(共46张PPT)
7.2.2 同角三角函数关系
必备知识·自主学习
导思
1.已知一个角的正弦值,能求出它的余弦值、正切值吗?
2.同一个角的三角函数间有什么关系?
同角三角函数关系
(1)基本关系式
平方关系
商数关系
公式
表示
_______________
=_______
(α≠
+kπ,k∈Z)
语言
叙述
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的_____.
sin2α+cos2α=1
tan
α
正切
(2)本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么?
提示:一是“角相同”,如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角(在
使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如
sin2
15°+cos2
15°=1,sin2
+cos2
=1等.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)
对任意角θ,sin2
+cos2
=1都成立.
( )
(2)对任意的角α,都有
成立.
( )
(3)存在角α,β,有sin2
α+cos2
β=1.
( )
提示:(1)√.在sin2α+cos2α=1中,令α=
可得sin2
+cos2
=1.
(2)×.当α=
+kπ,k∈Z时就不成立.
(3)√.因为sin2
π+cos2
=1,所以存在α,β使得sin2α+cos2β=1成立.
2.化简
的结果是
( )
A.cos
B.-cos
C.sin
D.-sin
【解析】选A.
3.(教材二次开发:例题改编)已知α是第二象限角,sin
α=
,则cos
α=
( )
【解析】选A.利用同角三角函数关系式中的平方关系计算.因为α为第二象
限角,
所以cos
α=
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·通州高一检测)已知cos
α=
,且α∈(0,π),则tan
α=
( )
2.(2020·东莞高一检测)已知sin
θ=
,cos
θ=
,若θ是第二象限角,
则tan
θ的值为
( )
3.在△ABC中,sin
A·cos
A=
,则cos
A-sin
A的值为
( )
【解析】1.选A.因为cos
α=
,且α∈(0,π),
所以sin
α=
所以tan
α=
2.选C.因为sin
θ=
,cos
θ=
,
所以sin2θ+cos2
θ=
=1,解得:a=0或a=4,
因为θ为第二象限角,所以sin
θ>0,cos
θ<0.所以a=4,
所以可得:sin
θ=
,cos
θ=
,tan
θ=
.
3.选B.因为在△ABC中,sin
A·cos
A=
,所以A为钝角,所以cos
A-sin
A<0,
所以cos
A-sin
A=
【解题策略】
利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点
(1)定符号:根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号.
(2)定值:根据三角函数的基本关系确定函数值.
【补偿训练】(2020·杭州高一检测)已知tanθ=2,θ为第三象限角,则sin
θ=
( )
【解析】选B.因为tan
θ=2,θ为第三象限角,
所以
解得
类型二 利用同角三角函数的关系求值
【典例】1.已知tan
α=2,求下列各式的值:
(3)2sin2α-sin
αcos
α+cos2α.
四步
内容
理解
题意
条件:
tan
α=2
结论:求三个齐次式的值.
思路
探求
把齐次式的分子、分母分别除以cos
α(或cos2α)
2.已知sin
α+cos
α=
,0<α<π.
(1)求sin
αcos
α的值.(2)求sin
α-cos
α的值.
【思路导引】已知sin
α+cos
α=
,两边平方再利用sin2α+cos2α=1,即可
求出sin
αcos
α,再把sin
α-cos
α两边平方即可,注意角α的范围.
【解析】(1)由sin
α+cos
α=
得(sin
α+cos
α)2=
,
sin2α+2sin
αcos
α+cos2α=
,sin
αcos
α=-
.
(2)因为0<α<π,sin
αcos
α<0,
所以sin
α>0,cos
α<0?sin
α-cos
α>0.
(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α=
,
所以sin
α-cos
α=
.
【解题策略】
1.已知角α的正切求关于sin
α,cos
α的齐次式的方法
(1)关于sin
α,cos
α的齐次式就是分式中的每一项都是关于sin
α,cos
α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cos
α的n次幂,其式子可化为关于tan
α的式子,再代入求值.
(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α+cos2α来代换,将分子、分母同除以cos2α,可化为关于tan
α的式子,再代入求值.
2.求三角函数值的方法
(1)已知sin
θ(或cos
θ)求tan
θ常用以下方法求解
(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题,我们可利用平方关系或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin
α±cos
α)2=1±2sin
αcos
α的等价转化,分析解决问题的突破口.
【跟踪训练】
1.(1)已知sin
α+cos
α=
,α∈(0,π),则tan
α=________.?
(2)已知tan
α=
,且α是第三象限角,求sin
α,cos
α的值.
【解析】(1)因为sin
α+cos
α=
,所以(sin
α+cos
α)2=
,
即2sin
αcos
α=-
<0,
又α∈(0,π),则sin
α>0,cos
α<0,所以α∈
,
故sin
α-cos
α=
所以
答案:-
(2)由tan
α=
得sin
α=
cos
α①,
又sin2α+cos2α=1②,由①②得
cos2α+cos2α=1,
即cos2α=
.
又α是第三象限角,
故
2.已知
=2,计算下列各式的值.
(1)
(2)sin2α-2sin
αcos
α+1.
【解析】由
=2,化简,得sin
α=3cos
α,
所以tan
α=3.
(1)方法一:原式=
方法二:原式=
(2)原式=
类型三 利用同角三角函数的关系化简证明
角度1 应用同角三角函数关系化简?
【典例】已知α是第三象限角,化简
【思路导引】首先将tan
α化为
,然后化简根式,最后约分.
【解析】原式=
又因为α是第三象限角,所以sin
α<0.
所以原式=
=-1.
【变式探究】
如果本例条件不变,结果改为化简:
【解析】原式=
因为α是第三象限角,所以cos
α<0.
所以原式=
=-2tan
α.
角度2 利用同角三角函数关系证明?
【典例】求证:
【思路导引】思路1:把左边分子分母同乘以cos
x,再利用公式变形;思路2:把左边分子、分母同乘以(1+sin
x)先满足右式分子的要求;思路3:用作差法,化简等式为0.
【证明】方法一:左边=
=右边,所以原等式成立.
方法二:左边=
=右边.
方法三:因为
=0,
所以
【解题策略】
证明三角恒等式的常用方法
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.
(3)作差法:两式作差,对差式变形化简,差式为零即得证.
【题组训练】
1.(2020·杭州高一检测)若
=4,则tan
α=( )
A.
B.
C.3
D.7
【解析】选D.因为
=4,
所以解得tan
α=7.
2.化简:
【解析】原式
=
=1.
3.求证:
【证明】方法一:左边=
=右边,所以原等式成立.
方法二:右边=
所以原等式成立.
课堂检测·素养达标
1.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是
( )
A.tan
α=
B.cos
α=
C.sin
α=
D.tan
α=
【解析】选B.由商数关系可知A,D项均不正确,当α为第二象限角时,
cos
α<0,sin
α>0,故B项正确.
2.(教材二次开发:练习改编)(2020·桂林高一检测)已知α是第一象限的角,且tan
α=
,则cos
α=
( )
【解析】选D.根据题意,tan
α=
,则
,
又由sin2α+cos2
α=1,
解得:cos
α=±
,
又α是第一象限的角,则cos
α=
.
3.若tan
α=2,则
的值为
( )
A.0
B.
C.1
D.
【解析】选B.
4.已知α为钝角,且sin
α=
,则tan
α=________.?
【解题指南】根据同角的三角函数关系以及α的取值范围求出tan
α的值.
【解析】α为钝角,当sin
α=
时,
cos
α=
所以tan
α=
答案:
5.求证:
【证明】方法一:(切化弦)
左边=
右边=
因为sin2
α=1-cos2
α=(1+cos
α)(1-cos
α),
所以
,所以左边=右边.
所以原等式成立.
方法二:(由右至左)
因为右边=
=左边,
所以原等式成立.温馨提示：
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课时素养评价
三十六 同角三角函数关系
(15分钟 35分)
1.若cos
α=,且α在第四象限,则tan
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.因为cos
α=,且α在第四象限,所以tan
α=-=-=-.
2.如果tan
θ=2,那么1+sin
θcos
θ=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.1+sin
θcos
θ=
=
=,
又tan
θ=2,
所以1+sin
θcos
θ==.
3.已知sin
α=,则sin4α-cos4α的值为
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)
=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.
4.若α为第三象限角,则+的值为
( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
【解析】选B.因为α为第三象限角,
所以原式=+=-3.
5.已知tan
θ=2,则+sin2θ的值为________.?
【解析】因为tan
θ=2,
所以+sin2θ=+
=+=+=.
答案:
6.化简:(1);
(2).
【解析】(1)原式=
=
=
==1.
(2)原式==
=cos
θ.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若α∈,sin
α=,则tan
α=
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选C.因为α∈,且sin
α=,
所以cos
α=-=-,
则tan
α===-.
2.已知=2,则tan2α-3tan
α=
( )
A.2
B.0
C.-
D.-
【解析】选C.==2,解得tan
α=,
所以tan2α-3tan
α=-3×=-.
3.已知α为第二象限的角,且tan
α=-,则sin
α+cos
α=
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选C.tan
α==-①,
sin2α+cos2α=1②,
又α为第二象限的角,
所以sin
α>0,cos
α<0,
联立①②,解得sin
α=,cos
α=-,
则sin
α+cos
α=-.
【补偿训练】
若△ABC的内角A满足sin
A·cos
A=,则sin
A+cos
A的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.因为A为△ABC的内角,且sin
Acos
A=>0,
所以A为锐角,所以sin
A+cos
A>0.又1+2sin
Acos
A=1+=,
即(sin
A+cos
A)2=,所以sin
A+cos
A=.
4.若α是三角形的最大内角,且sin
α-cos
α=,则三角形是
( )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
【解析】选B.将sin
α-cos
α=两边平方,得1-2sin
αcos
α=,即
2sin
αcos
α=.又α是三角形的内角,所以sin
α>0,cos
α>0,所以α为锐角.
【误区警示】根据
sin
α·cos
α>0判断sin
α,cos
α的正负时,注意不要忘了条件α是三角形最大的内角.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列选项可能成立的是
( )
A.sin
α=-且cos
α=
B.sin
α=0且cos
α=-1
C.tan
α=1且cos
α=-1
D.tan
α=(α在第二象限)
【解析】选ABD.由基本关系式可逐个判断A、B、D正确,C不正确.
6.若1+sin
θ+cos
θ=0成立,则θ不可能位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选ABD.因为1+sin
θ+cos
θ·=0,
所以1+sin
θ|sin
θ|+cos
θ|cos
θ|=0.
当θ为第一象限角时,1+sin2θ+cos2θ=2;
当θ为第二象限角时,1+sin2θ-cos2θ=2sin2θ>0;
当θ为第三象限角时,1-sin2θ-cos2θ=1-1=0;
当θ为第四象限角时,1-sin2θ+cos2θ=2cos2θ>0,
则θ不可能是第一、二、四象限角.
【光速解题】在第一、二、三、四象限内分别取一个特殊角,代入验证,即可得到答案.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·南充高一检测)已知=,那么的值是____.?
【解析】因为sin2x+cos2x=1,即cos2x=1-sin2x=(1+sin
x)(1-sin
x),
所以=.
因为=,
所以=-.
答案:-
【补偿训练】
若cos
θ+sin
θ=,θ∈(0,π),则cos
θsin
θ-sin2θ=________.?
【解析】因为cos
θ+sin
θ=,①
所以两边平方可得:1+2sin
θcos
θ=,
解得2sin
θcos
θ=-,
因为θ∈(0,π),sin
θ>0,可得cos
θ<0,
所以cos
θ-sin
θ<0,
所以cos
θ-sin
θ=-
=-=-
=-,②
所以联立①②解得:sin
θ=,cos
θ=-,
所以cos
θsin
θ-sin2θ=sin
θ(cos
θ-sin
θ)
=-.
答案:-
8.(2020·南京高一检测)在△ABC中,已知sin
A+cos
A=,则sin
Acos
A的值为____,tan
A的值为____.?
【解析】已知sin
A+cos
A=,
则(sin
A+cos
A)2=,
整理得:1+2sin
Acos
A=,
解得:sin
Acos
A=-,
所以
解得或(舍去),
故tan
A=-.
答案:- -
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求证:=.
【证明】左边
=
=
=
=
==
=右边,
所以原等式成立.
10.已知sin
α=,求的值.
【解析】
=
=
=
==,
当角α是第一象限角时,cos
α=,
tan
α==,
所以原式==;
当角α是第二象限角时,cos
α=-,
tan
α==-,
所以原式==.
1.已知-<θ<,且sin
θ+cos
θ=a,其中a∈(0,1),则关于tan
θ的值,在以下四个答案中,可能正确的是
( )
A.-3
B.3或
C.-
D.-3或-
【解析】选C.因为sin
θ+cos
θ=a,a∈(0,1),两边平方整理得
sin
θcos
θ=<0,故-<θ<0且cos
θ>-sin
θ,所以|cos
θ|>|sin
θ|,
所以-<θ<0,所以-1θ<0.
【补偿训练】
已知sin
θ+cos
θ=(0<θ<π),则sin
θ-cos
θ=________.?
【解析】因为sin
θ+cos
θ=(0<θ<π),
所以(sin
θ+cos
θ)2=,
即sin2θ+2sin
θcos
θ+cos2θ=,
所以sin
θcos
θ=-.
由上知,θ为第二象限的角,
所以sin
θ-cos
θ>0,
所以sin
θ-cos
θ
=
==.
答案:
2.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin
α,cos
α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根?若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.
【解析】假设存在实数m满足条件,由题设得,
Δ=36m2-32(2m+1)≥0,①
因为α是第三象限角,所以sin
α<0,cos
α<0,
所以sin
α+cos
α=-m<0②,
sin
αcos
α=>0③.
又sin2α+cos2α=1,
所以(sin
α+cos
α)2-2sin
αcos
α=1.
把②③代入上式得-2×=1,
即9m2-8m-20=0,解得m1=2,m2=-.
因为m1=2不满足条件①,舍去;
因为m2=-不满足条件②和③,舍去.
故满足题意的实数m不存在.
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