(共39张PPT)
7.1.2 弧 度 制
必备知识·自主学习
1.弧度制
(1)弧度制
①1弧度的角:长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
②表示方法:1弧度记作1
rad.
③角的弧度数由角的大小唯一确定,而与其为圆心角所在圆的大小(半径)无关.
④用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
导思
1.物体质量可以用千克、磅等不同的单位制,那么角除了角度制外还有没有别的度量方法?
2.角度制与弧度制怎样互化?
半径长
(2)角的弧度数的计算
在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α
rad,那么,|α|=___.
(3)本质:角的两种不同的度量模式,适用情况不同,而且弧度是表示角的默认单
位.
(4)应用:角度制更容易理解和运算,与小学、初中知识更容易衔接;弧度制表示
角应用更广泛,与实数一一对应.
【思考】
初中学习的角度制是怎样定义的?1°角是多少?
提示:定义:用度为单位来度量角的单位制;
1度的角:周角的
为1度角,记作1°.
2.角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°=____
rad
2π
rad=______
180°=___
rad
π
rad=
______
1°=
rad≈
0.017
45
rad
1
rad=
≈57.30°
度数×
=弧度数
弧度数×
=度数
2π
360°
π
180°
【思考】
角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间换算的关键是什么?
提示:计算时,我们要特别注意π
rad=180°,用这个公式进行互化即可.
3.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则
(1)弧长公式:l=____.
(2)扇形面积公式:S=_____=______.
lR
αR2
αR
【思考】
初中学过的半径为r,圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么?
提示:半径为r,圆心角为n°的扇形弧长公式为l=
,扇形面积公式为S扇=
.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.
( )
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关.
( )
(3)
1弧度的角是周角的
.
( )
提示:(1)×.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角.
(2)×.“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角,当半径变大时,
弧也变大,弧长与半径比值是一个定值,所以与所在圆的半径大小无关.
(3)×.1弧度的角是周角的
.
2.(教材二次开发:例题改编)将角1
080°化为弧度制等于
( )
A.1
080 B.
C.
D.6π
【解析】选D.1
080°=180°×6,所以1
080°化为弧度制是6π.
3.半径为2,圆心角为
的扇形的面积是________.?
【解析】由已知得S扇=
答案:
关键能力·合作学习
类型一 弧度与角度的互化(数学运算)
【题组训练】
1.角
化为角度是________.?
2.已知α=15°,β=
,γ=1,θ=105°,φ=
,试比较α,β,γ,θ,φ的大小.
【解析】
1.
.
答案:252°
2.方法一(化为弧度):
α=15°=15×
=
,θ=105°=105×
=
.
显然
<
<1<
,故α<β<γ<θ=φ.
方法二(化为角度):
β=
=
×
=18°,γ=1≈57.30°,
φ=
×
=105°.
显然,15°<18°<57.30°<105°,
故α<β<γ<θ=φ.
【解题策略】
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π
rad=180°.
(2)方法:度数×
=弧度数;弧度数×
=度数.
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
【补偿训练】将下列角度与弧度进行互化:
(1)
π=________;(2)-
=________;?
(3)10°=________;(4)-855°=
________.?
【解析】(1)
π=
×180°=15
330°.
(2)-
=-
×180°=-105°.
(3)10°=10×
=
.
(4)-855°=-855×
=-
.
答案:(1)15
330° (2)-105° (3)
(4)-
类型二 利用弧度制表示角(数学运算)
【典例】1.在0到2π范围内,与角-
终边相同的角是
( )
A.
B.
C.
D.
2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(包括边界)的角θ的集合.
【思路导引】1.先根据终边相同的角的关系写出集合,再在0到2π上找到符合
题意的角即可.
2.先在0～π内找到边界表示的角,加上kπ即可,注意边界的实虚线的不同表示
方法.
【解析】1.选C.与角-
终边相同的角是2kπ+
,k∈Z,令k=1,可得与角
-
终边相同的角是
.
2.因为30°=
rad,210°=
rad,
这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线AB上的角为α=kπ+
,k∈Z,
而终边在y轴上的角为β=kπ+
,k∈Z,从而终边落在阴影部分内的角的集合
为
【解题策略】
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
【跟踪训练】
1.下列与
的终边相同的角的表达式中,正确的是
( )
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+
(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+
(k∈Z)
2.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
【解析】1.选C.A,B中弧度与角度混用,不正确;
π=2π+
,所以
π与
终
边相同.-315°=-360°+45°,所以-315°也与45°终边相同.
D中kπ+
π(k∈Z),当k=1时,kπ+
π=
π,但当k=0时,kπ+
π=
π与
π
终边不同.
2.330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即-
,而
75°=75×
=
,所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
类型三 扇形的弧长公式及面积公式(数学运算)
角度1 利用公式求弧长和面积?
【典例】已知扇形圆心角为
,面积为
,则扇形的弧长等于
( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】利用扇形面积计算公式求出扇形的半径,再用弧长公式求弧长即
可.
【解析】选C.设圆的半径为r,则
,解得r=2(负值舍去).
所以扇形的弧长:l=2×
.
【变式探究】
一个扇形的弧长与面积的数值都是6,则这个扇形的圆心角是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.设扇形的圆心角的弧度数为θ,半径为R,由题意,得
解得θ=3.
角度2 利用公式求扇形面积的最值?
【典例】已知扇形的周长是40
cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
【思路导引】设扇形的半径为r,弧长为l,根据扇形的周长为40,用半径r表示弧长l,把面积S写成半径r的二次函数,求最值即可.
【解析】设扇形的半径为r,面积为S,弧长为l,圆心角为α(0<α<2π),
则l+2r=40,故l=40-2r,
又因为S=
lr=
(40-2r)r=-r2+20r
=-(r-10)2+100(0所以当r=10
cm时,扇形面积最大,
此时l=40-2×10=20(cm),
α=
=2,最大面积为100
cm2.
【解题策略】
(1)要根据已知量、未知量之间的关系,合理选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.
(2)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利用函数知识求最值,一般多利用二次函数的最值求解.
1.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4,那么这个圆心角所对的弧长为
( )
A.2
B.
C.2sin
1
D.
【解析】选D.连接圆心B与弦AC的中点F,则以弦心距BF、弦AC的一半AF、半径
AB为长度的线段构成一个直角三角形,AF为2,其所对的圆心角∠ABF=1,故半径
|AB|=
.这个圆心角所对的弧长为2×
=
.
2.已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2,则这个圆心角所对的弓形面积是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.如图所示,
扇形中60°的圆心角所对的弦长是2,
所以△AOB为等边三角形,
其面积为
×2×2×sin
60°=
;
又扇形的面积为
×π×22=
,
所以弓形面积为
.
3.若扇形OAB的面积是1
cm2,它的周长是4
cm,则该扇形圆心角的弧度数为____.?
【解析】设该扇形圆心角的弧度数是α,半径为r,
根据题意,有
解得,α=2,r=1.
答案:2
课堂检测·素养达标
1.下列说法中,错误的是
( )
A.半圆弧所对的圆心角是π
rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【解析】选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误.
2.1
920°的角化为弧度数为
( )
A.
rad
B.
rad
C.
π
rad
D.
π
rad
【解析】选D.因为1°=
rad,所以1
920°=1
920×
=
π
rad.
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为
( )
A.
π
B.-
π
C.
π
D.-
π
【解析】选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了
周,转过的
弧度为-
×2π=-
π.
4.若某扇形的弧长为
,圆心角为
,则该扇形的半径是
( )
A.
B.
C.1 D.2
【解析】选D.设扇形的半径为r,因为扇形的弧长为
,圆心角为
,所以由扇
形的弧长公式可得:
=
×r,解得r=2.
5.(教材二次开发:练习改编)在直径为20
cm的圆中,150°的圆心角所对的弧长
为________.?
【解析】150°=150×
=
,半径R=10
cm,
所以l=αR=
×10=
(cm).
答案:
cm温馨提示：
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课时素养评价
三十三 弧 度 制
(15分钟 30分)
1.(2020·洛阳高一检测)把-765°化成2kπ+α(0≤α<2π),k∈Z的形式是
( )
A.-4π- B.-4π+
C.-6π-
D.-6π+
【解析】选D.-765°=-720°-45°=-1
080°+315°=-6π+.
【补偿训练】
下列各式不正确的是
( )
A.-210°=-
B.405°=
C.335°=
D.705°=
【解析】选C.对于A,-210°=-210×=-,正确;
对于B,405°=405×=,正确;
对于C,335°=335×=,错误;
对于D,705°=705×=,正确.
2.角-π的终边所在的象限是
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.-π=-4π+π,因为π的终边在第四象限,所以-π的终边在第四象限.
3.终边经过点(a,a)(a≠0)的角α的集合是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为角α的终边经过点(a,a)(a≠0),
所以角α的终边落在直线y=x上,
所以角α的集合是.
4.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为________.?
【解析】60°=,扇形的面积为S扇形=αR2=××()2=π.
答案:π
5.已知α=1
690°.
(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式.
(2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).
【解析】(1)1
690°=1
440°+250°
=4×360°+250°=4×2π+π.
(2)因为θ与α终边相同,
所以θ=2kπ+π(k∈Z).
又θ∈(-4π,4π),
所以-4π<2kπ+π<4π,
所以-所以k=-2,-1,0,1.
所以θ的值是-π,-π,π,π.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.扇形的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,则
( )
A.扇形的圆心角大小不变
B.扇形的圆心角增大到原来的2倍
C.扇形的圆心角增大到原来的4倍
D.扇形的圆心角减小到原来的一半
【解析】选A.设扇形原来的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则变化后半径为2r,弧长为2l,圆心角为β,所以α=,β===α,即扇形的圆心角大小不变.
2.集合中,角的终边所在的范围(阴影部分)是
( )
【解析】选C.当k=2m,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z.
3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦+矢)×矢,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径等于20米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
( )
(参考数据:π≈3.14,≈1.73)
A.220平方米
B.246平方米
C.223平方米
D.250平方米
【解析】选C.由题意可得∠AOB=,|OA|=20米,
在Rt△AOD中,可得∠AOD=,∠DAO=,
|OD|=|AO|=×20=10(米),
可得:矢=20-10=10(米),
由|AD|=|AO|·sin=20×=10(米),
可得:弦=2|AD|=2×10=20(米),
所以弧田面积=(弦+矢)×矢=(20+10)×10≈223(平方米).
4.(多选题)若α角与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选AD.依题意,α=2kπ+,k∈Z,
所以=+,k∈Z,
又∈[0,2π],
所以k=0,=;
k=1,=;
k=2,=;
k=3,=.所以选项AD正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图是一个半径为R的扇形,它的周长为4R,则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是________.?
【解析】因为弧长l=4R-2R=2R,
所以圆心角α==2,
所以S弓形=S扇形-S三角形
=αR2-(2Rsin
)·(Rcos
)
=×2×R2-R2sin
1·cos
1
=R2(1-sin
1cos
1).
答案:R2(1-sin
1cos
1)
6.(2020·丽水高一检测)如图所示,用两种方案将一块顶角为120°,腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形,设方案一、二扇形的面积分别为S1,S2,周长分别为l1,l2,则S1________S2;l1________l2(选填“>”“<”或“=”)?
【解析】方案一:
∠A=,|OA|=2,则S1=××4=,l1=4+×2=4+;
方案二:连接OD,∠AOB=,扇形的半径|OD|=1,则S2=××1=,l2=1+1+×1=2+,则S1=S2,l1-l2=4+-2-=2->0.
所以S1=S2,l1>l2.
答案:= >
三、解答题
7.(10分)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α(0<α<π)的大小.
(2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解析】(1)因为圆O的半径为10,弦AB的长为10,所以△AOB为等边三角形,因为0<α<π,所以α=∠AOB=.
(2)设扇形半径为r,则r=10,
因为α=,所以l=α·r=,
S扇形=lr=××10=.
又S△AOB=×10×10×=25,
所以S=S扇形-S△AOB=-25.
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