)={f(x),g(x)},请用图象法和解析法表示min(x).
(3)求满足f(x)>g(x)的x的取值范围.
【解析】(1)f(x)=
g(x)=
则对应的图象如图:
(2)min(x)图象如图:
解析式为min(x)=
(3)若f(x)>g(x),
则由图象知在A点左侧,B点右侧满足条件.
此时对应的x满足x>0或x<-2,
即不等式f(x)>g(x)的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
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课时素养评价
二十一 函数的表示方法
(15分钟 30分)
1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则此一次函数的解析式为
( )
A.f(x)=-x
B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1
D.f(x)=-x+1
【解析】选D.设f(x)=ax+b(a≠0),
则有
所以a=-1,b=1,所以f(x)=-x+1.
2.已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),则f=
( )
A.15
B.1
C.3
D.30
【解析】选A.令g(x)=,得1-2x=,
解得x=.
所以f=f===15.
3.一次函数g(x)满足g(g(x))=9x+8,则g(x)的解析式是
( )
A.g(x)=9x+8
B.g(x)=3x-2
C.g(x)=-3x-4或g(x)=3x+2
D.g(x)=3x+8
【解析】选C.因为g(x)是一次函数,
所以设g(x)=kx+b(k≠0),
所以g(g(x))=k(kx+b)+b,
又因为g(g(x))=9x+8,所以
解得:或
所以g(x)=3x+2或g(x)=-3x-4.
【光速解题】逐一代入验证是否满足g[g(x)]=9x+8.
4.(2020·南京高一检测)已知f(x)=2x+1,g(x+1)=f(x),则g(x)=__________.?
【解析】依题意,g(x+1)=2x+1=2(x+1)-1,所以g(x)=2x-1.
答案:2x-1
【补偿训练】
已知f(x+1)=x2,则f(x)=________.?
【解析】由f(x+1)=x2,
得到f(x+1)=(x+1-1)2,
故f(x)=(x-1)2.
答案:(x-1)2
5.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求y=f(x)在[-1,1]上的最大值.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,
即解得a=1,b=-1,
又由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=x2-x+1.
(2)由(1)知,函数f(x)=x2-x+1的图象开口方向朝上,以x=为对称轴的抛物线,
故在区间[-1,1]上,当x=-1时,函数取最大值f(-1)=3.
【补偿训练】
设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f(x)的解析式.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0,①
又因为|x1-x2|==2,
所以b2-4ac=8a2,②
又由已知得c=1.③
由①②③解得b=2,a=,c=1,
所以f(x)=x2+2x+1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知f=2x+3,则f(6)的值为
( )
A.15
B.7
C.31
D.17
【解析】选C.令-1=6,则x=14,
则f(6)=2×14+3=31.
2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=
( )
A.x+1
B.x-1
C.2x+1
D.3x+3
【解析】选A.因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,
所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,
解得f(x)=x+1.
3.下表表示y是x的函数,则函数的值域是
( )
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.[2,5]
B.{2,3,4,5}
C.(0,20]
D.N
【解析】选B.由表格可知,y的值为2,3,4,5.
故函数的值域为{2,3,4,5}.
4.(多选题)(2020
·宿迁高一检测)已知f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是
( )
A.f(3)=9
B.f(-3)=4
C.f(x)=x2
D.f(x)=(x+1)2
【解析】选BD.f(2x-1)=(2x-1)2+2(2x-1)+1,故f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,故选项C错误,选项D正确;f(3)=16,f(-3)=4,故选项A错误,选项B正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·淮安高一检测)已知f(+2)=x+4,则f(x)的解析式为____,
f=______.?
【解析】令t=+2,则x=(t-2)2且t≥2,
因为f(+2)=x+4,所以f(t)=t2-4,
则f(x)=x2-4(x≥2),f=-.
答案:f(x)=x2-4(x≥2) -
6.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt
+c(a,b,c是常数),如图记录了三次试验的数据.根据该函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.?
【解析】由题意知,函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数)经过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),
所以
解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812
5,
所以得到最佳加工时间为3.75分钟.
答案:3.75
三、解答题
7.(10分)在未实行大规模绿化造林之前,我国是世界上受荒漠化危害最严重的国家之一,如图1表示我国土地沙化总面积在1950-2000年的变化情况,由图1中的相关信息,试将上述有关年份中,我国从1950-1970、1970-1990、1990-2000年的平均土地沙化面积在图2中表示出来.
【解析】由题图1可知:
1950-1970:土地沙化面积增加了3.2(万平方千米),
年平均沙化面积为:
0.16(万平方千米)=16(百平方千米)
1970-1990:年平均沙化面积为:
0.21(万平方千米)=21(百平方千米)
1990-2000:年平均沙化面积为:
0.25(万平方千米)=25(百平方千米)
如图:
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