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课时素养评价
三十二 任 意 角
(15分钟 30分)
1.(2020·娄底高一检测)下列各角中与225°角终边相同的是
( )
A.585°
B.315°
C.135°
D.45°
【解析】选A.与225°终边相同的角为α=225°+k·360°,k∈Z,
取k=1,得α=585°,所以585°与225°终边相同.
2.将-885°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是
( )
A.-165°+(-2)×360°
B.195°+(-3)×360°
C.195°+(-2)×360°
D.165°+(-3)×360°
【解析】选B.-885°=195°+(-3)×360°,0°≤195°<360°.
3.若α是第四象限角,则180°-α是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选C.可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
4.(2020·浦东高一检测)-215°是第________象限角.?
【解析】-215°=-360°+145°,是第二象限角.
答案:二
5.写出与75°角终边相同的角β的集合,并求在360°～1
080°范围内与75°角终边相同的角.
【解析】与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1
080°时,
即360°≤k·360°+75°<1
080°,
解得≤k<2.又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;
当k=2时,β=795°.
所以,与75°角终边相同且在360°～1
080°范围内的角为435°角和795°角.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是
( )
A.120°
B.60°
C.180°
D.240°
【解析】选D.因为与-120°终边相同角的集合为{α|α=-120°+k·360°,k∈Z}.
取k=1,可得在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是240°.
2.(2020·西昌市高一检测)终边在第三象限,则θ的终边可能在
( )
A.第一三象限
B.第二四象限
C.第一二象限或y轴非负半轴上
D.第三四象限或y轴非正半轴上
【解析】选C.因为终边在第三象限,
所以180°+k·360°<<270°+k·360°,k∈Z,
所以360°+2k·360°<θ<540°+2k·360°,k∈Z.
(2k+1)·360°<θ<180°+(2k+1)·360°,k∈Z.
所以θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴上.
3.α满足180°<α<360°,5α与α有相同的始边,且有相同的终边,那么α=
( )
A.225°
B.240°
C.270°
D.300°
【解析】选C.因为5α=α+k·360°,k∈Z,
所以α=k·90°,k∈Z.
又因为180°<α<360°,
所以α=270°.
4.(多选题)在下列四个角中,属于第二象限角的是
( )
A.160°
B.480°
C.-960°
D.1
530°
【解析】选ABC.A中,160°是第二象限角;
B中,480°=120°+360°是第二象限角;
C中,-960°=-3×360°+120°是第二象限角;
D中,1
530°=4×360°+90°不是第二象限角.
【误区警示】判断角所在的象限时,先在0°～360°内找到与已知角终边相同的角,判断这个角所在的象限,即原角所在的象限.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向匀速沿单位圆周旋转,已知P点在1
s内转过的角度为θ
(0°<θ<180°),经过2
s到达第三象限,经过14
s后又回到了出发点A处,则θ=________.?
【解题指南】因为2
s到达第三象限,
所以k·360°+180°<2θ又因为经过14
s后又回到了出发点,
所以14θ=n·360°(n∈Z).
【解析】因为0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ则一定有k=0,于是90°<θ<135°.
又因为14θ=n·360°(n∈Z),
所以θ=°,
从而90°<°<135°,
所以所以n=4或5.
当n=4时,θ=°;
当n=5时,θ=°.
答案:°或°
6.如果将钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是________度,分针所转成的角度是________度.?
【解析】由题意结合任意角的定义可知,钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是-×=-5°,
分针所转成的角度是-×360°=-60°.
答案:-5 -60
三、解答题
7.(10分)已知,如图所示.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解析】(1)终边落在OA位置上的角的集合为
{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)阴影部分(包括边界)的角的集合可表示为
{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
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PAGE(共47张PPT)
7.1.1 任 意 角
必备知识·自主学习
导思
1.体操中“前空翻转体540度”
“后空翻转体720度”是什么意思?
2.任意角可以分为哪几类?
3.什么是终边相同的角?
1.任意角
(1)角的分类
类型
定义
图示
正
角
一条射线绕其端点,
按_______方向旋转
形成的角
负
角
一条射线绕其端点,
按_______方向旋转
形成的角
零
角
一条射线没有做任
何旋转
逆时针
顺时针
(2)本质:将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.
(3)应用:可以定义任意的旋转角.
2.象限角
角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴_______,建立平面直角坐标系,这样,角的
终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是___________.如果角的终边在坐标
轴上,称这个角为轴线角.
3.终边相同的角
(1)定义:所有与角α终边相同的角,连同角α在内.
(2)表示:集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(3)本质:表示成角α与整数个周角的和.
正半轴
第几象限角
【思考】
反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相
同的角?
提示:当角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,表示角α与β相隔整数
个周角,即角α,β终边相同.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)经过1小时,时针转过30°.
( )
(2)终边与始边重合的角是零角.
( )
(3)第二象限的角是钝角.
( )
提示:(1)×,因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°.
(2)×,终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
(3)×,钝角是第二象限的角,但第二象限角不一定是钝角.
2.与45°角终边相同的角是
( )
A.-45° B.225° C.395° D.-315°
【解析】选D.与45°角终边相同的角可以表示为45°+k·360°,k∈Z,结合四
个选项可以发现只有答案D符合题意.
3.(教材二次开发:例题改编)已知0°≤α<360°,且α与600°角终边相同,则α=______,它是第______象限角.?
【解析】因为600°=360°+240°,所以240°角与600°角终边相同,且
0°≤240°<360°,故α=240°,它是第三象限角.
答案:240° 三
关键能力·合作学习
类型一 任意角的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.(2020·杭州高一检测)下列说法:①终边相同的角必相等;②锐角必是第一象限角;③小于90°的角是锐角;④第二象限的角必大于第一象限的角;⑤若角α的终边经过点M(0,-3),则角α是第三或第四象限的角,其中错误的是
( )
A.③④⑤
B.①③④
C.①③④⑤
D.②③④⑤
2.给出下列四个命题:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第三象限角;④-310°是第一象限角.其中正确的命题有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________.?
【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误,如0°与360°终边相同,但不相等;
②锐角α的范围为0°<α<90°,必是第一象限角,正确;
③小于90°的角是锐角错误,如负角;
④第二象限的角必大于第一象限的角错误,如120°是第二象限角,390°是第一象限角;
⑤若角α的终边经过点M(0,-3),则角α是终边在y轴负半轴上的角,故⑤错误.
其中错误的是①③④⑤.
2.选C.因为-90°<-75°<0°,所以-75°是第四象限角,正确;因为
180°<225°<270°,所以225°是第三象限角,正确;因为
360°+90°<475°<360°+180°,所以475°是第二象限角,错误;因为
-360°<-310°<-270°,所以-310°是第一象限角,正确.所以这四个命题中有3
个是正确的.
3.分针每分钟转6°,由于顺时针旋转,所以20分钟转了-120°.
答案:-120°
【解题策略】
根据角的概念解题的关键
(1)准确理解各个象限内角的特点,逐个判断所在的象限.
(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向,所以所得的角应该是负角.
【补偿训练】已知集合A={第一象限角},B=
{锐角},C={小于90°的角},则下面关系正确的是
( )
A.A=B=C
B.A?C
C.A∩C=B
D.(B∪C)?C
【解析】选D.由已知得B?C,所以B∪C=C,故D正确.
类型二 终边相同的角的表示及应用(直观想象)
【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
四步
内容
理解
题意
条件:角的终边在直线y=x上.
结论:①求角的集合;
②求适合-360°≤β<720°的角.
思路
探求
①在0°～360°内找到终边在y=x上的角;
②推广到任意角;
③找出-360°≤β<720°内的角.
四步
内容
书写
表达
直线y=x与x轴的夹角是45°,在0°～360°范围内,终边在直线y=x上
的角有两个:45°,225°.①
因此,终边在直线y=x上的角的集合:
S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|
β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|
β=45°+n·180°,n∈Z}.②
所以S中适合-360°≤β<720°的元素是:
45°-2×180°=-315°;45°-1×180°=-135°;
45°+0×180°=45°;45°+1×180°=225°;
45°+2×180°=405°;45°+3×180°=585°.
注意解题过程的规范性:
①终边在直线y=x上注意讨论两种情况.
②这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合.
四步
内容
题后
反思
在0°～360°范围内,终边在y=x上的角有两个,这是同学们容易忽视的地方;最后在-360°～720°求角时,要适当选取k的值.
【解题策略】
(1)一般地,可以将所给的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α<360°,
k∈Z),其中的α就是所求的角.
(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到要求为止.
特别提醒:表示终边相同的角时,k∈Z这一条件不能省略.
【跟踪训练】
1.(2020·济南高一检测)下列各角中,与30°角终边相同的角是
( )
A.-390°
B.-330°
C.330°
D.570°
【解析】选B.与30°角终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°,k∈Z},
取k=-1,可得α=-330°,所以与角30°终边相同的角是-330°.
2.写出终边落在x轴上的角的集合S.
【解析】S={α|α=k·360°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°,k∈Z}
={α|α=2k·180°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|α=n·180°,n∈Z}.
【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下四点:
(1)k是整数,这个条件不能漏掉.
(2)α是任意角.
(3)k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),
k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,
它们相差周角的整数倍.
【拓展训练】
写出与α=-1
910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式
-720°≤β<360°的元素β写出来.
【解析】与α=-1
910°终边相同的角的集合为
{β|β=k·360°-1
910°,k∈Z}.
因为-720°≤β<360°,即-720°≤k·360°-1
910°<360°(k∈Z),所以
3
≤k<6
(k∈Z),故取k=4,5,6.
k=4时,β=4×360°-1
910°=-470°;
k=5时,β=5×360°-1
910°=-110°;
k=6时,β=6×360°-1
910°=250°.
类型三 象限角及其应用(直观想象)
角度1 用不等式组表示角的集合?
【典例】如图所示.
(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【思路导引】(1)根据题目给出的角度分别写出OA,OB表示的角.
(2)根据阴影部分写出不等式,注意两个角的先后顺序.
【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.
【变式探究】
如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.
【解析】设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°+30°≤α②{α|k·360°+210°≤α所以角α的集合应当是集合①与②的并集,即
S={α|k·360°+30°≤α{α|k·360°+210°≤α={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}∪
{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}
={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}
={α|n·180°+30°≤α 角度2 nα或
所在象限的判定?
【典例】若α是第二象限角,则2α,
分别是第几象限的角?
【思路导引】根据已知条件,用不等式表示出α的范围,再求出nα或
的范围,
然后判定所在象限即可.
【解析】(1)因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°,
所以2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的负半轴上.
(2)因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
所以45°+k·180°<
<90°+k·180°(k∈Z).
①当k=2n(n∈Z)时,
45°+n·360°<
<90°+n·360°(n∈Z),
即
是第一象限角;
②当k=2n+1(n∈Z)时,
225°+n·360°<
<270°+n·360°(n∈Z),
即
是第三象限角.
故
是第一或第三象限角.
【解题策略】关于角nα或
象限的确定
(1)由α的范围,表示出nα,
的范围,由n的取值确定象限.
(2)特别地,求
所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标
记一,二,三,四,找到原象限数字即可.
【题组训练】
1.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在
( )
A.第四象限
B.第一、二象限
C.第一象限
D.第二、四象限
【解析】选D.令k=0,α=-60°,在第四象限;
再令k=1,α=-60°+180°=120°,在第二象限.
2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是
________.?
【解析】观察图形可知,角α的集合是
{α|k·360°+45°<α答案:{α|k·360°+45°<α3.若角α是第一象限角,则
(1)-α是第________象限角;?
(2)
是第________象限角.?
【解析】因为α是第一象限角,所以k·360°<α(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z),所以-α是第四象限角.
(2)方法一(分类讨论):k·120°<
当k=3n(n∈Z)时,
n·360°<
所以
是第一象限角;
当k=3n+1(n∈Z)时,
n·360°+120°<
所以
是第二象限角;
当k=3n+2(n∈Z)时,
n·360°+240°<
所以
是第三象限角.
综上可知,
是第一或第二或第三象限角.
方法二(几何法):如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的正向的上方起,依次将
各区域标上1,2,3,4,则标有1的区域即为
角的终边落在的区域,故
为第一
或第二或第三象限角.
答案:(1)四 (2)一或二或三
【补偿训练】已知α为第一象限角,求180°-
是第________象限角.?
【解析】因为α为第一象限角,
所以k·360°<α所以k·180°<
所以-45°-k·180°<-
<-k·180°,k∈Z,
所以135°-k·180°<180°-
<180°-k·180°,k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,135°-n·360°<180°-
<180°-n·360°,为第二象限角;
当k=2n+1(n∈Z)时,-45°-n·360°<180°-
<-n·360°,为第四象限角.
所以180°-
是第二或第四象限角.
答案:二或四
课堂检测·素养达标
1.在下列说法中,正确的是
( )
①时钟经过两个小时,时针转过的角是60°;
②钝角一定大于锐角;
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°;
④-2
000°是第二象限角.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解析】选D.①时钟经过两个小时,时针按顺时针方向旋转60°,因而转过的角为-60°,所以①不正确.②钝角α的取值范围为90°<α<180°,锐角θ的取值范围为0°<θ<90°,因此钝角一定大于锐角,所以②正确.③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°,所以③不正确.④-2
000°=-6×360°+160°与160°终边相同,是第二象限角,所以④正确.
2.179°角是
( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选B.
179°是第二象限角.
3.(教材二次开发:练习改编)与-457°角终边相同的角的集合是
( )
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
【解析】选C.-457°=-2×360°+263°,所以与-457°角终边相同的角的集合
是{α|α=k·360°+263°,k∈Z}.
4.若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°(m,k∈Z),则角α与β的终边的
位置关系是
( )
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】选D.角α的终边和60°角的终边相同,角β的终边与120°角终边相同,
因为180°-120°=60°,所以角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称.
5.2
021°角是第________象限角.?
【解析】因为2
021°=5×360°+221°,因为221°角在第三象限,所以2
021°
是第三象限角.
答案:三
