(共35张PPT)
第2课时 函数奇偶性的应用
关键能力·合作学习
类型一 利用奇偶性求函数的解析式(逻辑推理)
【典例】1.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x-1,求函数f(x)的解析式.
2.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x,求函数f(x),g(x)的解析式.
【思路导引】1.已知x>0时的解析式,用奇偶性求x<0时的解析式,应通过(-x)进行过渡,但别忽视x=0的情况.
2.根据函数的奇偶性,用-x代替原式中的x,再利用方程思想分别求出f(x),g(x)的解析式.
【解析】1.当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1,
因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),
所以x<0时,f(x)=-x2-2x+1,
又f(0)=0,故f(x)=
2.因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)+g(x)=2x+x2.①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,
所以f(x)-g(x)=-2x+x2,②
(①+②)÷2,得f(x)=x2.(①-②)÷2,得g(x)=2x.
【解题策略】
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间内的解析式代入,求未知区间内的解析式.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
【跟踪训练】
函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式.
【解析】设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=x+1
所以当x<0时f(x)=-x-1.
又x=0时,f(0)=0,
所以f(x)=
类型二 奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理)
角度1 比较大小问题?
【典例】(2020·鼓楼高一检测)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是
( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)
D.f(π)【思路导引】根据偶函数的性质,把f(-2),f(π),f(-3)转化到同一个单调区间[0,+∞)上,再根据函数的单调性比较大小.
【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数,
所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).
又当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,且π>3>2,
所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).
【变式探究】
将典例改为:函数y=f(x)在[0,2]上是增函数,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是
( )
【解析】选B.因为函数f(x+2)是偶函数,
所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以
又f(x)在[0,2]上是增函数,
所以
角度2 解不等式问题?
【典例】已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)【思路导引】根据函数的单调性,判断1-m与m的大小关系,注意函数的定义域,保证1-m与m都在定义域内.
【解析】因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上是减函数.
又f(1-m)所以
即
解得-1≤m<
.
故实数m的取值范围是-1≤m<
.
【解题策略】
比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
【拓展延伸】
利用函数的奇偶性比较大小时,根据奇偶性的对称性质,常需要比较自变量的绝对值的大小,即自变量距离原点的距离.
【拓展训练】
定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若f(a)( )
A.aB.a>b
C.|a|<|b|
D.0≤a【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,所以由
f(a)【题组训练】
1.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),
有
<0,则
( )
A.f(3)B.f(1)C.f(-2)D.f(3)【解析】选A.根据题意,函数f(x)为偶函数,
则f(-2)=f(2),函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<0,
则函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,
则f(3)又由f(-2)=f(2),则f(3)2.(2020·无锡高一检测)偶函数y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,且满足f(2x)>f(x+1),则x的取值范围为__________.?
【解析】根据题意,函数y=f(x)为偶函数且在[0,+∞)上是减函数,则f(2x)>f(x+1)?f(|2x|)>f(|x+1|)?|2x|<|x+1|,变形可得:3x2-2x-1<0,
解得:-
.
答案:
类型三 奇偶性、单调性的综合应用(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,且
(1)确定函数f(x)的解析式.
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
【思路导引】(1)利用函数奇偶性的性质和
求出函数解析式.
(2)利用函数单调性的定义证明.
(3)利用奇偶性转化不等式,再利用单调性证明不等式,证明时注意函数的定义域.
【解析】(1)由题意得
所以
故f(x)=
(2)设x1,x2是(-1,1)上任意两个值且x1因为f(x1)-f(x2)=
因为-1所以x1-x2<0,1+
>0,1+
>0,
-10.
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).
因为f(x)在(-1,1)上是增函数,
所以-1.
所以不等式的解集为
【解题策略】
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值.解题时,一定要特别注意函数的定义域.
【跟踪训练】
(2020·南京高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时有f(x)=
,(m为常数).
(1)求m的值,并求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的值域;
(3)若f(3a+1)+f(a2-4a-13)<0.求实数a的取值范围.
【解析】(1)f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时有f(x)=
,
由奇函数的性质可得,f(0)=
m=0,
所以m=0,当x≥0时,f(x)=
,
当x<0时,-x>0,则f(-x)=-f(x)=
,
所以f(x)=
,故f(x)=
(2)当x≥0时,f(x)=
∈[0,3),
根据奇函数的对称性可知,当x<0时,f(x)∈(-3,0),
根据分段函数的性质可知,函数的值域为(-3,3);
(3)因为f(x)为定义在R上的奇函数,且在R上是增函数,
若f(3a+1)+f(a2-4a-13)<0,
则有f(a2-4a-13)<-f(3a+1),
即f(a2-4a-13)则有a2-4a-13<-1-3a,
变形可得a2-a-12<0,解可得-3即a的取值范围为(-3,4).
课堂检测·素养达标
1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c是偶函数,
所以由f(-x)=f(x),得b=0.所以g(x)=ax3+cx.
所以g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的函数是
( )
A.y=x3
B.y=|x|+1
C.y=-x2+1
D.y=
【解析】选B.对于函数y=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以y=|x|+1是偶
函数,当x>0时,y=x+1,所以在(0,+∞)上是增函数;另外函数y=x3不是偶函数;
y=-x2+1在(0,+∞)上是减函数;y=
不是偶函数.
3.(教材二次开发:练习改编)一个偶函数定义在区间[-7,7]上,它在[0,7]上的图象如图,下列说法正确的是
( )
A.这个函数仅有一个增区间
B.这个函数有两个减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值是7
D.这个函数在其定义域内有最小值是-7
【解析】选C.根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出函数在[-7,0]上的图象,如图所示,可知这个函数有三个增区间;有三个减区间;在其定义域内有最大值是7;在其定义域内最小值不是-7.
4.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值为3,那么f(x)在区间
[-5,-1]上
( )
A.是增函数且最小值为3
B.是增函数且最大值为3
C.是减函数且最小值为-3
D.是减函数且最大值为-3
【解析】选D.当-5≤x≤-1时,1≤-x≤5,所以f(-x)≥3,即-f(x)≥3.从而f(x)≤-3,又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同,故f(x)在[-5,-1]上是减函数.
5.偶函数f(x)在(0,+∞)内的最小值为2
020,则f(x)在(-∞,0)上的最小值为________.?
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称,
所以f(x)在对称区间内的最值相等.
又当x∈(0,+∞)时,f(x)min=2
020,
故当x∈(-∞,0)时,f(x)min=2
020.
答案:2
020温馨提示：
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课时素养评价
二十六 函数奇偶性的应用
(15分钟 35分)
1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式是
( )
A.f(x)=-x2+2x-3
B.f(x)=-x2-2x-3
C.f(x)=x2-2x+3
D.f(x)=-x2-2x+3
【解析】选B.若x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所以x<0时,f(x)=-x2-2x-3.
2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=x2+3x+1,则f(x)等于
( )
A.x2
B.2x2
C.2x2+2
D.x2+1
【解析】选D.因为f(x)+g(x)=x2+3x+1,①
所以f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.
又f(x)是偶函数,且g(x)是奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-3x+1.②
由①②联立,得f(x)=x2+1.
3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则
( )
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定
【解析】选A.因为x2>-x1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x2)又f(x)是R上的偶函数,所以f(-x2)=f(x2),
所以f(-x2)4.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,f(3)<
f(2a+1),则a的取值范围是
( )
A.a>1
B.a<-2
C.a>1或a<-2
D.-1【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数,且f(3)所以3<|2a+1|,解得a>1或a<-2.
5.函数f(x)在R上为偶函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=
________.?
【解析】因为f(x)为偶函数,x>0时,f(x)=+1,
所以当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=+1,即x<0时,f(x)=+1.
答案:+1
6.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.
【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
由f(x)+g(x)=,①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=,
所以f(x)-g(x)=,②
(①+②)÷2,得f(x)=;
(①-②)÷2,得g(x)=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有
( )
A.最大值-
B.最大值
C.最小值-
D.最小值
【解析】选B.方法一(直接法):当x>0时,-x<0,
所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x
=-+,
所以f(x)有最大值.
方法二(奇函数的图象特征):当x<0时,
f(x)=x2+x=-,
所以f(x)有最小值-,因为f(x)是奇函数,
所以当x>0时,f(x)有最大值.
2.(2020·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,若是函数F(x)的增区间,则一定是F(x)的减区间的是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为F(-x)=F(x),所以F(x)是偶函数,因而在上F(x)是减函数.
3.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则f与f的大小关系是
( )
A.f>f
B.fC.f≥f
D.f≤f
【解析】选C.因为a2+2a+=(a+1)2+≥,又因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,所以f≤f=f.
4.(2020·襄阳高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则满足f(2x-1)>f的实数x的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,且满足f(2x-1)>f,所以不等式等价为f(|2x-1|)>f,即|2x-1|<,所以-<2x-1<,计算得出【误区警示】利用偶函数的单调性解不等式,别忘了转化为绝对值不等式求解.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若函数y=f(x)是偶函数,定义域为R,且该函数图象与x轴的交点有3个,则下列说法正确的是
( )
A.3个交点的横坐标之和为0
B.3个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关
C.f(0)=0
D.f(0)的值不能确定
【解析】选AC.由于偶函数图象关于y轴对称,若(x0,0)是函数与x轴的交点,则(-x0,0)一定也是函数与x轴的交点,当交点个数为3个时,有一个交点一定是原点,从而AC正确.
6.设y=f(x)为偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增,f(-2)=0,则下列区间中使得xf(x)<0的有
( )
A.(-1,1)
B.(0,2)
C.(-2,0)
D.(2,4)
【解析】选CD.根据题意,偶函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,又f(-2)=0,则函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(-2)=f(2)=0,函数f(x)的草图如图,
又由xf(x)<0?或,
由图可得-22,
即不等式的解集为(-2,0)∪(2,+∞).
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如果函数F(x)=是奇函数,则f(x)=________.?
【解题指南】根据求谁设谁的原则,设x<0,根据函数的奇偶性求出x<0时的解析式.
【解析】当x<0时,-x>0,F(-x)=-2x-3,
又F(x)为奇函数,故F(-x)=-F(x),
所以F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.
答案:2x+3
【补偿训练】
设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为________.?
【解析】由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.
答案:f(x)=x+2
8.(2020·南京高一检测)已知y=f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-5x,则f(x-1)>f(x)的解集为________.?
【解析】根据题意,设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=x2+5x,
又由f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x2-5x,
则有f(x)=其图象如图:
则f(x)在上是减函数,
当x<0时,f(x)=-x2-5x,
其对称轴为x=-,
当x≥0时,f(x)=x2-5x,其对称轴为x=,
若f(x-1)>f(x),则有-3解得:-2答案:(-2,3)
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式.
(2)画出函数f(x)的图象.
(3)根据图象,写出函数f(x)的减区间及值域.
【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=f(-x).
当x<0时,-x>0,
所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.
综上,f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示:
(3)由(2)中图象可知,f(x)的减区间为[-1,0],[1,+∞),
函数f(x)的值域为(-∞,1].
10.函数f(x)=,
(1)判断函数是否具有奇偶性.
(2)判断函数在(-∞,0)上的单调性,并证明.
【解析】(1)f(x)=的定义域为{x|x≠0},
因为对于任意x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},且f(-x)===f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,
证明如下:任取(-∞,0)上的任意两个值x1,x2,且x1所以f(x1)-f(x2)=-=
=,
因为x1,x2∈(-∞,0),且x1所以x2-x1>0,x2+x1<0,
所以<0,
即f(x1)则函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
1.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是________.?
【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,
即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,
所以|x+2|<5,解得-7所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7,3).
答案:(-7,3)
2.(2020·南京高一检测)已知偶函数f(x)=的定义域为E,值域为F.
(1)求实数b的值;
(2)若E={1,2,a},F=,求实数a的值.
(3)若E=,F=[2-3m,2-3n],求m,n的值.
【解析】(1)因为f(x)为偶函数,
所以f(-x)=f(x),
即=,
所以b=-1;
(2)因为f(2)=,f(1)=0,
所以①令f(a)=0,即=0,a=±1,a=1不满足集合的互异性,故a=-1;
②令f(a)=,即=,a=±2,a=2不满足集合的互异性,故a=-2,
综上,a=-1或-2;
(3)因为f(x)=是偶函数,且f(x)=1-,所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,
在(0,+∞)上是增函数.
因为x≠0,
所以由题意可知:<<0或0<<.
若<<0,则有
即
此时方程组无负解;
若0<<,则有
即
所以m,n为方程x2-3x+1=0的两个根.
因为0<<,所以m>n>0,
所以m=,n=.
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PAGE(共40张PPT)
5.4 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识·自主学习
导思
1.函数除了具有单调性外,还有其他性质吗?
2.奇函数、偶函数分别有怎样的对称性?
函数的奇偶性
(1)奇偶性:
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A
前提
f(-x)=_____
f(-x)=
______
结论
函数y=f(x)是
偶函数
函数y=f(x)是
奇函数
图象
特点
关于____对称
关于_____对称
f(x)
-f(x)
y轴
原点
(2)本质:奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3)应用:奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
【思考】
具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?
提示:定义域关于原点对称.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)
对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.
( )
(2)
若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.
( )
(3)奇函数的图象一定过(0,0).
( )
提示:(1)×.奇函数、偶函数的定义都要求对于定义域内的任意x.
(2)×.函数的奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.
(3)×.奇函数的图象不一定过原点,例如函数y=
.
2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是
( )
【解析】选B.B选项的图象关于y轴对称,是偶函数,其余选项都不具有奇偶性.
3.(教材二次开发:例题改编)下列函数为奇函数的是
( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y=
D.y=-x2+14
【解析】选C.A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.
关键能力·合作学习
类型一 函数奇偶性的判断(逻辑推理、数学运算)
【题组训练】
1.函数f(x)=
的奇偶性是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
2.函数f(x)=
的奇偶性是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
3.判断函数f(x)=2x3-x是否具有奇偶性.
【解析】1.选D.由
得x2=1,即x=±1.因此函数的定义域为{-1,1},因为对任意x∈{-1,1},都有-x∈{-1,1},又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
2.选A.函数f(x)的定义域为R,
因为对于任意的x∈R都有-x∈R,且
f(-x)=
即f(-x)=
于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.
3.函数f(x)为奇函数.
理由如下:函数f(x)的定义域为R,
因为对于任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=2(-x)3-(-x)=-2x3+x=-(2x3-x)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
【解题策略】
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下:
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步.
②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x).
③下结论.若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;
若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;
若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数.
(2)图象法:f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称.
【补偿训练】
下列函数中是偶函数的有________.(填序号)?
①f(x)=x3;
②f(x)=|x|+1;
③f(x)=
;
④f(x)=x+
;
⑤f(x)=x2,x∈[-1,2].
【解析】对于①,f(-x)=-x3=-f(x),则为奇函数;对于②,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),则为偶函数;对于③,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=
=f(x),则为偶函数;
对于④,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
f(-x)=-x-
=-f(x),则为奇函数;
对于⑤,定义域为[-1,2],不关于原点对称,不具有奇偶性,则为非奇非偶函数.
答案:②③
类型二 奇偶函数的图象问题(直观想象)
【典例】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象.
(2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间.
(3)根据图象写出使y=f(x)<0的x的取值范围.
【思路导引】根据偶函数的图象关于y轴对称,补全函数图象,增函数的图象是上升的,求出增区间,f(x)<0是指的函数图象位于x轴下方的部分.
【解析】(1)由题意作出函数图象如图:
(2)据图可知,增区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(0,2).
【解题策略】
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在(0,+∞)(或(-∞,0))上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0)(或(0,+∞))上对应的函数图象.
【跟踪训练】
已知奇函数y=f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象.
(2)写出使f(x)<0的x的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.
由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(2,5).
类型三 利用函数奇偶性求值(数学运算、逻辑推理)
角度1 利用函数的奇偶性求参数?
【典例】若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.?
【思路导引】根据f(x)是偶函数,得到定义域关于原点对称,求出a的值,再根据函数图象关于y轴对称,求出b的值.
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=
.又函数f(x)=
x2+bx+b+1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.
答案:
0
角度2 利用函数的奇偶性求函数值?
【典例】已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=________.?
【思路导引】根据f(x)的解析式发现f(x)为非奇非偶函数,设一个新函数g(x),根据新函数的奇偶性求出f(3)的值.
【解析】令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,
所以f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,
又f(-3)=-3,所以g(3)=5.
又f(3)=g(3)+2,所以f(3)=5+2=7.
答案:7
【解题策略】已知函数的某一个自变量值,求对应的函数值时,常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值.
【题组训练】
1.(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=
为奇函数,则f(a+b)=
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选C.根据题意,函数f(x)=
为奇函数,其定义域为R,
设x>0,则-x<0,
则f(x)=ax2-2x,f(-x)=-(-x)2+b(-x)=-x2-bx,
则有f(x)+f(-x)=(ax2-2x)+(-x2-bx)
=(a-1)x2-(b+2)x=0,
分析可得a=1,b=-2,
故f(a+b)=f(-1)=-1+2=1.
2.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.?
【解析】方法一:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a,由f(x)为偶函数和f(x)=f(-x),则a-4=0,即a=4.
方法二:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,要使函数为偶函数,只需多项式的奇次项系数为0,即a-4=0,则a=4.
答案:4
3.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为________.?
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.
答案:5
课堂检测·素养达标
1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2-
x,则f(1)=
( )
【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(1)=-f(-1)=
.
2.设f(x)是定义在R上的一个函数,则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选A.F(-x)=f(-x)-f(x)
=-[f(x)-f(-x)]=-F(x),符合奇函数的定义.
3.(教材二次开发:习题改编)如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为
( )
A.1
B.0
C.-2
D.2
【解析】选C.由题图知f(1)=
,f(2)=
,
又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=
=-2.
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数.若f(-3)=0,
则
<0的解集为________.?
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,所以f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,所以f(3)=f(-3)=0.
当x>0时,f(x)<0,解得x>3;
当x<0时,f(x)>0,解得-3答案:{x|-33}
5.已知函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,则常数m,n的值分别为________.?
【解析】由题意知f(0)=0,故得m=0.由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),
即
所以x2-nx+1=x2+nx+1,所以n=0.
答案:0,0温馨提示：
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课时素养评价
二十五 函数奇偶性的概念
(15分钟 35分)
1.函数f(x)=-x的图象关于
( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称
D.直线y=x对称
【解析】选C.函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于坐标原点对称.
2.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是
( )
【解析】选B.A,D不是函数;C是偶函数.
3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于
( )
A.-26
B.-18
C.-10
D.10
【解析】选A.令g(x)=x5+ax3+bx,
函数f(x)的定义域为R.
因为对于任意x∈R,都有-x∈R,且g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.
又因为f(x)=g(x)-8,所以f(-2)=g(-2)-8=10?g(-2)=18.所以g(2)=-18.
所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
4.若f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数,且函数y=f(x)在x∈(0,+∞)上是增函数,则实数a的值为
( )
A.±1
B.-1
C.1
D.0
【解析】选C.因为f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶函数,所以1-a2=0.
所以a=±1.
当a=1时,f(x)=x2-1,在(0,+∞)上是增函数,满足条件;当a=-1时,f(x)=-x2+1,在(0,+∞)上单调递减,不满足条件.
5.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=________.?
【解析】当x>0时f(x)=x2+,所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-2.
答案:-2
6.(2020·南京高一检测)设函数f(x)=x2-4|x|+3,(x∈[-4,4]).
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)画出函数y=|f(x)|的图象,指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;(不需要证明)
(3)求函数|f(x)|的值域.
【解析】(1)函数的定义域关于原点对称,
f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3
=f(x),
则f(x)是偶函数.
(2)由f(x)=x2-4|x|+3>0得|x|>3或|x|<1,
即y=|f(x)|
=
则对应的图象如图:
由图象知函数的增区间为[-3,-2],[-1,0],[1,2],[3,4],
减区间为[-4,-3),(-2,-1),(0,1),(2,3).
(3)当x=0或x=4或x=-4时,函数|f(x)|取得最大值为|f(0)|=3,
函数的最小值为0,即函数|f(x)|的值域为[0,3].
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是
( )
A.(a,-f(a))
B.(-a,-f(a))
C.(-a,-f(-a))
D.(a,f(-a))
【解析】选B.因为f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.
2.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=
( )
A.3
B.1
C.-1
D.-3
【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,
所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,
所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.
3.已知函数f(x)=ax3+bx++5,满足f(-3)=2,则f(3)的值为
( )
A.8
B.-8
C.10
D.-10
【解析】选A.因为f(x)=ax3+bx++5,
所以f(-x)=-ax3-bx-+5,
即f(x)+f(-x)=10.
所以f(-3)+f(3)=10,又f(-3)=2,
所以f(3)=8.
4.(多选题)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为
( )
A.y=-x
B.y=-x2
C.y=
D.y=-x|x|
【解析】选AD.A项,函数y=-x既是奇函数又是减函数;B项,y=-x2是偶函数,故B项错误;C项,函数y=是奇函数,但是y=在(-∞,0)或(0,+∞)上是减函数,在定义域上不具有单调性,故C项错误;D项,函数y=-x|x|可化为y=
其图象如图:
故y=-x|x|既是奇函数又是减函数,故D项正确.
【光速解题】分别判断4个选择项的奇偶性,排除B,再判断A、C、D的单调性,排除C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+mx+1,若f(2)=3f(-1),则m=________.?
【解析】因为x>0时,f(x)=x2+mx+1,
所以f(2)=5+2m,f(1)=2+m,
又f(-1)=-f(1)=-2-m,
所以5+2m=3(-2-m),所以m=-.
答案:-
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)=________,
f(0)=________.?
【解析】由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0.
答案:-5 0
三、解答题
7.(10分)(2020·南京高一检测)已知函数f(x)=x+(a∈R,x≠0).
(1)讨论f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)根据题意,对于函数f(x)=x+,
若a=0,则f(x)=x,易得f(x)为奇函数,
若a≠0,则f(x)=x+,其定义域为{x|x≠0},
f(-x)=-x+,有f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),f(x)为非奇非偶函数;
(2)根据题意,当x≥1,则有f(x)=x+,
设1≤x1若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0,
又由1≤x1则有>0,即x1x2-a>0,必有a≤1,
故a的取值范围为(-∞,1].
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