(共43张PPT)
第2课时 指数函数及其性质的应用
关键能力·合作学习
类型一 指数函数的图象及应用(直观想象)
【题组训练】
1.函数y=2-|x|的大致图象是
( )
2.函数f(x)=ax-2
018+2
019(a>0且a≠1)所过的定点坐标为________.?
3.若直线y=2a与函数y=│ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是________.?
【解析】1.选C.函数y=
因为y=2-|x|是偶函数,所以图象关于y轴对称,
所以函数图象在y轴右侧为减函数,0
左侧为增函数,02.由题意,根据指数函数的性质,令x-2
018=0,
可得x=2
018,代入求解f(x)=2
020,
所以函数f(x)过的定点坐标为(2
018,2
020).
答案:(2
018,2
020)
3.当a>1时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象,则由图知1<2a<2,
即
1矛盾.当0所示的图象,则由图可知1<2a<2,即
答案:
【解题策略】
1.指数型函数图象过定点问题的解法
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·ax+c
+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,函数图象过定点(-c,k+b).
2.画指数型函数图象的基本方法
画指数型函数的图象的基本方法是描点法和图象变换法.对于不熟悉的函数,常
采用取图象上的几个特殊点,描点、连线、作图;而图象变换法适用于相关函数
图象已知或容易画出的情况,要求熟悉y=2x,y=
y=10x,y=
的图象.画
函数图象时,若解析式不是最简形式,需先化简解析式;若是分段函数,则分别画
出各部分的图象,最后得到所求函数的整体图象.
【补偿训练】
若函数y=ax-(b+1)(a>0,a≠1)的图象过第一、三、四象限,则必有
( )
A.00
B.0C.a>1,b<0
D.a>1,b>0
【解析】选D.由指数函数y=ax图象的性质知函数y=ax的图象过第一、二象限,且恒过(0,1),而函数y=ax-(b+1)(a>0,a≠1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图所示,故若函数y=ax-(b+1)(a>0,a≠1)的图象过第一、三、四象限,则a>1,b+1>1,即a>1,b>0.
类型二 指数型函数的单调性及值域问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】求函数y=
的单调递增区间、值域.
【解题策略】复合函数的单调性、值域
(1)分层:一般分为外层y=at,内层t=f(x).
(2)单调性复合:复合法则“同增异减”,即内外层的单调性相同则为增函数,单调性相反则为减函数.
(3)值域复合:先求内层t的值域,再利用单调性求y=at的值域.
【跟踪训练】
函数f(x)=
的单调递减区间是________,值域是________.?
【解析】令t=x2-2x=(x-1)2-1,则f(x)=
利用二次函数的性质可得函数t的
增区间为[1,+∞),所以函数f(x)=
的减区间是[1,+∞);
因为t≥-1,所以
所以函数f(x)=
的值域为
答案:[1,+∞)
【拓展延伸】与指数函数有关的抽象函数问题
抽象函数有时也称隐函数,解决这类问题可以类比与之具有相同性质的具体函数(如二次函数、反比例函数、指数函数等),联想它的变形方法、求解方法,并尝试运用到抽象函数中.
【拓展训练】
(2020·天津高一检测)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y).当x>0时,f(x)>0,f(1)=2.
(1)求f(0)并证明f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性并证明;
(3)求f(3),若f(4x-a)+f(6+2x+1)>6对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0,
又因为f(x)的定义域为R关于原点对称,
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0,
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2),
因为x1-x2>0,所以f(x1-x2)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,f(x)单调递增.
(3)因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6,因为f(4x-a)+f(6+2x+1)>6=f(3),
所以f(4x-a+6+2x+1)>f(3),由(2)知f(x)单调递增,所以4x-a+6+2x+1>3,所以a<(2x)2+2·2x+3=(2x+1)2+2,所以a≤3.
类型三 指数函数性质的综合应用(逻辑推理、数学抽象)
角度1 分段函数的单调性?
【典例】已知若函数f(x)=
对任意x1≠x2,都有
>0成立,则实数a的取值范围是
( )
A.
(4,8)
B.
[4,8)
C.
(1,+∞)
D.
(1,8)
【思路导引】根据函数的单调性,分别从每一段、分界点处函数值的关系列出
不等式求范围.
【解析】选B.因为分段函数为增函数,
所以需满足
解得4≤a<8.
【变式探究】
若将本例中的函数改为f(x)=
其他条件不变,试求a的范围.
【解析】因为函数f(x)满足对任意x1都有f(x1)所以函数f(x)在定义域上是增函数,
则满足
角度2 函数性质的综合应用?
【典例】已知函数f(x)=
是R上的奇函数.
(1)判断并证明f(x)的单调性.
(2)若对任意实数,不等式f[f(x)]+f(3-m)>0恒成立,求m的取值范围.
【思路导引】先求出a的值,再根据定义判断、证明单调性;利用函数的性质转
化不等式,分离出m后求范围.
【解析】(1)因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即
=0,由此得a=1,
所以f(x)=
所以f(x)为R上的增函数.
证明:设x1因为x1<0,
所以f(x1)(2)因为f(x)为R上的奇函数.
所以原不等式可化为f[f(x)]>-f(3-m),
即f[f(x)]>f(m-3),
又因为f(x)为R上的增函数,所以f(x)>m-3,
由此可得不等式m对任意实数x恒成立,由2x>0?2x+1>1?0
<
<2?-2<-
<0?2<4-
<4,所以m≤2.
【解题策略】
1.关于分段函数y=
的单调性
(1)增函数:
均为增函数,且
≤
(2)减函数:
均为减函数,且
≥
2.含参数恒成立问题的一种处理方法
将参数分离到左侧,根据不等号恒成立的方向,求出右侧函数的最大值或最小
值,即可得到参数的范围.
特别提醒:已知分段函数的单调性求参数的范围时,容易忽视判断分界点处取值的大小.
【题组训练】
1.函数f(x)=
在区间(-∞,1)内递增,则a的取值范围是________.?
【解析】由函数f(x)=
在区间(-∞,1)内递增,可得函数y=-x2+2ax在区
间(-∞,1)内递增,故有a≥1.
答案:[1,+∞)
2.若函数f(x)=
为R上的增函数,则实数a的取值范围是
( )
A.3≤a<4
B.1C.1D.3【解析】选A.因为函数f(x)在R上为增函数,
所以
解得3≤a<4.
所以实数a的取值范围是3≤a<4.
类型四 指数函数模型的实际应用(数学建模)
【典例】某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量
达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度
为64
ppm(ppm为浓度单位,1
ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得浓度为
32
ppm.经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)存在函
数关系y=c
(c,m为常数).
(1)求c,m的值;
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5
ppm为正常,问至少排气多少分钟才能使
这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态?
【解析】(1)由题意可得
故c,m的值分别为128,
.
(2)由(1)知y=128×
令128×
≤
,即
≤
解得t≥32,即
至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.
【解题策略】
应用指数型函数解决实际问题时需注意的事项
(1)在利用指数增长(减少)模型解决实际问题时,要注意自变量x的取值要准确.在实际问题中,经常会遇到类似的指数增长模型:设原来的产量为N,平均增长率为p,经过x次增长达到y,则有y=N(1+p)x,x∈N,这是非常有用的函数模型.
(2)对于指数型函数y=kax,不仅要注意a的取值,还要注意k的符号对函数性质的影响.
【补偿训练】
已知镭经过100年剩余量为原来的95.76%.设重量为1的镭经过x年后,剩余量为y,
则x与y之间的关系式为
( )
A.y=0.957
6100x
B.y=
C.y=1-
D.y=
【解析】选B.设每年的减少量为m,则有(1-m)100=0.957
6?m=1-
将m
的值代入y=(1-m)x得y=
备选类型 函数图象的识别(直观想象)
【典例】二次函数y=ax2+bx与指数函数y=
的图象可能是
( )
【思路导引】解决这类问题要对每个选项逐一判断,根据两图象反映出来的信
息,判断是否有矛盾,若无矛盾,则正确.
【解析】选A.抛物线的方程是y=
其顶点坐标为
由
指数函数的图象知0<
<1,所以-
<
<0,再观察四个选项,只有A中的抛
物线的顶点的横坐标在-
和0之间.
【解题策略】
识别指数型函数图象问题的注意点
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0(2)在y轴右侧,指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大;在y轴左侧,指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小;
(3)根据“左加右减,上加下减”的原则,确定图象的平移变换,从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置.
【跟踪训练】
如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关
系为
( )
A.aB.bC.1D.a【解析】选B.方法一:由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.作直线x=1,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数,则1方法二:根据图象可以先分两类:
③④的底数大于1,①②的底数小于1,再由③④比较c,d的大小,由①②比较a,b的大小.当指数函数的底数大于1时,图象上升,且底数越大时图象向上越靠近y轴;当底数大于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向右越靠近x轴.
课堂检测·素养达标
1.(2020·鹤岗高一检测)当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-1-3的图象必经过定点
( )
A.(1,-2)
B.(0,1)
C.(-1,2)
D.(0,0)
【解析】选A.由函数解析式的特征结合指数函数的性质,令x-1=0可得x=1,
此时f(1)=a0-3=-2,故函数恒过定点(1,-2).
2.已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为
( )
A.t≤-1
B.t<-1
C.t≤-3
D.t≥-3
【解析】选A.由指数函数的性质,函数g(x)=3x+t恒过点坐标为(0,1+t),函数
g(x)是增函数,图象不经过第二象限,所以1+t≤0,解得t≤-1.
3.设函数
则满足
的x的取值范围是
( )
【解析】选D.将函数f(x)的图象画出来,
观察图象可知会有
解得x<0,所以满足f(x+1)是(-∞,0).
4.(教材二次开发:练习改编)不等式3x+2<3的解集是________.?
【解析】不等式即3x+2<31,结合指数函数的单调性可得x+2<1,所以x<-1,即不等式的解集为{x|x<-1}.
答案:{x|x<-1}
5.函数y=
的值域为________.?
【解析】令u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以y=2u≥2-1=
,所以y=
的值域为
答案:温馨提示：
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课时素养评价
二十八 指数函数的概念、图象和性质
(15分钟 30分)
1.(2020·邢台高一检测)设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则
( )
A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3
D.y3>y1>y2
【解析】选B.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3==21.5,因为y=2x是增函数,
所以y1>y3>y2.
2.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为
( )
A.2
B.2
C.-2
D.-2
【解析】选B.因为函数f(x)=·ax是指数函数,所以a-3=1,a>0,a≠1,
解得a=8,所以f(x)=8x,
所以f==2.
3.若f(x)=(2a-1)x是增函数,那么a的取值范围为
( )
A.a<
B.C.a>1
D.a≥1
【解析】选C.因为f(x)=(2a-1)x是增函数,
所以2a-1>1,解得a>1.
4.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是
( )
A.f(1)>f(-1)
B.f(1)C.f(1)=f(-1)
D.不确定
【解析】选B.因为f(x)=+2是减函数,所以f(1)5.已知函数f(x)满足f(x)=则f(-7.5)的值为________.?
【解析】由题意,得f(-7.5)=f(-5.5)=f(-3.5)=f(-1.5)=f(0.5)=20.5=.
答案:
6.求不等式a4x+5>a2x-1(a>0且a≠1)中x的取值范围.
【解析】对于a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1),
当a>1时,有4x+5>2x-1,解得x>-3;
当0故当a>1时,x的取值范围为{x|x>-3};
当0(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设x>0,且1( )
A.0B.0C.1D.1【解析】选C.因为1因为x>0,所以b>1,
因为bx1,
因为x>0,所以>1?a>b,所以12.函数f(x)=的定义域为
( )
A.(-∞,0)
B.[0,+∞)
C.[2,+∞)
D.(-∞,2)
【解析】选C.由x-2≥0,得x≥2.
3.函数y=的值域是
( )
A.(-∞,0)
B.(0,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,1]
【解析】选B.由≥0且y=是减函数,知04.(2020·衡水高一检测)设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=5x,则f,f,f的大小关系是( )
A.fB.fC.fD.f【解析】选D.因为y=f(x+1)是偶函数,
所以y=f(x+1)的对称轴为x=0,
所以y=f(x)的对称轴为x=1.
又x≥1时,f(x)=5x,所以f(x)=5x在[1,+∞)上是增函数,所以f(x)在(-∞,1]上是减函数,因为f=f,且>>,
所以f即f二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.以x为自变量的四个函数中,是指数函数的为
( )
A.y=(e-1)x
B.y=(1-e)x
C.y=3x+1
D.y=πx
【解析】选AD.由指数函数的定义可知选A,D.
6.已知c<0,则下列不等式中错误的是
( )
A.c>2c
B.c>
C.2c>
D.2c<
【解析】选ABC.c<0,所以>1,0<2c<1,所以>2c.
【补偿训练】
设f(x)=,x∈R,则f(x)是
( )
A.奇函数且在(-∞,0)上是增函数
B.偶函数且在(-∞,0)上是增函数
C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数
D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数
【解析】选BD.依题意,得f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数.当x>0时,f(x)==,该指数函数是减函数;当x<0时,f(x)===2x,该指数函数是增函数.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是________.?
【解析】由题意可得,函数f(x)=a-x
=(a>0且a≠1)在R上是增函数,故>1,解得
0答案:(0,1)
8.若函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为12,则实数a=________.?
【解析】无论函数y=ax是增函数,还是减函数,最大值和最小值的和总为a+a2=12,
解得a=3或a=-4(舍去).
答案:3
【补偿训练】
(2020·阜阳高一检测)已知函数y=在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,则m+n的值为________.?
【解析】因为y=在[-2,-1]上为减函数,所以m==3,n==9,所以m+n=12.
答案:12
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax-1(x≥0).其中a>0且a≠1.
(1)若f(x)的图象经过点,求a的值.
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
【解析】(1)函数图象过点,
所以a2-1=,则a=.
(2)f(x)=ax-1(x≥0),由x≥0得x-1≥-1,
当0所以f(x)的值域为(0,a-1];
当a>1时,ax-1≥a-1,
所以f(x)的值域为[a-1,+∞).
10.已知指数函数f(x)的图象经过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.
(1)求函数g(x)的解析式.
(2)若g(x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.
【解析】(1)设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1),
因为指数函数f(x)的图象过点(3,8),
所以8=a3,所以a=2,
所求指数函数为f(x)=2x.
因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)=2-x.
(2)由(1)得g(x)为减函数,
因为g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),
所以2x2-3x+1即x2-5x+6<0,
解得x∈(2,3),
所以x的取值范围为(2,3).
1.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上是增函数,则a=________.?
【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,
所以a=2,m=.
此时g(x)=-x2在[0,+∞)上是减函数,不合题意.
当0所以a=,m=.检验知符合题意.
答案:
2.已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32).
(1)试求a,b的值.
(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,8),B(3,32),
所以 解得a=2,b=4.
(2)设g(x)=+=+,
y=g(x)在R上是减函数,
所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.
若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.
【补偿训练】
(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)=(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)当x∈(0,1]时,t·f(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)==0,解得a=2.
(2)由(1)得,f(x)==
=1-,又因为2x>0,
所以2x+1>1,所以0<<2,
所以-1<1-<1,
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
(3)由(1)可得,f(x)=,当00,
所以当0等价于t≥=对x∈(0,1]恒成立,
令m=2x-1,则0所以当m=1时,有最大值.所以t≥0.
故所求的t的取值范围是t≥0.
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PAGE(共47张PPT)
6.2 指
数
函
数
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
必备知识·自主学习
1.指数函数
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是R.
导思
1.指数函数的解析式是什么?
2.指数幂的大小比较及函数值域的求解,主要利用了指数函数的
哪个性质?
【思考】
当指数函数的底数a=0,a=1,a<0时,对自变量x的取值有何影响?
提示:(1)如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义.
(2)如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于x=
…,该函数无意义.
(3)如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
2.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
a>1
0图象
性质
(1)定义域:__
(2)值域:
________
(3)图象过定点______,图象在x轴上方
R
(0,+∞)
(0,1)
a>1
0性质
(4)在(-∞,+∞)上是增函数;
当x>0时,y>1;
当x<0时,0在(-∞,+∞)上是减函数;
当x>0时,0当x<0时,y>1
注意:在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:
①在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;
②在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=x6是指数函数.
( )
(2)指数函数的图象都在x轴的上方.
( )
(3)若指数函数y=ax是减函数,则0( )
提示:(1)×.y=x6不是指数函数,指数函数的底数是常数.
(2)√.由指数函数的图象可知正确.
(3)√.由指数函数的单调性可知正确.
2.(2020·昆明高一检测)若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则
( )
A.a=1或a=2
B.a=1
C.a=2
D.a>0且a≠1
【解析】选C.由指数函数的定义得
解得a=2.
3.已知函数f(x)=3x-
则f(x)
( )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
【解析】选A.由题意知f(x)=3x-
f(-x)=3-x-
-3x=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
又因为y=3x是增函数,y=-
也是增函数,
所以f(x)在R上是增函数.
4.(教材二次开发:习题改编)函数y=
的定义域是
( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0]
C.[0,+∞)
D.(0,+∞)
【解析】选C.由2x-1≥0得2x≥1,即x≥0,
所以函数的定义域为[0,+∞).
5.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为
________.?
【解析】由已知得
解得
所以f(x)=
+3,所以f(-2)=
+3=4+3=7.
答案:7
关键能力·合作学习
类型一 指数函数的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.(2020·济宁高一检测)下列函数中是指数函数的是________(填序号).?
①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=
⑤y=2-x;⑥y=2x-1.
2.(2020·南宁高一检测)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则f(x)=
________,f(-1)=________.?
【思路导引】1.根据指数函数的定义进行判断.
2.设出指数函数的解析式,将点的坐标代入解析式得方程求解.
【解析】1.④y=
⑤y=2-x=
所以①④⑤都是指数函数.
答案:①④⑤
2.设f(x)=ax(a>0且a≠1),因为f(x)的图象经过点(2,9),代入得a2=9,解得a=3或
a=-3(舍去),所以f(x)=3x,所以f(-1)=3-1=
.
答案:3x
【解题策略】
1.判断一个函数是指数函数的方法
(1)把握指数函数解析式的特征:①底数a>0且a≠1;②ax的系数为1;③自变量x
的系数为1.
(2)有些函数需要对解析式变形后判断,如y=
是指数函数.
2.求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0且a≠1).
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式.
【补偿训练】
1.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)=
( )
A.8
B.
C.4
D.2
【解析】选D.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,
所以2a-3=1,解得a=2,
所以f(x)=2x,所以f(1)=2.
2.指数函数y=f(x)的图象经过点
那么f(4)·f(2)=________.?
【解析】设指数函数的解析式为y=ax(a>0且a≠1),
因为函数的图象经过点
所以
=a-2,所以a=2,
所以指数函数的解析式为y=2x,
所以f(4)·f(2)=24×22=26=64.
答案:64
类型二 与指数函数有关的定义域和值域问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】求下列函数的定义域和值域:
【思路导引】求与指数函数有关的函数的定义域时,只需使函数式有意义即可,
求值域时可以从相应指数函数的值域入手或依据单调性求解.
【解析】(1)要使函数式有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30,因为函数y=3x在R上是
增函数,所以x≤0.
故函数y=
的定义域为(-∞,0].
因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1.
所以
∈[0,1),
即函数y=
的值域为[0,1).
(2)要使函数式有意义,则x-4≠0,解得x≠4.
所以函数y=
的定义域为{x|x≠4}.
因为
≠0,所以
≠1,
即函数y=
的值域为{y|y>0,且y≠1}.
(3)要使函数式有意义,则-|x|≥0,解得x=0.
所以函数y=
的定义域为{x|x=0}.
因为x=0,所以
=
=1,
即函数y=
的值域为{y|y=1}.
(4)定义域为R.因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
所以
≤
=16.
又
>0,所以函数y=
的值域为(0,16].
【解题策略】
求指数型函数的定义域和值域的一般方法
1.求指数型函数的定义域时,先观察函数是y=ax型还是y=af(x)型.
(1)由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)的定义域与
f(x)的定义域相同.
(2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的定义域,关键是找出t=ax的值域的哪些部
分在y=f(t)的定义域中.
(3)求y=
型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
2.求与指数函数有关的函数值域的关注点:
(1)指数函数的值域为(0,+∞).
(2)在求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数值域时,先求得f(x)的值域(即函数t=f(x)中t的范围),再根据y=at的单调性,列出指数不等式(组),得出at的范围,即y=af(x)的值域.
【跟踪训练】
已知集合A=
则满足A∩B=B的集合B可以是
( )
A.
B.
C.{x|-1≤x≤1}
D.{x|x>0}
【解析】选B.由题意,可知集合A为函数y=
,x∈R的值域.令t=x2+1,则函
数可化为y=
,由x∈R得t≥1.所以y=
的值域为
即集合
A=
.又A∩B=B,所以B?A.
【拓展延伸】二次函数与指数函数的综合问题
对于这类问题,本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题.在处理方式上可以利用换元法将指数函数换成t=ax的形式,再利用定义域和t=ax的单调性求出t的范围,此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了.
【拓展训练】
求函数y=
-3×
+2,x∈[-2,2]的值域.
【解析】y=
-3×
+2=
-3×
+2,令t=
,
则y=t2-3t+2=
因为x∈[-2,2],所以
≤t=
≤4,
当t=
时,ymin=-
;当t=4时,ymax=6.
所以函数y=
-3×
+2,x∈[-2,2]的值域是
类型三 指数函数性质的简单应用(逻辑推理、直观想象)
角度1 指数幂的大小比较?
【典例】比较下列各题中两个值的大小:
(3)0.20.3,0.30.2.
【思路导引】
【解析】(1)因为0<
<1,所以函数y=
在其定义域R上单调递减,又-1.8>
-2.5,
所以
<
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y=
与y=
的图象,如图所示.
当x=-0.5时,由图象观察可得
>
(3)因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+∞)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方,所以0.20.2<
0.30.2,又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数,可知0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<
0.30.2.
角度2 解指数不等式?
【典例】使不等式92x-1<
成立的x的集合是
( )
【思路导引】化同底后利用单调性解不等式.
【解析】选A.不等式即34x-2<
,可得4x-2<
,
解得x<
.
【变式探究】
将典例的不等式底数都改为a(a>0,且a≠1),即a2x-1<
试解此不等式.
【解析】当a>1时,指数函数y=ax是增函数,
由2x-1<
,解得x<
.
当0
,解得x>
.
【解题策略】
1.比较两个幂的大小的常用方法
(1)作差(商)法;
(2)函数单调性法;
(3)中间值法,即要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再分别比较A与C,B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B的大小.
2.指数不等式的三种类型
(1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式,利用函数图象求解.
【题组训练】
1.(2020·济宁高一检测)若a=20.7,b=20.5,c=
则a,b,c的大小关系是
( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
【解析】选A.由y=2x在R上是增函数,知1=2,故c>a>b.
2.求满足下列条件的x的取值范围:
(1)3x-1>9x;
(2)0.2x<25;
(3)a-5x>ax+7(a>0,且a≠1).
【解析】(1)因为3x-1>9x,所以3x-1>32x,
又y=3x在定义域R上是增函数,
所以x-1>2x,所以x<-1,
即x的取值范围是(-∞,-1).
(2)因为0<0.2<1,所以指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数.
又25=0.2-2,所以0.2x<0.2-2,
所以x>-2,即x的取值范围是(-2,+∞).
(3)当a>1时,因为a-5x>ax+7,
所以-5x>x+7,解得x<-
;
当0ax+7,
所以-5x-
.
综上所述,当a>1时,x的取值范围是
当0【补偿训练】
已知
则a,b,c的大小关系是
( )
A.cB.aC.bD.c【解析】选D.对于指数函数y=ax,若x<0,
则当01;当a>1时,有0所以0<
<1,
>1,
>1.
又因为函数y=
在R上是减函数,
综上知,
>
>
,即c课堂检测·素养达标
1.函数y=(a-2)2ax是指数函数,则
( )
A.a=1或a=3
B.a=1
C.a=3
D.a>0且a≠1
【解析】选C.由指数函数定义知
解得a=3.
2.(2020·嘉兴高一检测)当x>0时,指数函数(a-1)x<1恒成立,则实数a的取值范围是
( )
A.(2,+∞)
B.(1,2)
C.(1,+∞)
D.R
【解析】选B.因为当x>0时,(a-1)x<1恒成立,所以03.函数f(x)=
在区间[-2,2]上的最小值是
( )
A.
B.-
C.4
D.-4
【解析】选A.函数f(x)=
在定义域R上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]
上的最小值是f(2)=
4.(教材二次开发:练习改编)已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为
( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
【解析】选B.c<0,b=53>3,1a>c.
5.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(2,4),则a=________,若a2x+1【解析】因为f(x)的图象经过点(2,4),
所以a2=4,解得a=2,若a2x+1故2x+1<3x-1,解得x>2.
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课时素养评价
二十九 指数函数及其性质的应用
(15分钟 30分)
1.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2019年的湖水量为m,从2019年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系式为
( )
A.y=0.
B.y=m
C.y=0.m
D.y=m
【解析】选C.设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.,则x年后的湖水量为y=0.m.
2.若a>1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图象可能是下列四个选项中的
( )
【解析】选C.因为a>1,所以函数y=ax在R上单调递增,可排除选项B与D.y=(1-a)x2是开口向下的二次函数,可排除选项A.
【补偿训练】
已知函数f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的图象是( )
【解析】选A.因为f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),所以f(x)在(0,2)内单调递减.所以03.函数y=的单调递增区间是
( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[1,2]
D.[1,3]
【解析】选A.令u=-3+4x-x2,y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-∞,2].
4.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是
( )
A.f(-4)>f(1)
B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)D.不能确定
【解析】选A.因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.
由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1).
5.若函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,则实数a的取值范围是________.?若在区间上不单调,则实数a的取值范围是________.?
【解析】y=在(-∞,3)上递增,
即二次函数y=-x2+ax-1在(-∞,3)上递增,
因此需要对称轴x=≥3,解得a≥6.
若函数在上不单调,则-1≤≤1,
解得-2≤a≤2.
答案:a≥6 -2≤a≤2
6.设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x值的取值范围.
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值.
【解析】(1)由f(3)=,即=,
所以10-3a=1,解得a=3.由f(x)=≥4=,即10-3x≤-2,解得x≥4.
(2)当a>0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时为增函数,则x=2时,函数取最大值=16,即10-2a=-4,解得a=7,
当a<0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时为减函数,则x=-1时,函数取最大值=16,即10+a=-4,解得a=-14,
综上可得:a=7或a=-14.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·新余高一检测)函数y=(0( )
【解析】选D.当x>0时,y=ax(02.(2020·玉溪高一检测)函数f(x)=的单调递减区间为
( )
A.(0,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,1)
【解析】选B.由函数f(x)=,结合复合函数单调性知识可知,它的减区间,即为y=x2+2x的增区间.由二次函数的性质可得y=x2+2x的增区间为(-1,+∞).
3.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为f(x)是R上的减函数,
所以解得4.已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.当x≤0时,f(x)=e-x是减函数,且f(x)≥1,当x>0时,
f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,抛物线开口向下,
此时f(x)在(0,+∞)上是减函数且f(x)<1,
综上f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
若f(a-1)≥f(-a),则a-1≤-a,即a≤,
则实数a的取值范围是.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1
B.b>0
C.0D.b<0
【解析】选CD.从题干曲线的变化趋势可以得到函数f(x)为减函数,从而有00,即b<0.
6.关于函数f=的说法中,正确的是
( )
A.偶函数
B.奇函数
C.在上是增函数
D.在上是减函数
【解析】选BC.f==-=-f,所以函数f为奇函数;
当x增大时,ex-e-x增大,故f增大,故函数f为增函数.
【补偿训练】
若方程ax-x-a=0有两个解,则a的值可以是
( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选CD.当a>1时,y=x+a与y=ax的图象有两个交点;当0三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若函数y=ax-m+n-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则m+n=________.?
【解析】因为对于函数y=ax-m+n-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点,令x-m=0,可得x=m,y=n-2,可得函数的图象经过定点(m,n-2).再根据函数的图象恒过定点(3,2),所以m=3,n-2=2,解得m=3,n=4,则m+n=7.
答案:7
8.若函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是________.?
【解析】因为函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,
所以就是求函数m=-0.5|1-x|的值域问题.
所以m=-0.5|1-x|的值域为[-1,0).
故实数m的取值范围是[-1,0).
答案:[-1,0)
【补偿训练】
已知函数f(x)=2|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.?
【解析】由函数f(x)=2|x-a|=可得,当x≥a时,函数f(x)为增函数,而已知函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,所以a≤1,
即a的取值范围为(-∞,1].
答案:(-∞,1]
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·贵阳高一检测)函数f(x)=2x-是奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈(0,+∞)时f(x)>m·2-x+4恒成立,求m的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)=2x-是奇函数,
所以f(-x)=2-x-=-2xa+=-2x+=-f(x),故a=1,故f(x)=2x-;
(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)>m·2-x+4恒成立,
即m+1<(2x)2-4·2x在x∈(0,+∞)上恒成立,
令h(x)=(2x)2-4·2x,(x>0),
显然h(x)在(0,+∞)的最小值是h(1)=-4,
故m+1<-4,解得m<-5.
10.(2020·北京高一检测)已知奇函数f(x)的定义域为[-1,1],当x∈[-1,0)时,f(x)=-.
(1)求函数f(x)在(0,1]上的值域;
(2)若x∈(0,1]时,函数y=f2(x)-f(x)+1的最小值为-2,求实数λ的值.
【解析】(1)设x∈(0,1],则-x∈[-1,0),
所以f(-x)=-=-2x.
又因为f(x)为奇函数,
所以有f(-x)=-f(x),
所以当x∈(0,1]时,f(x)=-f(-x)=2x,
所以f(x)在(0,1]上的值域为(1,2].
(2)由(1)知当x∈(0,1]时f(x)∈(1,2],
所以f(x)∈.
令t=f(x),则令g(t)=f2(x)-f(x)+1=t2-λt+1=+1-,
①当≤,即λ≤1时,g(t)>g,无最小值;
②当<≤1,即1<λ≤2时,g(t)min=g=1-=-2,解得λ=±2(舍去).
③当>1,即λ>2时,g(t)min=g(1)=-2,解得λ=4,综上所述,λ=4.
1.若ea+πb≥e-b+π-a,则有( )
A.a+b≤0
B.a-b≥0
C.a-b≤0
D.a+b≥0
【解析】选D.方法一:取特殊值排除,当a=0,b=1时,1+π≥+1,成立,排除A,B.当a=1,b=0,e+1≥1+成立,排除C.
方法二:构造函数利用单调性:令f(x)=ex-,则f(x)是增函数,因为ea-
≥-πb,所以f(a)≥f(-b),即a+b≥0.
2.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a+.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的最大值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=1++.令t=,由x<0
可得t>1,
f(x)=h(t)=t2+t+1=+,
因为h(t)在(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)=3,故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M恒成立,
故函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,则当x≥0时,|f(x)|≤3恒成立.
故有-3≤f(x)≤3,
即-4-≤a≤2-,
所以≤a≤.
所以a的最大值为函数y=2·2x-的最小值,
因为函数y=2·2x-在[0,+∞)上是增函数,
所以ymin=2×20-=2-1=1,故a的最大值为1.
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