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课时素养评价
三十五 任意角的三角函数(二)
(15分钟 30分)
1.已知角α的正弦线的长度为1,则角α的终边在
( )
A.x轴上
B.y轴上
C.x轴的正半轴上
D.y轴的正半轴上
【解析】选B.若正弦线长度为1,则sin
α=±1,
所以角α终边在y轴上.
【补偿训练】
依据三角函数线,作出如下四个判断:
①sin=sin;②cos=cos;
③tan
>tan
;④sin>sin.
其中判断正确的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.根据下列四个图形,容易判断正确的结论有②④.
2.设a=tan
35°,b=cos
55°,c=sin
23°,则
( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
【解析】选A.由题可知,b=cos
55°=sin
35°,
sin
35°>sin
23°,有b>c,利用三角函数线比较tan
35°,sin
35°,如图,
通过比较三角函数线可知,tan
35°>sin
35°,
则有a>b,综上,a>b>c.
3.函数y=-2+tan
的定义域是
( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解析】选A.由-+kπ
4.若0<α<2π,且sin
α<,cos
α>,利用三角函数线,得到α的取值范围是______________.?
【解析】如图所示,
根据三角函数线得α的终边落在∠AOB区域内,
所以α的取值范围是∪.
答案:∪
5.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
(1)sin
α=;(2)cos
α=-.
【解析】(1)作直线y=交单位圆于P,Q两点,则OP与OQ为角α的终边,如图甲.
(2)作直线x=-交单位圆于M,N两点,则OM与ON为角α的终边,如图乙.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.点P(sin
3-cos
3,sin
3+cos
3)所在的象限为
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为π<3<π,作出单位圆如图所示.
设MP,OM分别为a,b.sin
3=a>0,cos
3=b<0,所以sin
3-cos
3>0.因为|MP|<|OM|,
即|a|<|b|,所以sin
3+cos
3=a+b<0.
故点P(sin
3-cos
3,sin
3+cos
3)在第四象限.
2.使sin
x≤cos
x成立的x的一个区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.如图所示,画出三角函数线
sin
x=MP,cos
x=OM,由于sin
=cos,sin=cos,为使sin
x≤cos
x成立,
由图可得在[-π,π]范围内,-≤x≤.
3.函数y=+的定义域是
( )
A.(2kπ,2kπ+π),k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.[2kπ,2kπ+π],k∈Z
【解析】选B.由sin
x≥0,-cos
x≥0,得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角,所以2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.
4.(多选题)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且符号相同,那么α的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选AC.由题意可知α的终边为一、三象限的平分线,且0<α<2π,故得α=或.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若θ∈,则sin
θ的取值范围是________.?
【解题指南】在单位圆中,分别作出,的正弦线,根据正弦线求出sin
θ的范围.
【解析】如图所示,作出和的正弦线,
可得sin
θ∈.
答案:
【补偿训练】
若θ∈,则下列各式正确的是______.(填序号)?
①sin
θ+cos
θ<0;②sin
θ-cos
θ>0;
③|sin
θ|<|cos
θ|;④sin
θ+cos
θ>0.
【解析】若θ∈,
则sin
θ>0,cos
θ<0,sin
θ<|cos
θ|,
所以sin
θ+cos
θ<0.
答案:①②③
6.已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0),则y=______,tan
α=______.?
【解析】因为点P(y<0)在单位圆上,
则+y2=1,所以y=-,所以tan
α=-.
答案:- -
三、解答题
7.(10分)在[0,2π]内求函数f(x)=+
ln的定义域.
【解析】由题意,得自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,
即定义域为.
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PAGE(共44张PPT)
7.2.1 任意角的三角函数(一)
必备知识·自主学习
1.三角函数的定义(坐标法)
(1)在角α的终边上异于原点,任取一点P(x,y),
它与原点的距离是r,则r=
=
,根据三角函数定义
得出角α的三角函数的正弦、余弦、正切.
sin
α=
=____,cos
α=
=____,tan
α=
=____.
导思
1.在平面直角坐标系中怎样定义三角函数?
2.怎样求特殊角的三角函数值?
(2)本质:用坐标法定义三角函数,是根据角终边上点的坐标,构造直角三角形,将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合,简单易行,便于学生理解、掌握.
(3)应用:适用于求任意角的三角函数值,特别是弧度制条件下角的三角函数值.
【思考】
初中学习的锐角三角函数的定义是什么?
提示:
如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则:
sin
B=
=
,
cos
B=
=
,
tan
B=
=
.
2.三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:sin
α=__;cos
α=__;tan
α=__(x≠0).
y
x
【思考】
什么是单位圆?
提示:单位圆是指圆心在原点,半径为单位长度的圆.
3.三角函数值的符号
(1)图形表示:
(2)记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【思考】
三角函数值在各象限的符号由什么决定?
提示:三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从
原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此,三角函数在各象限的符号
由角α的终边所在象限决定.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)sin
α表示sin
与α的乘积.
( )
(2)已知α是三角形的内角,则必有cos
α>0.
( )
(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.
( )
提示:(1)×.sin
α表示角α的正弦值,是一个“整体”.
(2)×.当α为钝角时,cos
α<0.
(3)×.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在.
2.(教材二次开发:例题改编)(2020·常州高一检测)已知角α的终边经过
点P(4,-3),则tan
α=
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选A.因为角α的终边经过点P(4,-3),所以x=4,y=-3,则tan
α=
=-
.
3.已知sin
α=
,cos
α=-
,则角α所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为sin
α=
>0,所以α在第一、二象限或y轴的非负半轴上.
又因为cos
α=-
<0,
所以α在第二、三象限或x轴的非正半轴上,
所以α在第二象限.
关键能力·合作学习
类型一 定义法求三角函数值(数学运算、逻辑推理)
【题组训练】
1.(2020·淮安高一检测)已知角α的终边经过点P(-2,4),则sin
α-cos
α的值等于
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.因为角α的终边经过点P(-2,4),
所以sin
α=
=
,
cos
α=
=-
,则sin
α-cos
α=
.
2.已知α=
,则sin
α·tan
α=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.在平面直角坐标系中,作出∠AOP=
(如图所示)
易知∠AOP与单位圆相交于点P
,则sin
α=
,tan
α=-
,所以
sin
α·tan
α=-
.
3.已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin
α+cos
α的值.
【解析】因为点P的坐标为(-3a,4a)(a≠0),
所以r=
=5|a|.
①当a>0时,r=5a,角α在第二象限,
sin
α=
=
=
,
cos
α=
=
=-
,
所以2sin
α+cos
α=
-
=1.
②当a<0时,r=-5a,角α在第四象限,
sin
α=
=-
,cos
α=
=
,
所以2sin
α+cos
α=-
+
=-1.
综上所述,2sin
α+cos
α=±1.
【解题策略】
根据角终边上一点求该角三角函数值
已知角α的终边上一点P(x,y)求三角函数值时,先求r=OP(O为坐标原点),再根据定义sin
α=
,cos
α=
,tan
α=
确定三角函数值;若条件中含有参数,要注意对参数进行讨论.
【补偿训练】
1.已知角α的终边上一点P(1,m),且sin
α=
,则m=
( )
A.±
B.
C.-
D.
【解析】选B.角α的终边上一点P(1,m),
所以r=OP=
,
所以sin
α=
=
,
所以m>0,解得m=
.
2.已知角α的终边与单位圆的交点为
(y<0),则
sin
α·tan
α=____________.?
【解析】因为α的终边与单位圆的交点为
,
所以
+y2=1,即y2=
.
又因为y<0,所以y=-
.
所以sin
α=-
,cos
α=-
,tan
α=
,
sin
α·tan
α=-
×
=-
.
答案:-
类型二 三角函数值符号的应用(逻辑推理)
【典例】1.(2020·徐州高一检测)已知点P(sin
α,tan
α)在第二象限,则α
的终边在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.判断下列各式的符号:
(1)tan
191°-cos
191°;(2)sin
3·cos
4·tan
5.
【思路导引】1.点P(sin
α,tan
α)在第二象限,得到
即可得出.
2.(1)根据191°所在的象限,判断tan
191°和cos
191°的正负,进而判断tan
191°-cos
191°的正负.
(2)根据1
rad≈57.3°,逐个判断角3
rad,4
rad,5
rad所在的象限,再根据三角函数值的符号判断因式最终的符号.
【解析】1.选C.因为点P(sin
α,tan
α)在第二象限,所以
所以α的
终边在第三象限.
2.(1)正;因为191°是第三象限角;
所以tan
191°>0,cos
191°<0.
所以tan
191°-cos
191°>0.
(2)正;因为
<3<π,π<4<
,
<5<2π,
所以sin
3>0,cos
4<0,tan
5<0,
所以sin
3·cos
4·tan
5>0.
【解题策略】
判断三角函数的符号常用的方法
(1)确定角:根据题目给出条件,确定角所在的象限;
(2)定符号:根据角所在象限,结合题目的具体特点,最终确定符号.
【跟踪训练】
若sin
α·cos
α<0,则α的终边在
( )
A.第一或第二象限
B.第一或第三象限
C.第一或第四象限
D.第二或第四象限
【解析】选D.因为sin
α·cos
α<0,
则sin
α>0,cos
α<0或sin
α<0,cos
α>0;
若sin
α>0,cos
α<0,则α的终边在第二象限,
若sin
α<0,cos
α>0,则α的终边在第四象限,
综上,α的终边在第二或第四象限.
类型三 三角函数概念的综合应用(逻辑推理、数学抽象)
角度1 三角函数概念的理解?
【典例】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆
上运动,点P按逆时针方向每秒钟转
弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转
弧度,
则P,Q两点在第2
019次相遇时,点P的坐标是
( )
A.(0,0)
B.(0,1)
C.(-1,0)
D.(0,-1)
【思路导引】由P,Q两点相遇2
019次,可求出两点的总路程,根据两点的速度可求出两点相遇2
019次时所用的时间,进而可求出点P所转的弧度,即可确定点P的坐标.
【解析】选B.因为点P按逆时针方向每秒钟转
弧度,点Q按顺时针方向每秒钟
转
弧度,两点相遇1次的路程是单位圆的周长即2π,所以两点相遇一次用了1
秒,因此当两点相遇2
019次时,共用了2
019秒,所以此时点P所转过的角度
为
.由终边相同的角的概念可知,
与
的终边相同,
因为
的终边在y轴的非负半轴上,又因为y轴的非负半轴与单位圆的交点为
(0,1),故点P的坐标为(0,1).
【变式探究】
本例中,若条件不变,求P,Q两点在第2
021次相遇时点P的坐标呢?
【解析】根据典例知,P,Q两点相遇2
021次时,点P转过
,所以
与
终边相同.易知
与单位圆的交点为
,
即此时点P的坐标为
.
角度2 三角函数概念的综合应用?
【典例】已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin
α+
的值.
【思路导引】已知角α的终边在一条直线上,需要先讨论角的终边在直线的哪
一部分,再在射线上任取异于原点的一点,根据三角函数的概念求解.
【解析】由题意知,cos
α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则
x=k,y=-3k,r=
=
|k|.
(1)当k>0时,r=
k,α是第四象限角,
sin
α=
所以10sin
α+
=10×
+3
=-3
+3
=0.
(2)当k<0时,r=-
k,α是第二象限角,
sin
α=
所以10sin
α+
=10×
+3×(-
)
=3
-3
=0.
综上所述,10sin
α+
=0.
【解题策略】
分类讨论的应用
当角的终边在过原点的某一条直线上时,要注意将直线从原点处分为两条射线进行讨论,因为角的终边应该是过原点的一条射线.
【题组训练】
1.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在射线y=-2x(x>0)
上,则sin
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在射线y=
-2x(x>0)上,在α的终边上任意取一点(1,-2),则sin
α=
=-
.
2.圆周运动是一种常见的周期性变化现象,可表述为:质点在以某点为圆心半径
为r的圆周上的运动叫“圆周运动”.如图所示,圆O上的点以点A为起点沿逆时
针方向旋转到点P,若连接OA,OP,形成一个角α,当角α=
时,则cos
α=
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选A.因为
=2π+
,所以
与
终边相同,三角函数值相等;所以
cos
α=cos
=cos
=
.
【补偿训练】
点A(x,y)在圆x2+y2=4上沿逆时针方向匀速旋转,每秒旋转ω弧度,已知1秒时,点
A的坐标为(2,0),则3秒时,点A的坐标为
( )
A.(2cos
2ω,2sin
2ω)
B.(2cos
ω,2sin
ω)
C.(cos
2ω,sin
2ω)
D.(4cos
ω,4sin
ω)
【解析】选A.由1秒到3秒,点A旋转的角度为2ω,
又OA=2,所以点A的坐标为(2cos
2ω,2sin
2ω).
课堂检测·素养达标
1.已知角α的终边与单位圆交于点
,则sin
α的值为
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.sin
α=
=-
.
2.已知角α的终边经过点(-4,3),则tan
α等于
( )
A.-
B.-
C.
D.-
【解析】选D.由题意可知x=-4,y=3,所以tan
α=
=-
.
3.(教材二次开发:练习改编)(2020·长春高一检测)若θ为第二象限角,则下列
结论一定成立的是
( )
A.sin
>0
B.cos
>0
C.tan
>0
D.sin
cos
<0
【解析】选C.因为θ为第二象限角,
所以
+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,
则
+kπ<
<
+kπ,k∈Z,
所以θ为第一或第三象限角,得tan
>0.
4.若角α的终边落在y=-x上,则tan
α等于
( )
A.-1
B.1
C.-1或1
D.不能确定
【解析】选A.设P(a,-a)是角α终边上任意一点,若a>0,P点在第四象限,
tan
α=
=-1,若a<0,P点在第二象限,tan
α=
=-1.
5.判断下列各式的符号(填上“>”或“<”):
(1)sin
328°____0;(2)cos
π____0;(3)tan
π____0.?
【解析】(1)因为270°<328°<360°,所以328°在第四象限,所以sin
328°<0.
(2)因为π<
π<
π,所以
π在第三象限,
所以cos
π<0.
(3)因为
π<
π<π,所以
π在第二象限,
所以tan
π<0.
答案:(1)< (2)< (3)<(共43张PPT)
7.2.1 任意角的三角函数(二)
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用图形表示任意角的三角函数?
2.怎样比较两个非特殊角的三角函数值的大小?
1.三角函数线的概念(1)
图示
正弦线
角α的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴,有向线段___即为正弦线
余弦线
有向线段___即为余弦线
正切线
过A(1,0)作x轴的垂线,交角α的终边或其终边的反向延长线于T,有向
线段___即为正切线
MP
OM
AT
(2)本质:三角函数线是三角函数的图形表示,是数形结合思想应用的重要理论依据.
(3)应用:三角函数线能直观地表示三角函数值,常用来比较三角函数大小,解三角不等式等.
【思考】
三角函数线的方向是怎样确定的?
提示:三角函数线的方向,即规定的有向线段的方向:凡三角函数线与x轴或y轴
同向的相应三角函数值为正值,反向的为负值.
2.三角函数的定义域z
三角函数
定义域
sin
x
R
cos
x
R
tan
x
【思考】
怎样求三角函数的定义域?
提示:函数的定义域是函数概念的三要素之一,确定三角函数的定义域时,应抓
住分母等于零时比值无意义这一关键,因此需要注意,当且仅当角的终边在坐标
轴上时,点P的坐标中必有一个为零,结合三角函数的定义,可以得到三角函数的
定义域.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)角的三角函数线是直线.
( )
(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度.
( )
(3)第二象限的角没有正切线.
( )
提示:(1)×.三角函数线是一条有向线段.
(2)×.角的三角函数值等于三角函数线的数值.
(3)×.象限角都有正切线,需要将终边所在直线反向延长.
2.如图,在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是
( )
A.正弦线为PM,正切线为A′T′
B.正弦线为MP,正切线为A′T′
C.正弦线为MP,正切线为AT
D.正弦线为PM,正切线为AT
【解析】选C.α为第三象限角,故正弦线为MP,正切线为AT,C正确.
3.已知sin
α>0,tan
α<0,则α的
( )
A.余弦线方向向右,正切线方向向下
B.余弦线方向向右,正切线方向向上
C.余弦线方向向左,正切线方向向下
D.余弦线方向向上,正切线方向向左
【解析】选C.因为sin
α>0,tan
α<0,
所以α是第二象限角,余弦、正切都是负值,
因此余弦线方向向左,正切线方向向下.
关键能力·合作学习
类型一 三角函数的定义域(数学抽象)
【题组训练】
1.函数f(x)=tan
的定义域为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.易知2x-
≠
+kπ,k∈Z,
即x≠
+
kπ,k∈Z,
故f(x)的定义域为
2.函数f(x)=tan
的定义域为____________.?
【解析】由x+
≠kπ+
(k∈Z),
得x≠kπ+
(k∈Z),所以f(x)=tan
的定义域为
答案:
【解题策略】
求三角函数定义域的方法
因为正弦、余弦函数的定义域为R,而正切函数的定义域为
,
所以在求正切函数类三角函数定义域时一般采用整体代入法求不等式的解集,
再说明函数的定义域.
类型二 三角函数线的概念(数学抽象)
【典例】1.(2020·镇江高一检测)设P点为角α的终边与单位圆O的交点,且sin
α=MP,cos
α=OM,则下列命题成立的是
( )
A.总有MP+OM>1
B.总有MP+OM=1
C.存在角α,使MP+OM=1
D.不存在角α,使MP+OM<0
2.分别作出
π和-
π的正弦线、余弦线和正切线.
【思路导引】1.分别讨论角α在四个象限时四个选择项的结论是否正确,错误的选项只要找到一个反例即可.
2.分别画出单位圆,在单位圆中作出三角函数线,注意二、三象限正切线的画法.
【解析】1.选C.显然,当角α的终边不在第一象限时,MP+OM<1,MP+OM<0都有可
能成立;当角α的终边落在x轴或y轴非负半轴时,MP+OM=1.
2.(1)在直角坐标系中作单位圆,如图甲,
以x轴非负半轴为始边作
π角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥x轴,垂足为M,由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线,与OP的反向延长线交于T点,则sin
π=MP,cos
π=OM,tan
π=AT,
即
π的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.
(2)同理可作出-
π的正弦线、余弦线和正切线,如图乙.
sin
=M1P1,cos
=OM1,
tan
=A1T1,即-
π的正弦线为M1P1,余弦线为OM1,正切线为A1T1.
【解题策略】三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T,即可得到正切线AT.
【跟踪训练】
1.(多选题)下列四个命题中,正确的命题是
( )
A.α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的正切线
D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
【解析】选AD.由三角函数线的定义知A显然正确.
B中有相同正弦线的角可能不等,如
与
,故B错误;
C中当α=
时,α与α+π都没有正切线,故C错误;
D中具有相同正切线的两个角终边相同或互为反向延长线,在同一条直线上,故D正确.
2.作出
的正弦线、余弦线和正切线.
【解析】如图:
sin
=MP,cos
=OM,tan
=AT.
类型三 三角函数线的应用(直观想象)
角度1 利用三角函数线解不等式?
【典例】在[0,2π]上解不等式:
(1)sin
x≥
;(2)cos
x≤-
.
【思路导引】作出满足sin
x=
,cos
x=-
的角的终边,然后根据已知条件确
定角x终边的范围.
【解析】(1)作直线y=
,交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区
域(图(1)中阴影部分,含边界)即为角x的终边的范围.
故不等式的解集为
(2)作直线x=-
,交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分,含边界)即为角x的终边的范围.故不等式的解集为
【变式探究】
将典例改为:在[0,2π]上满足cos
α≥
的α的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.如图,在单位圆内作OM=
,
过M作x轴的垂线交单位圆于A,B两点,
由图可知满足cos
α≥
的角α的范围如图阴影部分(含边界)所示,
因为α∈[0,2π],所以α的取值范围是
角度2 利用三角函数线比较大小?
【典例】1.已知cos
α>cos
β,那么下列结论成立的是
( )
A.若α,β是第一象限角,则sin
α>sin
β
B.若α,β是第二象限角,则tan
α>tan
β
C.若α,β是第三象限角,则sin
α>sin
β
D.若α,β是第四象限角,则tan
α>tan
β
2.已知α∈
,试比较sin
α,α,tan
α的大小.
【思路导引】1.分别在第一、二、三、四象限画出cos
α>cos
β时角α和β对应的正弦线和正切线,观察正弦线,正切线判断大小.
2.本题可以利用正弦线、角所对的弧长及正切线来表示sin
α,α,tan
α,并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决.
【解析】1.选D.由图(1)可知,cos
α>cos
β时,sin
αβ,故A错误;
由图(2)可知,cos
α>cos
β时,tan
αβ,故B错误;
由图(3)可知,cos
α>cos
β时,sin
αβ,C错误;
由图(4)可知,cos
α>cos
β时,tan
α>tan
β,D正确.
2.如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P,单位圆交x轴正半轴于点A,作PM⊥x轴,交x轴于点M,作AT⊥x轴,交α的终边于点T,
由三角函数线定义,
得sin
α=MP,tan
α=AT,又α=
的长,
所以S△AOP=
·OA·MP=
sin
α,
=
·
·OA=
·
=
α,
S△AOT=
·OA·AT=
tan
α.
又因为S△AOP<
α<αα.
【解题策略】利用三角函数线比较大小的步骤
(1)角的位置要“对号入座”;
(2)比较三角函数线的长度;
(3)确定有向线段的正负.
注意:比较大小时,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
1.在[0,2π]上,满足sin
x≥
的x的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.在[0,2π]上,sin
=sin
=
,结合正弦线知
≤x≤
.
2.已知a=sin
,b=cos
,c=tan
,则
( )
A.aB.aC.bD.b【解析】选D.由如图的三角函数线知:
MP>
=
,所以MP>OM,
所以cos
,
所以b3.在x∈[0,2π]上,函数y=lg(1-
cos
x)的定义域为__________.?
【解析】因为1-
cos
x>0,所以cos
x<
,如图所示,
所以
,所以函数定义域为
.
答案:
课堂检测·素养达标
1.如果OM,MP分别是角α=
的余弦线和正弦线,那么下列结论正确的是
( )
A.MPB.MP<0C.MP>OM>0
D.OM>MP>0
【解析】选D.角β=
的余弦线、正弦线相等,结合图象可知角α=
的余弦线和正弦线满足OM>MP>0.
2.(2020·梅州高一检测)sin
1、cos
1、tan
1的大小关系为
( )
A.sin
1>cos
1>tan
1
B.sin
1>tan
1>cos
1
C.tan
1>sin
1>cos
1
D.tan
1>cos
1>sin
1
【解析】选C.根据三角函数线:如图所示:
设∠DOC=1弧度,
所以根据三角函数线得到:CD>AB>OA,
即tan
1>sin
1>cos
1.
3.函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为______________.?
【解析】要使函数有意义,则3-4sin2x>0,
即4sin2x<3,即sin2x<
,则-
x<
,
如图作出y=±
,
得定义域为2kπ-
,k∈Z或2kπ+
,k∈Z,
即函数的定义域为
答案:
4.若α是三角形的内角,且sin
α+cos
α=
,则这个三角形的形状是____________.?
【解析】当0<α≤
时,由单位圆中的三角函数线知,
sin
α+cos
α≥1,而sin
α+cos
α=
,所以α必为钝角.
答案:钝角三角形
5.(教材二次开发:练习改编)画出α=2
rad的正弦线、余弦线和正切线.
【解析】如图所示,
MP=sin
2,OM=cos
2,AT=tan
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课时素养评价
三十四 任意角的三角函数(一)
(15分钟 30分)
1.(2020·海淀高一检测)若点P(4,3)在角α的终边上,则cos
α=
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为点P(4,3)在角α的终边上,则cos
α==.
【补偿训练】
若角α的终边上有一点P(0,3),则下列式子无意义的是
( )
A.tan
α
B.sin
α
C.cos
α
D.都有意义
【解析】选A.由三角函数的定义sin
α=,cos
α=,tan
α=,可知tan
α无意义.
2.在△ABC中,若sin
A·cos
B·tan
C<0,则△ABC的形状是
( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
【解析】选A.因为A,B,C是△ABC的内角,
所以sin
A>0.因为sin
A·cos
B·tan
C<0,
所以cos
B·tan
C<0,
所以cos
B和tan
C中必有一个小于0,
即B,C中必有一个钝角,故△ABC是钝角三角形.
3.已知角α的终边过点(12,-5),则sin
α+cos
α的值等于
( )
A.- B. C.- D.
【解析】选B.因为α的终边过点(12,-5),
所以r==13,
则sin
α=,cos
α=,
则sin
α+cos
α=-+×
=-+=.
4.(2020·无锡高一检测)若角α的终边过点(-1,2),则tan
α=______.?
【解析】若角α的终边过点(-1,2),则tan
α==-2.
答案:-2
5.在平面直角坐标系中,角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin
α-3cos
α+
tan
α的值.
【解析】当角α的终边在射线y=-x(x>0)上时,取终边上一点P(4,-3),
所以点P到坐标原点的距离r=OP=5,
所以sin
α===-,
cos
α==,tan
α==-.
所以sin
α-3cos
α+tan
α=---
=-.
当角α的终边在射线y=-x(x<0)上时,取终边上一点P′(-4,3),
所以点P′到坐标原点的距离r=OP′=5,
所以sin
α==,cos
α==-,
tan
α===-.
所以sin
α-3cos
α+tan
α=-3×-=+-=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·马鞍山高一检测)已知角α的终边经过点P(,-),则sin
α的值等于
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选D.角α的终边经过点P(,-),则sin
α==-.
2.设△ABC的三个内角为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A.tan
A与cos
B
B.cos
B与sin
C
C.sin
C与tan
A
D.tan
与sin
C
【解析】选D.因为0所以tan
>0;又因为0C>0.
3.(2020·盐城高一检测)函数y=++的值域是
( )
A.{-1,0,1,3}
B.{-1,0,3}
C.{-1,3}
D.{-1,1}
【解析】选C.当x是第一象限角时,
sin
x>0,cos
x>0,tan
x>0,所以y=3;
当x是第二象限角时,sin
x>0,cos
x<0,
tan
x<0,所以y=-1;
同理:当x是第三象限角时,y=-1;
当x是第四象限角时,y=-1.
故函数y=++的值域是{-1,3}.
【补偿训练】
若α为第二象限角,则-=
( )
A.0
B.-2
C.-2或2
D.2
【解析】选D.由已知sin
α>0,cos
α<0,
所以-=-=1+1=2.
4.(多选题)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sin
α-cos
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选CD.因为α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),
当a>0时,cos
α==,sin
α==,2sin
α-cos
α=;
当a<0时,cos
α==-,
sin
α==-,2sin
α-cos
α=-.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如果点P(sin
θ+cos
θ,sin
θcos
θ)位于第二象限,那么角θ的终边在第________象限.?
【解题指南】根据点P在第二象限,求出sin
θ+cos
θ和sin
θcos
θ的符号,再根据三角函数符号规律求出θ所在的象限.
【解析】由题意知sin
θ+cos
θ<0,
且sin
θcos
θ>0,
所以所以θ为第三象限角.
答案:三
【补偿训练】
已知角α的终边过点(-3cos
θ,4cos
θ),其中θ∈,则cos
α=________.?
【解析】因为θ∈,所以cos
θ<0,
r=
=5|cos
θ|=-5cos
θ,
所以cos
α==.
答案:
6.若角α的终边与直线y=3x重合且sin
α<0,又P(m,n)是α终边上一点,且OP=,则m-n=________,sin
α=__________.?
【解析】因为y=3x且sin
α<0,所以点P(m,n)位于直线y=3x第三象限部分的图象上,
所以m<0,n<0,且n=3m,所以r=OP==|m|=-m=,所以m=-1,n=-3,所以m-n=2,sin
α===-.
答案:2 -
三、解答题
7.(10分)已知sin
θ<0,tan
θ>0.
(1)求角θ的集合;
(2)求的终边所在的象限;
(3)试判断sincostan
的符号.
【解析】(1)因为sin
θ<0,
所以θ为第三、四象限角或在y轴的非正半轴上,
因为tan
θ>0,所以θ为第一、三象限角,
所以θ为第三象限角,θ角的集合为
.
(2)由(1)可得,kπ+<当k是偶数时,终边在第二象限;
当k是奇数时,终边在第四象限.
(3)由(2)可得当k是偶数时,sin>0,cos<0,tan
<0,所以sincostan
>0;
当k是奇数时,sin<0,cos>0,tan
<0,
所以sincostan
>0.
综上知,sincostan
>0.
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