(共35张PPT)
第2课时 函数的概念(二)
必备知识·自主学习
导思
什么是同一个函数?
1.同一个函数
前提条件
_______相同
_________相同
结论
这两个函数是同一个函数
定义域
对应关系
【思考】
函数有定义域、对应关系和值域三要素,为什么判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系?
提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系即可.
2.常见的函数的定义域和值域
函数
一次函数
反比例
函数
二次函数
____
____
对应
关系
y=ax+b
(a≠0)
y=
(k≠0)
y=ax2+bx+c
(a≠0)
y=ax2+bx+c
(a≠0)
定义
域
R
{x|x≠0}
R
R
值域
R
{y|y≠0}
a>0
a<0
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)用区间表示集合{x|x≥1}为[1,+∞].
( )
(2)若两个函数的定义域与值域都相同,则这两个函数是同一个函数.
( )
(3)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一个函数.
( )
提示:(1)×.应表示为[1,+∞).
(2)×.例如f(x)=
与g(x)=
的定义域与值域相同,但这两个不是同一个
函数.
(3)√.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域都是R,对应关系完全一致,所以
这两个函数是同一个函数.
2.(教材二次开发:习题改编)函数f(x)=
的定义域为
( )
A.(-∞,-1)∪(-1,3]
B.(-∞,3]
C.(-1,3]
D.(-∞,-1)
【解析】选A.函数f(x)=
令
解得x≤3且x≠-1.
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,3].
3.已知f(x)=x2+1,则f(f(-1))=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.因为f(-1)=(-1)2+1=2,
所以f(f(-1))=f(2)=22+1=5.
关键能力·合作学习
类型一 对应关系的应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】(2020·哈尔滨高一检测)德国数学家狄利克雷在1837年时提出:“如
果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”,这个
定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得x在取值范围中的每一
个值,都有一个确定的y和它对应就行了,不管这个对应的法则是公式、图象、
表格还是其他形式,已知函数f(x)由表给出,则
的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
x
x≤1
1
x≥2
f(x)
1
2
3
【思路导引】由里向外根据对应关系求值.
【解析】选D.因为
∈{x|x≤1},
所以
=1,
则10
=10,所以
=f(10).
又因为10∈{x|x≥2},所以f(10)=3.
【解题策略】关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A,在坐标系中是横坐标x的取值范围.
(2)函数的值域并不是集合B,是函数值的集合{f(x)|x∈A},在坐标系中是纵坐标的取值范围.
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法,通过这种运算对应得到唯一的函数值y.
【跟踪训练】
已知函数f(x),g(x)分别由表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则方程g(f(x))=3的解集为________.?
【解析】根据题意,若方程g(f(x))=3,必有f(x)=1,则有x=1或3,即方程g(f(x))=3的解集为{1,3}.
答案:{1,3}
类型二 判断同一个函数(逻辑推理)
【典例】(2020·丰台高一检测)下列各组函数,是同一个函数的是
( )
A.f(x)=x+1,g(x)=
+1
B.f(x)=x,u=
C.f(x)=1,g(x)=(x-1)0
D.f(x)=
m=|n|
【思路导引】判断定义域、对应关系是否相同.
【解析】选D.对于A,函数f(x)=x+1(x∈R),与g(x)=
+1=x+1(x≠0)的定义域
不同,不是同一个函数;对于B,函数f(x)=x(x∈R),与u=
=|v|(v∈R)的对应
关系不同,不是同一个函数;
对于C,函数f(x)=1(x∈R),与g(x)=(x-1)0=1(x≠1)的定义域不同,不是同一个
函数;
对于D,函数f(x)=
=|x|(x∈R),与m=|n|(n∈R)的定义域相同,对应
关系也相同,是同一个函数.
【解题策略】判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)三个步骤.
(2)两个注意点.
①在化简解析式时,必须是等价变形;
②与用哪个字母表示变量无关.
【跟踪训练】
(2020·宁德高一检测)下列两个函数是同一个函数的是
( )
A.f(x)=x2,g(x)=
B.f(x)=
,g(x)=x0
C.f(x)=
,g(x)=x+1
D.f(x)=
,g(x)=|x|
【解析】选B.A.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为
{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是同一个函数;
B.f(x)=
=1,函数的定义域为{x|x≠0},g(x)=x0=1,定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;
C.f(x)=x+1(x≠1),两个函数的定义域不相同,不是同一个函数.
D.f(x)的定义域为[0,+∞),g(x)的定义域是R,两个函数的定义域和对应关系不相同,不是同一个函数.
类型三 抽象函数的定义域(数学运算)
角度1 已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域?
【典例】函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1)的定义域为________.?
【思路导引】将2x+1代入f(x)的定义域解出x的范围.
【解析】令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1,
所以f(2x+1)的定义域为[-1,1].
答案:[-1,1]
【变式探究】
本例条件不变,试求函数g(x)=
的定义域.
【解析】函数y=f(x)的定义域是[-1,3],
在函数g(x)=
中,
令
解得0≤x<2,
所以g(x)的定义域是[0,2).
角度2 已知f(g(x))的定义域求f(x)的定义域?
【典例】若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是
( )
A.[-1,1]
B.[-5,13]
C.[-5,1]
D.[-1,13]
【思路导引】由x的范围求出3x+1的范围.
【解析】选B.函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],
令-2≤x≤4,则-6≤3x≤12,所以-5≤3x+1≤13,
所以函数y=f(x)的定义域是[-5,13].
【解题策略】抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域.
【题组训练】
1.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],则y=f(x)的定义域是
( )
A.
[
,
1]
B.[-3,3]
C.[-1,5]
D.以上都不对
【解析】选B.函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],
即-1≤x≤2,所以-4≤-2x≤2,
所以-3≤-2x+1≤3,
所以y=f(x)的定义域是[-3,3].
2.(2020·宿州高一检测)若函数y=f(x+1)的定义域是[-1,1],则函数
g(x)=
的定义域是
( )
A.
B.
C.[0,1)∪(1,4]
D.(0,1]
【解析】选D.由函数y=f(x+1)的定义域是[-1,1],
得-1≤x≤1,所以0≤x+1≤2,
所以函数f(x)的定义域为[0,2];
函数g(x)=
中令
解得0所以函数g(x)的定义域是(0,1].
【补偿训练】
已知函数f(x+1)的定义域是[0,2],则函数f(2x+1)的定义域是
( )
A.[1,3]
B.[-1,1]
C.[0,3]
D.[0,1]
【解析】选D.函数f(x+1)的定义域是[0,2],
令0≤x≤2,得1≤x+1≤3,
所以f(x)的定义域是[1,3];
令1≤2x+1≤3,解得0≤x≤1,
所以函数f(2x+1)的定义域是[0,1].
课堂检测·素养达标
1.(2020·西城高一检测)函数f(x)=
的定义域是
( )
A.R
B.{x|x>2}
C.{x|x≥1}
D.{x|x≥1且x≠2}
【解析】选D.函数f(x)=
中,
令
解得x≥1且x≠2,
所以函数f(x)的定义域是{x|x≥1且x≠2}.
2.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是
( )
A.1
B.0
C.-1
D.2
【解析】选A.因为f(x)=ax2-1,所以f(-1)=a-1,
f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1.
所以a(a-1)2=0.
又因为a为正数,所以a=1.
3.已知函数f(x)=-x2-2x,则f(a-1)=__________.?
【解析】f(a-1)=-(a-1)2-2(a-1)
=-a2+1.
答案:-a2+1
4.(教材二次开发:习题改编)已知函数f(x)=
,则f(2)+
=________,f(3)+
=________.?
【解析】因为函数f(x)=
,
所以f(2)+
=
f(3)+
=
答案:1 1
5.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则f(2x)的定义域是__________.?
【解析】令0≤2x≤2,得0≤x≤1,
所以f(2x)的定义域为[0,1].
答案:[0,1]温馨提示：
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课时素养评价
十八 函数的概念(一)
(15分钟 30分)
1.已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是
( )
A.f:x→y=x
B.f:x→y=x
C.f:x→y=x
D.f:x→y=x
【解析】选D.对于A中的任意一个元素,在对应关系f:x→y=x;f:x→y=x;
f:x→y=x下,在B中都有唯一的元素与之对应,故能构成函数关系.对于A中的元素8,在对应关系f:x→y=x下,在B中没有元素与之对应,故不能构成函数关系.
2.(2020·朝阳高一检测)函数f(x)=的定义域为
( )
A.{x|x≤2或x≥3}
B.{x|x≤-3或x≥-2}
C.{x|2≤x≤3}
D.{x|-3≤x≤-2}
【解析】选A.由x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3,所以函数f(x)=的定义域为{x|x≤2或x≥3}.
3.函数f(x)=的定义域为
( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞)
D.[2,3)∪(3,+∞)
【解析】选C.函数f(x)=中,解得x>2且x≠3;
所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).
4.已知集合M={x,y,z},N={-1,1},则从M到N的函数中,满足f(x)=1的有______个.?
【解析】由题意满足f(x)=1的有
共4个.
答案:4
5.求下列函数的值域.
(1)f(x)=.
(2)y=2x2+4x-3.
【解析】(1)函数的定义域为R,
f(x)==≤=2,
且f(x)>0,所以其值域为(0,2].
(2)因为y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5≥-5,
故函数y=2x2+4x-3的值域为{y|y≥-5}.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为同族函数.那么与函数y=x2,x∈{-1,0,1,2}为同族函数的有
( )
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
【解析】选D.由题意知同族函数是只有定义域不同的函数,函数解析式为y=x2,值域为{0,1,4}时,
定义域中,0是肯定有的,正负1,至少含一个,正负2,至少含一个.它的定义域可以是{0,1,2},{0,1,-2},{0,-1,2},{0,-1,-2},{0,1,-2,2},
{0,-1,-2,2},{0,1,-1,-2},{0,1,-1,2,-2},共有8种不同的情况.
2.(2020·启东高一检测)函数f(x)=的定义域为
( )
A.
B.
C.(-∞,-2)∪
D.(-∞,-2)∪
【解析】选C.由
解得x≤且x≠-2.
所以函数f(x)=的定义域为(-∞,-2)∪.
3.已知f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,那么f(72)=
( )
A.p+q
B.3p+2q
C.2p+3q
D.p3+q2
【解析】选B.因为f(ab)=f(a)+f(b),
所以f(9)=f(3)+f(3)=2q,
f(8)=f(2)+f(2)+f(2)=3p,
所以f(72)=f(8×9)=f(8)+f(9)=3p+2q.
4.(多选题)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应关系,请由函数定义判断,其中能构成从M到N的函数的是
( )
A.y=
B.y=x+1
C.y=2|x|
D.y=x2
【解析】选CD.在A中,当x=-1时,y=-1?N,故A错误;
在B中,当x=-1时,y=-1+1=0?N,故B错误;
在C中,任取x∈M,总有y=2|x|∈N,故C正确;
在D中,任取x∈M,总有y=x2∈N,故D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设函数f(x)=x0+,则其定义域为________.?
【解析】函数f(x)=x0+,
则解得-3≤x≤3且x≠0.
所以函数f(x)的定义域是[-3,0)∪(0,3].
答案:[-3,0)∪(0,3]
6.函数y=的定义域为R,则a∈________.?
【解析】因为任意x∈R,根式恒有意义,
所以ax2+ax+1≥0的解集为R,
①a=0时,1≥0恒成立;
②a≠0时,
解得0综上得,a∈{a|0≤a≤4}.
答案:{a|0≤a≤4}
三、解答题
7.(10分)已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N
,k∈N
,x∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a,k,A,B.
【解析】根据对应关系f,有1→4;2→7;3→10;k→3k+1.
若a4=10,则a?N
,不符合题意,舍去;
若a2+3a=10,则a=2(a=-5不符合题意,舍去).
故3k+1=a4=16,得k=5.
综上a=2,k=5,集合A={1,2,3,5},
B={4,7,10,16}.
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PAGE(共2张PPT)
第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象 (共34张PPT)
第3课时 函数的图象
必备知识·自主学习
导思
1.什么是函数的图象?
2.怎样作出函数的图象?
函数的图象
(1)定义:将自变量的一个值x0作为_______,相应的___________作为纵坐标,
就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个
值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
(2)集合表示:所有这些点组成的集合(点集)为________________,
即____________________.
(3)本质:函数对应的图形,即几何意义.
横坐标
函数值f(x0)
{(x,f(x))|x∈A}
{(x,y)|y=f(x),x∈A}
【思考】
集合{x|y=f(x),x∈A}、{y|y=f(x),x∈A}能表示函数的图象吗?为什么?
提示:不能.上述两个集合都是数集,不是点集.因此不能表示函数的图象.第一个集合表示函数的定义域,第二个集合表示函数的值域.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)已知函数y=f(x),x∈A,若x0?A,则点(x0,f(x0))一定不在函数的图象
上.
( )
(2)直线x=a和函数y=f(x),x∈[m,n]的图象有1个交点.
( )
(3)函数的图象一定是连续的.
( )
提示:(1)√.因为x0?A,所以点(x0,f(x0))不在函数的图象上.
(2)×.当a?[m,n]时,直线x=a和函数y=f(x),x∈[m,n]的图象没有交点.
(3)×.函数的图象也可能是离散的点.
2.(多选题)下列坐标系中的曲线或直线,能作为函数y=f(x)的图象的有
( )
【解析】选BD.能作为函数的图象,必须符合函数的定义,即定义域内的每一个
x只能有唯一的y与x对应,故BD可以,AC不可以.
3.(教材二次开发:练习改编)函数y=x+1,x∈Z,且|x|<2的图象是________.(填序号)?
【解析】由题意知,函数的定义域是{-1,0,1},值域是{0,1,2},函数的图象是三个点,故③正确.
答案:③
关键能力·合作学习
类型一 作函数的图象(直观想象)
【题组训练】
1.方程x+
=0所表示的图形是
( )
2.作出下列函数图象:
(1)f(x)=x-2(x∈(-1,4]);
(2)f(x)=x2-2x+2(x∈{-2,-1,0,1}).
【解析】1.选D.因为x+
=0,所以
=-x,由此可以得到y≥0,x≤0,所以y=x2(x≤0),于是可以得到A,B,C不符合,只有D符合.
2.(1)描点作出图象,如图所示:
(2)描点作出图象,如图所示:
【解题策略】关于作函数的图象的关注点
(1)作函数的图象首先要关注函数的定义域,定义域未知的要先求定义域.函数的定义域有全体实数、定区间、离散的实数集几种.如果函数的定义域是离散的实数集,则函数的图象是由离散的点构成的.
(2)其次要关注函数的类型,如一元一次函数、一元二次函数、反比例函数等.如作一元二次函数的图象时,需要注意图象的开口、对称轴.取点的时候要全面.
【补偿训练】
作出函数y=x2+x(-1≤x≤1)的图象.
【解析】描点作出图象,如图所示:
类型二 函数图象的简单应用(直观想象)
角度1 利用函数的图象求值
【典例】(2020·台州高一检测)已知函数f(x)的图象是如图所示的曲线OAB,
其中O(0,0),A(1,2),B(3,1),则
=________.?
【思路导引】先求f(3),再求
.
【解析】由题图可知,f(3)=1,
=1,
=f(1)=2.
答案:2
【变式探究】
若本例中的函数图象变为
,
则f{f[f(2)]}=________.?
【解析】由题意可知f(2)=0,f(0)=4,f(4)=2.
因此,f{f[f(2)]}=f[f(0)]=f(4)=2.
答案:2
角度2 利用函数的图象比较大小?
【典例】画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题.
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小;
(2)若x1【思路导引】(1)根据函数f(x)=-x2+2x+3求出f(0)、f(1)、f(3)的值,描出相应的点,观察图象比较大小.
(2)观察函数的图象,判断函数值的大小.
【解析】(1)函数图象如图(1)所示.
可见f(0)=f(2),f(1)>f(2)>f(3),
所以f(1)>f(0)>f(3).
(2)如图(2)所示.
当x1【解题策略】
关于函数图象的简单应用
函数图象上的点为(x0,f(x0)),横坐标x0对应唯一的纵坐标(函数值),因此可以利用函数的图象求值.也可以根据图象上点的高低比较函数值的大小.
【题组训练】
如图,函数f(x)的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点.
(1)
(用“>,=,<”填空);
(2)若4【解析】(1)由函数图象可知
所以
答案:>
(2)根据函数的图象容易发现,
当4f(x1)>f(x2).
类型三 函数图象的平移变换(直观想象)
【典例】在初中我们学习过反比例函数y=
(x≠0),能否利用反比例函数
的图象用平移的方法作出y=2+
的图象.
【思路导引】y=2+
可以看作y=
先向右移动一个单位,再向上移动2个单位得到.
【解析】如图所示:
【解题策略】
函数图象平移的规则
(1)对于函数图象左右的平移,遵循自变量“左加右减”,即自变量加向左平移,自变量减向右平移;
(2)对于函数图象上下的平移,遵循函数值“上加下减”,即函数值加向上平移,函数值减向下平移.
【跟踪训练】
1.函数y=1-
的图象是
( )
【解析】选A.函数y=1-
=
+1,此函数的图象可以看成由反比例函数
y=
先向右平移1个单位得函数y=
的图象,再向上平移1个单位得函数
y=
+1的图象,反比例函数y=
的图象在二、四象限,两支都是增函数.
2.把f(x)=2x2+x-1的图象向右平移一个单位长度,再向下平移一个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)=________.?
【解析】由题意知g(x)=f(x-1)-1=2(x-1)2+(x-1)-1-1=2x2-3x-1.
答案:2x2-3x-1
课堂检测·素养达标
1.函数y=x0的图象是
( )
【解析】选B.因为函数y=x0的定义域为{x|x≠0},所以排除A,C.又y=x0=1,所以排除D.
2.函数y=
的大致图象只能是
( )
【解析】选B.函数y=
的大致图象由y=
的图象向左平移2个单位得到.
3.(教材二次开发:习题改编)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点为(4,0),
且过点(0,2),则abc等于
( )
A.-6
B.11
C.-
D.
【解析】选C.因为二次函数的图象过(4,0),
所以16a+4b+c=0.①又过点(0,2),所以c=2.②
由顶点坐标为(4,0)可知x=-
=4.③
由①②③可解得a=
,b=-1,c=2,所以abc=-
.
4.若函数y=f(x)的图象经过点(0,1),那么函数y=f(x+4)的图象经过点________.?
【解析】y=f(x+4)可以认为把y=f(x)向左移了4个单位,由y=f(x)经过点(0,1),易知f(x+4)经过点(-4,1).
答案:(-4,1)温馨提示：
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课时素养评价
十九 函数的概念(二)
(15分钟 30分)
1.与函数y=2x2+1不是同一个函数的是
( )
A.y=|x2|+|x2+1|
B.y=
C.y=|2x2+1|
D.y=
【解析】选D.函数y=2x2+1的定义域为R,值域为[1,+∞),选项A中的函数y=|x2|+|x2+1|=x2+x2+1=2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;
选项B中的函数即y==2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;
选项C中的函数y=|2x2+1|=2x2+1,它的定义域为R,值域为[1,+∞),和已知函数为同一个函数;
选项D中的函数的定义域为{x|x≠-1},故它和已知函数不是同一个函数.
2.(2020·哈尔滨高一检测)下列函数中,表示同一个函数的是
( )
A.y=x2与y=()4
B.y=x2与y=t2
C.y=与y=
D.y=·与y=
【解析】选B.A.y=x2的定义域为R,y=()4的定义域为[0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;
B.y=x2与y=t2显然是同一个函数;
C.y=的定义域为{x|x≠0},y=的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;
D.y=·的定义域为[1,+∞),y=的定义域为(-∞,-1]∪
[1,+∞),定义域不同,不是同一个函数.
3.(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)
=f+f(x-2)的定义域为
( )
A.(0,2)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(-1,1)
【解析】选B.函数f(x)的定义域为(-1,1),则对于函数g(x)=f+f(x-2),
应有解得1故g(x)的定义域为(1,2).
4.(2020·宜春高一检测)已知函数f(x)的定义域为A={1,2,3,4},值域为B={7,8,9},且对任意的x【解析】如图,满足条件的函数共有3个.
答案:3
5.(2020·同仁高一检测)已知f(x)=(x∈R,x≠-2),g(x)=x2+1(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值.
(2)求f(g(3))的值.
(3)作出f(x),g(x)的图象,并求函数的值域.
【解析】(1)f(2)==,g(2)=22+1=5.
(2)f(g(3))=f(32+1)=f(10)==.
(3)作出图象如图,
则f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的值域为[1,+∞).
【补偿训练】
已知f(x)=(x∈R,x≠2),g(x)=x+4(x∈R).
(1)求f(1),g(1)的值.
(2)求f(g(x)).
【解析】(1)f(1)==1,g(1)=1+4=5.
(2)f(g(x))=f(x+4)==
=-(x∈R,且x≠-2).
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若f(x)=2x-1,则f(f(x))=
( )
A.2x-1
B.4x-2
C.4x-3
D.2x-3
【解析】选C.因为f(x)=2x-1,
所以f(f(x))=2f(x)-1=2(2x-1)-1=4x-3.
2.若函数y=f(x)的定义域为{x|0A.(0,1)
B.(1,2)
C.∪
D.(1,3)
【解析】选C.函数y=f(x)的定义域为{x|0则对于函数y=f(|2x-3|),
应有0<|2x-3|<1,即-1<2x-3<1,
且2x-3≠0,解得13.函数f(x)对于任意实数x均满足f(x+2)=-f(x),若f(1)=-5,则f(f(9))=
( )
A.2
B.5
C.-5
D.-
【解析】选B.因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=f(x),
所以f(f(9))=f(f(1))=f(-5),
因为f(x)=-f(x+2),
所以f(-5)=-f(-3)=f(-1)=-f(1)=5.
4.(多选题)(2020·济南高一检测)下列各组函数是同一个函数的是
( )
A.f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1
B.f(x)=与g(x)=x
C.f(x)=与g(x)=
D.f(x)=x与g(x)=
【解析】选AC.对于A,f(x)=x2-2x-1的定义域为R,g(s)=s2-2s-1的定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;
对于B,f(x)==-x的定义域为{x|x≤0},g(x)=x的定义域为{x|x≤0},对应关系不同,不是同一个函数;对于C,f(x)==1的定义域为{x|x≠0},
g(x)==1的定义域为{x|x≠0},定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;
对于D,f(x)=x的定义域为R,g(x)==|x|的定义域为R,对应关系不同,不是同一个函数.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则函数y=f(x)的定义域为________,
y=f(2x)+的定义域为________.?
【解析】因为y=f(x+1)的定义域是[-2,3],
所以-2≤x≤3,则-1≤x+1≤4,
即函数f(x)的定义域为[-1,4].
由得
得-答案:[-1,4]
6.一个变量y随另一变量x变化.对应关系是“2倍加1”:
(1)填表.
x
…
1
2
3
4
…
y
…
…
(2)根据表格填空:x=2α时,y=________.?
(3)写出解析式:y=________.?
【解析】因为变量y随另一变量x变化,对应关系是“2倍加1”:
(1)完整的表格如表所示:
x
…
1
2
3
4
…
y
…
3
5
7
9
…
(2)根据表格填空:x=2α时,y=2×2α+1=4α+1.
(3)函数的解析式:y=2x+1.
答案:(1)3 5 7 9 (2)4α+1 (3)2x+1
三、解答题
7.(10分)已知函数f(x)=+的定义域为集合A,B={x|x(1)求集合A;
(2)若A?B,求a的取值范围;
(3)若全集U={x|x≤4},a=-1,求UA及A∩(UB).
【解析】(1)使有意义的实数x的集合是{x|x≤3},
使有意义的实数x的集合是{x|x>-2}.
所以,这个函数的定义域是{x|x≤3}∩{x|x>-2}={x|-2即A={x|-2(2)因为A={x|-23.
即a的取值范围为(3,+∞).
(3)因为U={x|x≤4},A={x|-2所以UA=(-∞,-2]∪(3,4].
因为a=-1,所以B={x|x<-1},
所以UB=[-1,4],
所以A∩(UB)=[-1,3].
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课时素养评价
二十 函数的图象
(15分钟 30分)
1.(2020·朝阳高一检测)图中,能表示函数y=f(x)的图象的是
( )
【解析】选D.根据题意,对于A,B两图,可以找到一个x与两个y对应的情形;对于C图,当x=0时,有两个y值对应;对于D图,每个x都有唯一的y值对应.因此,D图可以表示函数y=f(x).
2.已知函数f(x)=x-,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.将点(5,4)代入f(x)=x-,得m=5.
3.将反比例函数y=(k为非零常数)的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得的图象过点(-3,1),则k=________.?
【解析】将反比例函数y=(k为非零常数)的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,平移后的函数为y=-2,根据所得的图象过点(-3,1),则-2=1,所以k=-6.
答案:-6
4.若函数y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8且x≠5},值域为{y|-1≤y≤2且y≠0},则y=f(x)的图象可能是________(填序号).?
【解析】①中函数的值域为{y|-1≤y<2},不满足条件,③中图象出现了一个x对多个y的情况,不满足函数的定义.只有②符合条件.
答案:②
5.作出下列函数的图象.
(1)y=(-2≤x≤2,且x≠0);
(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
【解析】(1)描点作出图象,如图所示.
(2)因为x∈[0,3),所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x在0≤x<3之间的一段弧,描点作出图象,
如图所示.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知函数y=ax2+b的图象如图所示,则a和b的值分别为
( )
A.0,-1 B.1,-1 C.1,0 D.-1,1
【解析】选B.由图象可知,当x=1时,y=0;
当x=0时,y=-1,即解得
2.如图所示,函数y=x+的图象是
( )
【解析】选C.对于y=x+,当x>0时,y=x+1,当x<0时,y=x-1,
即y=故图象为C.
3.函数y=-x2+2x与函数y=1(x∈R)的图象的公共点个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.在同一坐标系里画出两函数的图象(图略)可知有一个交点.
4.(多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论,其中正确的是
( )
A.b2>4ac
B.2a-b=1
C.a-b+c=0
D.5a【解析】选AD.因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确.对称轴为x=-1,-=-1,2a-b=0,B错误.结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误.由对称轴为x=-=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a二、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数y=-3x2+bx+c的图象是由函数y=-3x2+6x+1的图象向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度得到的,则b=________,c=________.?
【解析】y=-3x2+6x+1=-3(x-1)2+4向上平移3个单位,得y=-3(x-1)2+7,再向左平移2个单位,得y=-3(x-1+2)2+7=-3x2-6x+4=-3x2+bx+c,比较系数得b=-6,c=4.
答案:-6 4
【补偿训练】
如图所示某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象,根据图象回答下列问题:
(1)在这个月中,日最低营业额是在4月________日,达到________万元.?
(2)这个月中最高营业额是在4月________日,达到________万元.?
【解析】(1)由图象可知当日期在9日时,日营业额最小,此时为2万元.
(2)由图象可知当日期在21日时,日营业额最大,此时为6万元.
答案:(1)9 2 (2)21 6
6.已知二次函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m+1)与0的大小关系是________.?
【解析】因为二次函数f(x)=x2+x+a(a>0)的对称轴是x=-,且图象与y轴正半轴相交,所以由图象可知f(x)<0的解集的区间长度小于1,故若f(m)<0,则必有f(m+1)>0.
答案:f(m+1)>0
三、解答题
7.(10分)函数y=f(x)的图象如图所示.
(1)比较f,f,f的大小;
(2)若-1【解析】(1)根据函数的图象,容易发现,f(2)根据函数的图象,容易发现若-1f.
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第1课时 函数的概念(一)
必备知识·自主学习
导思
初中学习过用函数来刻画两个变量之间的对应关系,那么函数还有没有其他的定义方法?
函数
(1)概念:
①定义:一般地,给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集
合A中的每一个实数x,在集合B中都有_____的实数y和它对应,那么就称f:A→B
为从集合A到集合B的一个函数.
②记法:y=f(x),x∈A.
③定义域:x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域;
值域:所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.
(2)本质:函数的集合定义.
唯一
【思考】
1.对于函数f:A→B,值域一定是集合B吗?为什么?
提示:不一定.值域是集合B的子集.
2.对应关系f必须是一个解析式的形式吗?为什么?
提示:不一定.可以是数表,也可以是图象.
3.f(x)的含义是什么?
提示:集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”.
( )
(2)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )
(3)在研究函数时,除用符号f(x)外,还可用g(x),F(x),G(x)等来表示
函数.
( )
提示:(1)×.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象.
(2)×.根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一的y与之对应.
(3)√.同一个题中,为了区别不同的函数,常采用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是
( )
A.出租车车费与出租车行驶的里程
B.商品房销售总价与商品房建筑面积
C.铁块的体积与铁块的质量
D.人的身高与体重
【解析】选D.A.出租车车费与行程是函数关系;B.商品房销售总价与建筑面积是函数关系;C.铁块的体积与质量是函数关系;D.人的身高与体重不是函数关系.
3.(教材二次开发:练习改编)如图能表示函数关系的是________.?
【解析】由于③中的2与1和3同时对应,故③不是函数关系.
答案:①②④
关键能力·合作学习
类型一 函数的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.以下从M到N的对应表示函数的是
( )
A.M=R,N={y|y>0},f:x→y=|x|
B.M={x|x≥2,x∈N
},N={y|y≥0,y∈N
},f:x→y=x2-2x+2
C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
D.M=R,N=R,f:x→y=
2.已知A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列对应关系中可以看作是从A到B的函数关系的是____(填序号).?
①f:x→y=
;②f:x→y=
;
③f:x→y=x;④f:x→y=2x.
【解析】1.选B.A中,M=R,N={y|y>0},f:x→y=|x|,
M中元素0,在N中无对应的元素,不满足函数的定义;
B中,M={x|x≥2,x∈N
},N={y|y≥0,y∈N
},
f:x→y=x2-2x+2,M中任一元素,在N中都有唯一的元素与之对应,满足函数的定
义;C中,M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
,M中任一元素,在N中都有两个对应的元
素,不满足函数的定义;D中M=R,N=R,f:x→y=
,M中元素0,在N中无对应的元素,
不满足函数的定义.
2.①f:x→y=
中,对任意x∈A={x|0≤x≤4},在B={y|0≤y≤2}中都存在唯一的元素与之对应,满足函数的定义;
②f:x→y=
中,对任意x∈A={x|0≤x≤4},在B={y|0≤y≤2}中都存在唯一的元素与之对应,满足函数的定义;
③f:x→y=x中,当2④f:x→y=2x中,当1故可以看作是从A到B的函数关系的是①②.
答案:①②
【解题策略】
判断一个对应是否是函数的方法
类型二 求函数的定义域(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·合肥高一检测)函数f(x)=
的定义域是
( )
A.(-∞,3]
B.
C.
D.(3,4)∪(4,+∞)
2.函数f(x)=
的定义域为________.?
3.(2020·南通高一检测)函数f(x)=
的定义域是________.?
【解析】1.选C.要使函数有意义,
则
得
得x≤3且x≠
,
即函数的定义域为
2.要使f(x)有意义,则
解得x≥1,
所以f(x)的定义域为[1,+∞).
答案:[1,+∞)
3.由
解得:x≤3,且x≠±2.
所以函数f(x)=
的定义域是
{x|x≤3且x≠±2}.
答案:{x|x≤3且x≠±2}
【解题策略】
关于函数定义域的求法
(1)依据:分式分母不为0,二次根式的被开方数不小于0,0次幂的底数不为0等.
(2)如果解析式中含有多个式子,则用大括号将x满足的条件列成不等式组,解出各个不等式后求交集.
【补偿训练】
函数f(x)=
的定义域是
( )
A.R
B.[-1,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.[-1,0)∪(0,+∞)
【解析】选D.函数f(x)=
中,
令
解得
所以函数f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).
类型三 求函数的值域(数学运算)
【典例】1.函数f(x)=2x-1,x∈{-1,1},则f(x)的值域为
( )
A.[-3,1)
B.(-3,1]
C.[-3,1]
D.{-3,1}
2.函数y=x2+2x-2的值域是__________.?
3.(2020·浦东高一检测)函数f(x)=
(x>6)的值域为________.?
【思路导引】1.代入x的值求函数值;
2.配方求值域;
3.利用基本不等式求值域.
【解析】1.选D.f(-1)=-2-1=-3,
f(1)=2-1=1,所以该函数的值域为{-3,1}.
2.y=x2+2x-2=(x+1)2-3≥-3,
所以该函数的值域是[-3,+∞).
答案:[-3,+∞)
3.f(x)=
当且仅当x-6=
,即x=6+3
时取等号.
答案:[6
+16,+∞)
【解题策略】
关于函数值域的求法
(1)若函数的定义域是列举法给出的集合,则将x的值一一代入函数的解析式,求出函数值即可得到值域;
(2)对于一元二次函数则采用配方法,注意开口方向对值域的影响;
(3)符合基本不等式条件的函数式,则采用基本不等式法,注意等号成立的条件.
【跟踪训练】
1.函数f(x)=x2+1,x∈{-2,-1,0,1,2},则函数的值域为________.?
【解析】由f(x)=x2+1,x∈{-2,-1,0,1,2},
得f(-2)=5,f(-1)=2,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,
所以函数的值域为{1,2,5}.
答案:{1,2,5}
2.函数y=-x2+x+2的值域为__________.?
【解析】y=-x2+x+2=
所以函数的值域为
答案:
课堂检测·素养达标
1.对于函数f:A→B,若a∈A,b∈A,则下列说法错误的是
( )
A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)=f(b),则a=b
D.若a=b,则f(a)=f(b)
【解析】选C.对于函数f:A→B,a∈A,b∈A,则根据函数的定义,f(a)∈B,且f(a)唯一,故若a=b,则a,b代表集合A中同一个元素,这时,有f(a)=f(b),故A,B,D都对.但若f(a)=f(b),则不一定有a=b,如f(x)=x2,显然f(-1)=f(1)=1,但-1≠1,故C错误.
2.如表表示y是x的函数,则该函数的定义域是________,值域是________.?
x
01≤x<2
2≤x<3
3≤x≤4
y
1
2
3
4
【解析】由题表可知,函数的自变量x从0开始至4,每个数都有意义,所以定义域为(0,4];该函数是一个分段函数,从表中的数据可知,y只能取到1,2,3,4这四个数,所以值域为{1,2,3,4}.
答案:(0,4] {1,2,3,4}
3.若函数y=x2-3x的定义域为{-1,0,2,3},则其值域为________.?
【解析】依题意,当x=-1时,y=4;当x=0时,y=0;当x=2时,y=-2;当x=3时,y=0,所以函数y=x2-3x的值域为{-2,0,4}.
答案:{-2,0,4}
4.下列对应关系是集合P上的函数的是________.(填序号)?
①P=Z,Q=N
,对应关系f:对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应;
②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;
③P={三角形},Q={x|x>0},对应关系f:对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.
【解析】②显然正确,由于①中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素,并且③中的集合P不是数集,从而①③不正确.
答案:②