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课时素养评价
三十一 对数函数及其性质的应用
(15分钟 30分)
1.(2020·成都高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由函数y=f(x)=log2x,得x=2y,把x与y互换,可得y=2x,即g(x)=2x,
所以g(2)=22=4,则f(g(2))=f(4)=log24=2.
2.已知a=21.1,b=log23,c=,则a,b,c的大小关系为
( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
【解析】选A.21.1>2,=.又2>log23>log2=log2=,所以a>b>c.
3.函数f(x)=2+log6(6x+1),x∈R的值域为
( )
A.(0,1]
B.(0,+∞)
C.[1,+∞)
D.(2,+∞)
【解析】选D.因为6x+1>1,所以log6(6x+1)>0,
故f(x)=2+log6(6x+1)>2.
4.(2020·南昌高一检测)已知函数f(x)=log2(-x2+6x+7)的值域记为集合A,函数g(x)=的值域为B,则有
( )
A.B?RA
B.A?RB
C.A?B
D.B?A
【解析】选D.令t=-x2+6x+7,t>0,
当x=3时,tmax=-32+6×3+7=16,
此时f(x)max=log216=4,
所以函数f(x)=log2(-x2+6x+7)的值域为:A=(-∞,4],在函数g(x)=中,可得:0≤16-x2≤16,所以函数g(x)=的值域为:B=[0,4],所以B?A.
5.函数f(x)=loga(x2-ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,则实数a的取值范围是________.?
【解析】因为函数f(x)=loga(x2-ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,
当0
0=loga1,
即0当a>1时,loga(x2-ax+2)>0=loga1,
即x2-ax+2>1在区间(1,+∞)上恒成立,
即a所以即a的取值范围是(1,2].
答案:(1,2]
【补偿训练】
函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1)在区间(a-2,a)上单调递减,则a的取值范围为________.?
【解析】因为函数在区间(a-2,a)上单调递减,
所以解得1答案:{a|16.已知函数f(x)=loga(-x2+ax-9)(a>0,a≠1).
(1)当a=10时,求f(x)的值域和单调递减区间;
(2)若f(x)存在单调递增区间,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=10时,f(x)=log10(-x2+10x-9)=log10[(-(x-5)2+16],
设t=-x2+10x-9=-(x-5)2+16,由-x2+10x-9>0,得x2-10x+9<0,得1即函数的定义域为(1,9),
此时t=-(x-5)2+16∈(0,16],
则y=log10t≤log1016,即函数的值域为(-∞,lg
16],
要求f(x)的单调递减区间,等价为求t=-(x-5)2+16的单调递减区间,
因为t=-(x-5)2+16的单调递减区间为[5,9),所以f(x)的单调递减区间为[5,9).
(2)若f(x)存在单调递增区间,
只需-x2+ax-9>0有解,
所以判别式Δ=a2-36>0,
得a>6或a<-6,又a>0,a≠1,所以a>6,
综上实数a的取值范围是a>6.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知a( )
【解析】选B.由题图可知02.已知函数y=|logx|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为
( )
A.
B.
C.[1,2]
D.[1,+∞)
【解析】选C.作出y=|logx|的图象(如图),
可知f=f(2)=1,
由题意结合图象知:1≤m≤2.
3.(2020·牡丹江高一检测)已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a=
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.内层函数为u=x2-2x+a,外层函数为y=log2u,由于内层函数u=x2-2x+a的减区间为(-∞,1),增区间为(1,+∞),且外层函数为增函数,所以,函数f(x)=log2(x2-2x+a)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞),所以,函数y=f(x)在x=1处取得最小值,即f(x)min=f(1)=log2(a-1)=2,解得a=5.
【补偿训练】
(2020·辛集高一检测)若-3≤lox≤-,求f(x)=·的最大值和最小值.
【解析】由题意,根据对数的运算性质,可得函数f(x)=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2=-,
又-3≤lox≤-,所以≤log2x≤3.
所以当log2x=3,即x=8时,f(x)max=f(8)=2;
当log2x=,即x=2时,f(x)min=f(2)=-.
4.(2020·嘉兴高一检测)函数y=lo(x2-3x+2)的单调递减区间为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为y=lo(x2-3x+2),
所以x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,
令t=x2-3x+2,因为t=x2-3x+2的图象开口向上,对称轴方程为x=,
所以内层函数t=x2-3x+2在(2,+∞)上单调递增,
外层函数y=lot是减函数,
所以由复合函数单调性的性质可知函数y=lo(x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+∞).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则
( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)在(0,10)上单调递增
D.f(x)在(0,10)上单调递减
【解析】选B、D.由得x∈(-10,10),
故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称,
又由f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),
故函数f(x)为偶函数,
而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),
y=100-x2在(0,10)上递减,y=lg
x在(0,10)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.
6.关于函数f(x)=lg(x≠0),有下列结论,其中正确的是
( )
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg
2
C.当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数
D.f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞)
【解析】选ABD.f(-x)=lg=f(x),f(x)是偶函数,选项A正确;令t==
|x|+≥2,y=lg
t在(0,+∞)上是增函数,y=lg
t≥lg
2,所以f(x)的最小值为lg
2,选项B正确;当x>0时,t==x+,根据对勾函数的图象可得,t=x+单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),y=lg
t在(0,+∞)上是增函数,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,选项C错误;根据偶函数的对称性,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞),选项D正确.
【补偿训练】
已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln
x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是
( )
A.a>b
B.aC.g(a)<0D.g(a)>0>f(b)
【解析】选AD.因为函数y=ex,y=ln
x,y=x-2都是增函数,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=ln
x+x-2都是增函数,又f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以01+1-2=-1<0,g(2)=ln
2+2-2=ln
2>0,所以1所以0因为a0,所以g(a)<0三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·永济高一检测)已知函数f(x)=log2(2x)·log4(2x),x∈,则f(x)的最小值为________.?
【解析】由题可得将函数化简为f(x)=(log2x+1)2,
设log2x=t,则y=(t+1)2,因为x∈,所以t∈[-2,2].根据二次函数的性质得到:当t=-1时,y取得最小值0,故f(x)的最小值为0.
答案:0
8.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是递增的,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是________.?
【解析】由题意可知,由f(log4x)<0,得-即log4答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上时,点在函数y=g(x)的图象上.
(1)写出y=g(x)的解析式.
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.
【解析】(1)依题意,得
则g=log2(x+1),
故g(x)=log2(3x+1).
(2)由f(x)-g(x)=0,
得log2(x+1)=log2(3x+1),
所以解得x=0或x=1.
10.设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
【解析】(1)由题意,f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,所以a=3,
所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),
所以解得-3所以f(x)的定义域是(-3,3).
(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)
=log3[(3+x)(3-x)]
=log3(9-x2)且x∈(-3,3),
所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,f(x)min=log33=1.
1.(2020·日照高一检测)已知函数f(x)=1+2lg
x,则f(1)+f-1(1)=
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.根据题意f(1)=1+2lg
1=1,
若f(x)=1+2lg
x=1,解可得x=1,则f-1(1)=1,故f(1)+f-1(1)=1+1=2.
2.已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x)
(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;
(2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)-m=0在区间[1,2]内有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意可得:f-1(x)=log2x,
所以log2x-log2(1-x)=1?log2=log22,
所以=2?x=.
(2)由f(x)+f(1-x)-m=0可得:m=2x+,
令t=2x∈[2,4],所以m=t+,
所以当t∈[2,4]时,函数m=t+为增函数,
所以函数的最小值为3,最大值为,所以实数m的取值范围为.
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课时素养评价
三十 对数函数的概念、图象和性质
(15分钟 30分)
1.已知实数a=log23,b=,c=log0.32,则a,b,c的大小关系为
( )
A.bB.bC.cD.c【解析】选D.因为a=log23>log22=1,b==1,c=log0.322.若loga<1,则a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.∪(1,+∞)
【解析】选D.由loga<1得:loga当a>1时,有a>,即a>1;
当0综上可知,a的取值范围是∪(1,+∞).
3.函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是________.?
【解析】由题意知,当x>1时,f(x)=2a+ln
x>2a;当x≤1时,f(x)=a+1-x2≤a+1.要使函数f(x)的值域为R,需满足2a≤a+1,即a≤1.
答案:(-∞,1]
4.已知函数f(x)=loga
(x+2),若图象过点(6,3),则f(x)=________,
f(30)=________.?
【解析】代入
(6,3),得3=loga(6+2)=loga8,
即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),
所以f(30)=log232=5.
答案:log2(x+2) 5
5.(2020·潍坊高一检测)已知直线mx+ny-3=0经过函数g(x)=logax+1(a>0且a≠1)的定点,其中mn>0,则+的最小值为________.?
【解析】由题意可得定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-3=0上,所以m+n=3,
则+=(m+n)
=≥(2+2)=,当且仅当=且m+n=3,即m=n=时取等号.
答案:
6.已知函数f=loga,g=loga,.
(1)设a=2,函数g(x)的定义域为[-15,-1],
求g(x)的最大值.
(2)当00的x的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,g=log2,在上为减函数,
因此当x=-15时g的最大值为4
.
(2)f-g>0,即f>g,所以
当0loga,
满足所以-1故当00的解集为.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为
( )
A.aB.aC.bD.c【解析】选A.0b=log0.50.2>log0.50.5=1,
1=0.50>c=0.50.2>0.51=,所以a2.若log(a-1)(2x-1)>log(a-1)(x-1),则有
( )
A.10
B.11
C.a>2,x>0
D.a>2,x>1
【解析】选D.当a>2时,a-1>1,
由解得x>1;
当1由无解.
3.(2020·宁波高一检测)已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且g(x)=-f(|x|).若g(lg
x)>g(1),则x的取值范围是
( )
A.[1,10)
B.
C.
D.∪(10,+∞)
【解析】选C.由题意,
因为g(-x)=-f(|x|)=g(x),
所以g(x)为偶函数,
又因为f(x)是[0,+∞)上的增函数,
所以g(x)是[0,+∞)上的减函数,
又因为g(lg
x)>g(1),所以g(|lg
x|)>g(1),
所以|lg
x|<1,解得4.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满足f(a)>f(4-a),则实数a的取值范围是( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(1,3)
D.(2,4)
【解析】选A.函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),由f(a)>f(4-a)可得:|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方:[ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2?[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,
则(1)或
(2)
解(1)得a无解,解(2)得:1所以实数a的取值范围是(1,2).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列函数表达式中,是对数函数的有
( )
A.y=logπx
B.y=ln
x
C.y=2log4x
D.y=log2(x+1)
【解析】选AB.按对数函数的定义式判断.
6.已知0( )
A.log2a<0
B.2a-b<
C.<4
D.log2a+log2b<-2
【解析】选AD.因为0所以0所以log2a<0,A正确;2a-b>2-1=,B错误;
因为+≥2=2(当且仅当=,即a=b时取等号),又0所以+>2,所以>22=4,C错误;
因为ab≤=(当且仅当a=b时取等号),又0所以log2a+log2b=log2ab【补偿训练】
(2020·菏泽高一检测)设函数f(x)的定义域为D,?x∈D,?y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“美丽函数”.下列所给出的函数,其中是“美丽函数”的是
( )
A.y=x2
B.y=
C.y=ln(2x+3)
D.y=2x+3
【解析】选BCD.由题意知,函数f(x)的定义域为D,?x∈D,?y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,所以函数f(x)的值域关于原点对称,
对于A中,函数y=x2的值域为[0,+∞),不关于原点对称,不符合题意;
对于B中,函数y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,符合题意;
对于C中,函数y=ln(2x+3)的值域为R,关于原点对称,符合题意;
对于D中,函数y=2x+3的值域为R,关于原点对称,符合题意.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.设f(x)=则f(f(-2))=________.?
【解析】因为f(-2)=10-2>0,f(10-2)=lg
10-2,
令lg
10-2=a,则10a=10-2,
所以a=-2,所以f(f(-2))=-2.
答案:-2
8.已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在R上单调递减,则a的取值范围是________.?
【解析】由分段函数在R上单调递减可得0又因为二次函数图象开口向上,所以-≥0,
解得a≤,且[x2+(4a-3)x+3a]min(x<0)≥[loga(x+1)+1]max(x≥0),将x=0代入可得3a≥1,解得a≥,所以a的取值范围是.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·鄂尔多斯高一检测)设函数f(x)=
(log2x+2)(log2x+1)的定义域为.
(1)若t=log2x,求t的取值范围;
(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取得最值时对应的x的值.
【解析】(1)因为t=log2x,而x∈.
所以t的取值范围为=[-2,2].
(2)y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1),
令g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2(-2≤t≤2).
因为g(t)在区间上是减函数,在区间上是增函数,所以当t=log2x=-,即x=时,y=f(x)有最小值,最小值为f=g=-;当t=log2x=2,即x=4时,y=f(x)有最大值,最大值为f(4)=g(2)=12.
10.(2020·天津高一检测)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在上的最大值为2.
(1)求a的值;
(2)若00成立的x的取值范围.
【解析】(1)由题意,当a>1时,函数f(x)=logax在上单调递增,因此f(x)max=f(2)=loga2=2,解得a=;
当0因此f(x)max=f=loga=2,
解得a=.综上可知:a=或a=.
(2)由不等式f(f(x)-2)>0,
即loga(f(x)-2)>loga1,
又01.函数f(x)=log3(x2-x-2)的定义域为
( )
A.{x|x>2或x<-1}
B.{x|-1C.{x|-2D.{x|x>1或x<-2}
【解析】选A.由题意得:x2-x-2>0,解得:x>2或x<-1,所以函数的定义域是{x|x>2或x<-1}.
2.(2020·郑州高一检测)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求不等式f(x)>0的解集.
【解析】(1)由>0得-1又f(-x)=loga=-loga=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)(ⅰ)当a>1时,由f(x)>0,即loga>0,
得>1,解得-1(ⅱ)当00,
即loga>0,得0<<1,解得0综上所述,当a>1时,不等式f(x)>0的解集为{x|-10的解集为{x|0【补偿训练】
已知函数f=log2.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.
(2)解不等式f<-1.
【解析】(1)f(x)为奇函数,
证明:>0?-1所以f(x)的定义域为(-1,1),
关于原点对称,任取x∈(-1,1),
则-x∈(-1,1),
f(-x)+f(x)=log2+log2
=log2=log21=0,
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)由(1)知-1log2<-1,所以<2-1=,
-==<0,
所以>0,所以x<-或x>1.
又因为-1综上,不等式f(x)<-1的解集为.
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PAGE(共48张PPT)
第1课时 对数函数的概念、
图象和性质
必备知识·自主学习
1.对数函数
一般地,函数y=logax(a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞).
导思
1.对数式比较大小一般用什么方法?
2.互为反函数的图象之间具有怎样的关系?
【思考】
对数函数解析式有什么特征?
提示:①a>0,且a≠1;②logax的系数为1;
③自变量x的系数为1.
2.对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域:
________
值域:R
(0,+∞)
a>1
0性质
图象过点(1,0)
在(0,+∞)上是增函数;当01时,y>0
在(0,+∞)上是减函数;当00;当x>1时,y<0
(1)对数函数单调性的记忆口诀:
对数增减有思路,函数图象看底数;
底数要求大于0,但等于1却不行;
底数若是大于1,图象从左往右增;
底数0到1之间,图象从左往右减;
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.
(2)底数对函数图象的影响
对数函数y=log2x,y=log3x,y=
y=
的图象如图所示,可得如下规律:
(ⅰ)y=logax与y=
的图象关于x轴对称.
(ⅱ)函数y=logax(a>0,a≠1)的底数a的变化对图象的影响:
①上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大图象越靠近x轴;当0底数越小图象越靠近x轴.
②左右比较:交点(图象与y=1的交点)的横坐标越大,对应的对数函数的底数a越
大.
【思考】
对于对数函数y=log2x,y=log3x,y=
y=
,…,为什么一定过点
?
提示:当x=1时,loga1=0恒成立,即对数函数的图象一定过点
.
3.反函数的定义
(1)定义
一般地,设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一x=φ(y)也是一个函数(即对任意一个y∈B,都有唯一的x∈A与之对应),那么就称x=φ(y)是函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y).
(2)函数与其反函数性质之间的关系
①图象:关于直线y=x对称;
②定义域与值域:原函数的定义域为其反函数的值域,值域为其反函数的定义域;
③单调性:互为反函数的单调性相同.
【思考】
函数f(x)=x2有反函数吗?为什么?
提示:没有.若令y=f(x)=1,则x=±1,即x值不唯一,不符合反函数的定义.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=logx5是对数函数.
( )
(2)对数函数的图象都过定点
( )
(3)对数函数的图象都在y
轴的右侧.
( )
提示:(1)×.y=logx5不是对数函数,对数函数的底数是常数,真数为自变量.
(2)×.对数函数的图象都过定点
.
(3)√.由对数函数的图象可知正确.
2.函数y=log2x在区间(0,2]上的最大值是
( )
A.2
B.1
C.0
D.-1
【解析】选B.函数y=log2x在(0,2]上递增,故x=2时,y的值最大,最大值是1.
3.函数y=log3x与y=
的图象关于________对称.?
【解析】函数y=log3x与y=
的图象关于x轴对称.
答案:x轴
4.若对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则f(8)=________.?
【解析】由题意设f(x)=logax,则f(4)=loga4=-2,所以a-2=4,故a=
,即f(x)=
所以f(8)=
=-3.
答案:-3
5.(教材二次开发:例题改编)函数f(x)=
的定义域为________.?
【解析】要使函数f(x)有意义,则log2x-1≥0,解得x≥2,即函数f(x)的定义域
为[2,+∞).
答案:[2,+∞)
关键能力·合作学习
类型一 利用对数函数的单调性比较大小(逻辑推理、直观想象)
【典例】1.若a=log32,b=log34,c=
,则a,b,c的大小关系正确的是
( )
A.aB.aC.cD.c2.设a=log32,b=log2
,c=2log32,则a,b,c的大小关系是
( )
A.aB.bC.bD.c【思路导引】根据函数的单调性比较大小,借助中间量“0”“1”等进行比较.
【解析】1.选C.因为函数y=log3x是增函数,
所以log34>log32>log31=0,
c=
=-log36<0,所以c2.选B.因为0=log31b=log2
1,
所以a,b,c的大小关系为b【解题策略】
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
提醒:比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小.
【跟踪训练】
1.(2020·烟台高一检测)若a=2-0.3,b=log23,c=log47,则a,b,c的大小关系为
( )
A.aB.bC.cD.a【解析】选D.因为0b=log23=log49>c=log47>log44=1,
所以a,b,c的大小关系为a2.设a=log2e,b=ln
3e,c=e-2(e为自然对数的底数),则a,b,c的大小关系为
( )
A.a>b>c
B.c>a>b
C.b>c>a
D.b>a>c
【解析】选D.因为log22=13e=ln
3+ln
e>2,c=e-2a>c.
【补偿训练】
已知
则
( )
A.2a>2b>2c B.2b>2a>2c
C.2c>2b>2a
D.2c>2a>2b
【解析】选B.由于函数y=
为减函数,因此由
可得
b>a>c,又由于函数y=2x为增函数,所以2b>2a>2c.
类型二 解对数不等式(数学运算)
【典例】解不等式:(1)
(2)logx
>1;
(3)loga(2x-5)>loga(x-1).
【思路导引】(1)直接利用对数函数的单调性求解;
(2)将“1”化为log
xx,然后对x进行分类讨论求解;
(3)将底数a分a>1或0【解析】(1)由题意可得
解得0所以原不等式的解集为(0,2).
(2)当x>1时,logx
>1=logxx,
解得x<
,此时不等式无解.
当0>1=logxx,
解得x>
,所以
综上所述,原不等式的解集为
(3)当a>1时,原不等式等价于
解得x>4.
当0解得
综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};
当0【解题策略】
对数不等式的三种考查类型
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
【跟踪训练】
已知函数f(x)=loga(x+3)在区间[-2,-1]上总有|f(x)|<2,求实数a的取值范围.
【解析】因为x∈[-2,-1],所以1≤x+3≤2.
当a>1时,loga1≤loga(x+3)≤loga2,
即0≤f(x)≤loga2.因为|f(x)|<2,所以
解得a>
.当0loga2≤loga(x+3)≤loga1,
即loga2≤f(x)≤0.因为|f(x)|<2,所以
解得0综上可得,实数a的取值范围是
类型三 对数型函数的定义域(逻辑推理、数学运算)
角度1 简单的对数型函数的定义域?
【典例】函数y=
的定义域为________.?
【思路导引】利用真数大于0解不等式求范围.
【解析】令x2+5x+6>0,解得x<-3或x>-2,
所以函数的定义域为
答案:
【变式探究】
将本例中的函数变为y=
试求函数的定义域.
【解析】由题意
解得
所以x>1,且x≠2,
所以函数的定义域为
角度2 综合的对数型函数定义域?
【典例】1.函数f(x)=
+lg(3x+1)的定义域是________.?
2.函数y=
的定义域为________.?
【思路导引】1.利用分母不为零、被开方数不小于零、真数大于零求定义域.
2.利用被开方数不小于零,真数大于零列不等式组求解.
【解析】1.由
解得-
所以函数的定义域是
答案:
2.由
所以0≤x<
,
所以函数的定义域为
答案:
【解题策略】
常见函数定义域的求法
求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.经常考虑
的几种情况:
①
中f(x)≠0;②
(n∈N
)中f(x)≥0;
③logaf(x)(a>0,且a≠1)中f(x)>0;④logf(x)a(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1;
⑤[f(x)]0中f(x)≠0;⑥求抽象函数或复合函数的定义域,需正确理解函数的
符号及其定义域的含义.
【题组训练】
1.函数y=
+lg(1+x)的定义域为________.?
2.函数y=
的定义域为________.?
【解析】1.由题意得
解得-1所以原函数的定义域为{x|-1答案:{x|-12.由
所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,2).
答案:(-1,0)∪(0,2)
【补偿训练】
已知f(x)的定义域为[0,1],则函数
的定义域为________.?
【解析】在f(x)中,x∈[0,1],
所以0≤
≤1,
所以
≤3-x≤1,解得2≤x≤
.
所以函数
的定义域为
答案:
备选类型 对数型函数的图象变换(直观想象)
【典例】画出下列函数图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调性.
(1)y=log3(x-2);(2)y=
【思路导引】对有关对数函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,
通过平移、伸缩、对称变换得到所要作的函数图象.特别地,当底数与1的大小
关系不确定时应注意分类讨论.
【解析】(1)函数y=log3(x-2)的图象如图所示,其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)上是增函数.
(2)y=
其图象如图所示,
其定义域为(0,+∞),值域为[0,+∞),在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)是增函数.
【解题策略】
对数函数的图象变换的问题
【跟踪训练】
作出函数y=|log2(x+1)|的图象.
【解析】第一步:作y=log2x的图象,如图(1)所示;
第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图象,如图(2)所示;
第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
课堂检测·素养达标
1.已知对数函数的图象过点M(9,2),则此对数函数的解析式为
( )
A.y=log2x
B.y=log3x
C.y=
D.y=
【解析】选B.设函数f(x)=logax(x>0,a>0且a≠1),因为对数函数的图象过点
M(9,2),
所以2=loga9,所以a2=9,a>0,解得a=3.
所以此对数函数的解析式为y=log3x.
2.函数f(x)=ln(1-x)的定义域是
( )
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(1,+∞)
D.(-∞,1)
【解析】选D.要使f(x)有意义,则1-x>0,
所以x<1,所以f(x)的定义域为(-∞,1).
3.如果函数y=log2x的图象经过点A(4,y0),那么y0=________.?
【解析】因为函数y=log2x的图象经过点A(4,y0),
所以y0=log24,所以
=4=22,所以y0=2.
答案:2
4.(教材二次开发:练习改编)设函数f(x)=logax,则f(a+1)与f(2)的大小关系是________.?
【解析】当a>1时,a+1>2,f(x)=logax是增函数,则f(a+1)>f(2);当0a+1<2,f(x)=logax是减函数,则f(a+1)>f(2).综上,f(a+1)>f(2).
答案:f(a+1)>f(2)
5.若log0.1(1-a)>log0.1(2a-1),则a的取值范围是________.?
【解析】因为y=log0.1x是减函数且定义域为(0,+∞),所以0<1-a<2a-1,
即
解得
答案:
第2课时 对数函数及其性质的应用
关键能力·合作学习
类型一 对数函数图象及应用(数学抽象、直观想象)
【典例】1.(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数
(a>0且a≠1)的图象可能是
( )
2.函数f(x)=loga(3x-2)+2的图象恒过点________.?
【思路导引】1.明确指数函数与对数函数的图象及平移变换是关键;
2.根据1的对数等于0这一性质求解.
【解析】1.选D.y=
的图象过
点,排除A,C.y=
与
y=
的单调性相异,可排除B.
2.根据题意,令3x-2=1,
解得x=1,此时y=0+2=2,
所以函数f(x)的图象过定点(1,2).
答案:(1,2)
【解题策略】
对数函数图象过定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).
【跟踪训练】
1.已知a>0,a≠1,则f(x)=
的图象恒过点
( )
A.(1,0)
B.(-2,0)
C.(-1,0)
D.(1,4)
【解析】选B.令
=1,解得:x=-2,
故f(-2)=loga1=0恒成立,
即f(x)=
的图象恒过点(-2,0).
2.函数y=-lg|x|的图象大致是
( )
【解析】选B.因为f(-x)=f(x)是偶函数,所以排除C,D,当x>0时,函数y=-lg
x为
减函数,排除A.
【拓展延伸】
如图所示的曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d,1的大小关系是什么?
提示:作直线y=1,观察与对数函数的图象交点,交点的横坐标即为底数,从左向右,图象对应的底数逐渐变大,即c【拓展训练】
小华同学作出的a=2,3,
时的对数函数y=logax的图象如图所示,则对应于
C1,C2,C3的a的值分别为
( )
A.2,3,
B.3,2,
C.
,2,3
D.
,3,2
【解析】选C.根据对数函数的性质,显然对应于C1,C2,C3的a的值分别为
,2,3.
类型二 有关对数函数的值域与最值问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】求下列函数的值域:
(1)y=log2(x2+4);(2)y=
【思路导引】求出函数的定义域?求出真数的范围?根据对数函数的单调性求
出函数的值域.
【解析】(1)y=log2(x2+4)的定义域是R.
因为x2+4≥4,所以log2(x2+4)≥log24=2.
所以y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
(2)设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
因为u>0,所以0又y=
在(0,+∞)上为减函数,
所以
≥
=-2,所以y=
的值域为[-2,+∞).
【解题策略】
复合函数值域的求法
1.求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值),关键是根据单调性求解,若需换元,需考虑新元的取值范围.
2.对于形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下:
(1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数;
(2)求f(x)的定义域;
(3)求u的取值范围;
(4)利用y=logau的单调性求解.
【跟踪训练】
设函数f(x)=log2(ax-bx)且f(1)=1,f(2)=log212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值.
【解析】(1)由
得
即
解得a=4,b=2.
(2)由(1)知,f(x)=log2(4x-2x).设t=2x,因为x∈[1,3],所以t∈[2,8],令u=4x-
2x=t2-t=
所以当t=8即x=3时,umax=56,故f(x)的最大值为log256.
【拓展延伸】定义域和值域的逆向问题
对于形如y=logaφ(x)的定义域(或值域)为R的问题,关键是抓住对数函数y=logax的定义域和值域,并结合图象来分析和解决问题.
对数函数y=logax的定义域为(0,+∞),值域为R.反过来,要使函数y=logax的值域为R,由图可知,x必须取遍(0,+∞)内所有的值(一个也不能少).
因此,若y=logaφ(x)的定义域为R,则对任意实数x恒有φ(x)>0,特别是当φ(x)是二次函数时,要使y=logaφ(x)的定义域为R,则有二次函数φ(x)的二次项系数大于0,且二次函数φ(x)的Δ<0.
若已知y=logaφ(x)的值域为R,则φ(x)必须取遍(0,+∞)内所有的值(一个也不能少),则对于函数t=φ(x)而言,必须有t=φ(x)的值域包含(0,+∞)(此时y=
logaφ(x)的定义域一般包含于t=φ(x)的定义域之中).反之,若φ(x)≥m(m>0),则当a>1时,有y=logaφ(x)≥logam;当0【拓展训练】
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
【解析】(1)若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R.
当a=0时,x>-
,这与x∈R矛盾,所以a≠0.
因此,不等式需满足
解得a>1.即a的取值范围为{a|a>1}.
(2)若f(x)的值域为R,则ax2+2x+1能取遍一切正数,所以a=0或
解得0≤a≤1.即a的取值范围为{a|0≤a≤1}.
类型三 对数函数性质的综合应用(逻辑推理)
角度1 对数型函数的奇偶性问题?
【典例】函数f(x)=
是
( )
A.偶函数
B.奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【思路导引】利用定义,结合对数的运算判断.
【解析】选B.已知函数的定义域是R,关于原点对称,
因为
=
所以f(x)是奇函数.
【变式探究】
本例中将函数变为
试判断函数f(x)的奇偶性.
【解析】由
解得-1所以函数的定义域为
关于原点对称,
所以
所以函数f(x)是奇函数.
角度2 求下列函数的单调区间:?
【典例】(1)y=
(2)y=
-2log0.4x+2.
【思路导引】本题主要考查复合函数单调区间的求法,求解时要先求函数的定
义域.
【解析】(1)由题意知x2+4x-12>0,依据二次函数y=x2+4x-12的图象可得x>2或x<-6.
且y=x2+4x-12在(-∞,-6)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.又y=lo
x是(0,+∞)上的减函数,
所以依据复合函数的单调性知所求函数的单调递增区间是(-∞,-6),单调递减区间是(2,+∞).
(2)令t=log0.4x,且t=log0.4x在(0,+∞)上单调递减.
又y=t2-2t+2=(t-1)2+1在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减,由t=log0.4x≥1,得0 角度3 利用函数的单调性求参数的取值范围?
【典例】1.若函数f(x)=ln(x2-ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增,则实数a的取
值范围是
( )
A.(-∞,4]
B.
C.
D.
2.函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是________.?
【思路导引】1.分层分析单调性,再复合.
2.首先根据函数的单调性确定a与1的关系,再限定真数大于0.
【解析】1.
选C.设g(x)=x2-ax+1,
则要使f(x)=ln(x2-ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增,由复合函数单调性可得:
满足
即实数a的取值范围是
2.因为函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,而函数t=ax-3在[1,3]上单调递增,
根据复合函数的单调性可得a>1,且a-3>0,
解得a>3.
答案:a>3
【解题策略】
1.与对数函数有关的奇偶性问题
判断与对数函数有关的奇偶性时,依据是奇偶性的定义,关键是利用对数的运算
性质对
进行变形,注意运算logab-1=-logab、分子分母有理化等的应用.
2.形如函数y=loga
的单调性
首先要确保f(x)>0,
当a>1时,y=logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y=f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y=f(x)的单调性相反.
【题组训练】
1.函数f(x)=
的图象
( )
A.关于x轴对称
B.关于原点对称
C.关于直线y=x对称
D.关于y轴对称
【解析】选B.因为函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<-2},关于原点对称,
又f(x)=
f(-x)=
=-f(x),所以函
数f(x)为奇函数,即其图象关于原点对称.
2.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上单调递减,则a的取值范围为
( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(0,2)
D.(2,+∞)
【解析】选B.因为f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上单调递减,所以f(0)>f(1),即
loga2>loga(2-a),
所以
所以13.函数f(x)=log5
的单调增区间是________.?
【解析】因为y=log5x与y=2x+1均为增函数,故结合函数f(x)的定义域可知函数
f(x)的单调增区间是
答案:
4.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1),在区间
内恒有f(x)>0,则f(x)的
单调递增区间为________.?
【解析】令y=2x2+x,x∈
,
则y∈
因为f(x)>0,所以0令2x2+x>0,解得x<-
或x>0,
因为y=2x2+x在
上是减函数,
所以f(x)的单调递增区间为
.
答案:
【补偿训练】
1.函数f(x)=
的单调递增区间是________.?
【解析】由x2-4>0,得x∈(-∞,-2)∪(2,+∞),
令t=x2-4,由于函数t=x2-4的对称轴为y轴,
开口向上,所以t=x2-4在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,又由函数y=
是
定义域内的减函数,所以原函数在(-∞,-2)上递增.
答案:(-∞,-2)
2.已知函数f(x)=lg(x2-2ax-a)在区间(-∞,-3)上是减函数,求实数a的取值范围.
【解析】设u(x)=x2-2ax-a.因为f(x)在(-∞,-3)上是减函数,所以由复合函数的
单调性可知,u(x)在(-∞,-3)上是减函数,且u(x)>0在(-∞,-3)上恒成立.
又u(x)=(x-a)2-a-a2在(-∞,a)上是减函数.
所以
所以a≥
所以满足条件的a的取值范围是
类型四 求函数的反函数(数学运算)
【典例】求下列函数的反函数.
(1)y=
(2)y=5x+1.
【思路导引】按照求反函数的基本步骤求解即可.
【解析】(1)由y=
,得x=
且y>0,
所以f-1(x)=
(x>0).
(2)由y=5x+1,得x=
所以f-1(x)=
(x∈R).
易错关注点:对调x,y的位置后要注意x的取值范围.
【解题策略】
求函数y=f(x)的反函数的步骤
(1)反解:把y作为已知解出x,得x=f-1(y);
(2)改写:交换x,y得y=f-1(x);
(3)互换:写出反函数的定义域即原函数的值域,标在解析式后边的括号内.
【跟踪训练】
函数f(x)=
的反函数f-1(x)=________.?
【解析】令y=
,对调其中的x和y,
得x=
解得y=x3+1,
函数f(x)的反函数为f-1(x)=x3+1.
答案:x3+1
课堂检测·素养达标
1.函数y=3+loga(2x+3)的图象必经过定点P的坐标为
( )
A.(-1,3)
B.(-1,4)
C.(0,1)
D.(2,2)
【解析】选A.令2x+3=1,求得x=-1,y=3,故函数y=3+loga(2x+3)的图象必经过定点P的坐标为(-1,3).
2.已知f(x)=2+log3x,x∈
则f(x)的最小值为
( )
A.-2
B.-3
C.-4
D.0
【解析】选A.因为
≤x≤9,
所以log3
≤log3x≤log39,即-4≤log3x≤2,
所以-2≤2+log3x≤4.所以当x=
时,f(x)min=-2.
3.函数y=|log2x|的图象是图中的
( )
【解析】选A.y=|log2x|的图象是将y=log2x的图象在x轴下方的部分沿x轴向上
翻折得到的.
4.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=
的定义域是
________.?
【解析】由题意知,f(x)>0,由所给图象可知f(x)>0的解集为{x|2答案:{x|25.(教材二次开发:习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0
时,f(x)=
(1)求f(0),f(1);
(2)求函数f(x)的解析式.
【解析】(1)因为当x≤0时,f(x)=
,
所以f(0)=0.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(1)=f(-1)=
=
=-1,即f(1)=-1.
(2)令x>0,则-x<0,
所以f(-x)=
=f(x),
所以当x>0时,f(x)=
所以函数f(x)的解析式为f(x)=(共2张PPT)
6.3 对
数
函
数
