(共34张PPT)
7.2.3 三角函数的诱导公式(二)
必备知识·自主学习
诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六
导思
怎样化简含有
±α的三角函数?
公式五
公式六
终边
关系
角
-α与角α的终边关于直线y=x对称.
角
+α与角α的终边垂直.
公式五
公式六
图形
公式
sin(
-α)=_______,
cos(
-α)=_______.
sin(
+α)=_______,
cos(
+α)=________.
cos
α
sin
α
cos
α
-sin
α
(2)本质:单位圆中,终边关于y=x对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(3)应用:与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
【思考】
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律?
提示:函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名改变,符号看象限.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.
( )
(2)在△ABC中,
.
( )
(3)sin
=±cos
α(k∈Z).
( )
提示:(1)×.诱导公式五、六中的角α是任意角.
(2)√.因为
,由公式五可知
(3)×.当k=2时,sin
=sin(π-α)=sin
α.
2.下列与sin
θ的值相等的是
( )
A.sin(π+θ)
B.sin
C.cos
D.cos
【解析】选C.sin(π+θ)=-sin
θ,sin
=cos
θ;
cos
=sin
θ,cos
=-sin
θ.
3.(教材二次开发:例题改编)已知sin(π+A)=-
,则cos
的值是________.?
【解析】sin(π+A)=-sin
A=-
,cos
=
答案:-
关键能力·合作学习
类型一 利用诱导公式求值(数学运算)
【题组训练】
1.已知sin
θ=
,则cos(450°+θ)的值是
( )
A.
B.-
C.-
D.
2.(2020·扬州高一检测)若sin
=-
,则cos
=( )
A.-
B.-
C.
D.
3.若α∈
,sin
=
,则cos
=
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】1.选B.cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin
θ=-
.
2.选B.因为sin
=-
,所以cos
=
3.选D.因为sin
=cos
α=
,α∈
,
所以sin
α=
,所以cos
=sin
α=
.
【解题策略】
解决化简求值问题的策略
(1)能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值.
(2)不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系,观察时要将角看成整体,观察它们的和、差关系,是否具有互补、互余等特殊关系,再利用诱导公式转化求值.
【补偿训练】
已知cos
31°=m,则sin
239°tan
149°的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选B.sin
239°tan
149°
=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)
=-cos
31°·(-tan
31°)=sin
31°
=
类型二 利用诱导公式证明恒等式(逻辑推理)
【典例】求证:
【思路导引】等式左边比较复杂,可以利用诱导公式直接对等式左边进行化简,从而推得等式右边.
【证明】左边=
=右边.
所以原等式成立.
【解题策略】
三角恒等式的证明的策略
(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.
【跟踪训练】
证明:f(α)=
【证明】f(α)=
类型三 诱导公式的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 诱导公式在三角形中的应用?
【典例】在△ABC中,sin
=sin
,试判断△ABC的形状.
【思路导引】根据三角形的内角和A+B+C=π,利用诱导公式,推导△ABC的角的关系,进而判断出三角形的形状.
【解析】因为A+B+C=π,
所以A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.
又因为sin
=sin
,
所以sin
=sin
,
所以sin
=sin
,所以cos
C=cos
B.
又B,C为△ABC的内角,所以C=B,
所以△ABC为等腰三角形.
【变式探究】
在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形的内角和A+B+C=π以及题目的具体条件进行适当变形,再化简求解.典例中题目改为:在△ABC中,下列各表达式为常数的是
( )
A.sin(A+B)+sin
C
B.cos(B+C)-cos
A
C.sin2
+sin2
D.sin
sin
【解析】选C.A中sin(A+B)+sin
C=sin(π-C)+sin
C=2sin
C不是常数.
B中cos(B+C)-cos
A=cos(π-A)-cos
A=-2cos
A不是常数.
C中sin2
+sin2
=sin2
+sin2
=cos2
+sin2
=1是常数.
D中sin
sin
=sin
sin
=sin
cos
不是常数.
角度2 利用诱导公式化简、求值?
【典例】(2020·靖远高一检测)已知f(θ)=
(1)化简f(θ);
(2)若sin
θ=
,且θ∈
,求f(θ)的值.
【思路导引】(1)利用三角函数的诱导公式化简即可;
(2)由已知条件可求出cos
θ,则f(θ)的值可求.
【解析】(1)f(θ)=
(2)由sin
θ=
,且θ∈
,
得cos
θ=
所以f(θ)=-cos
θ=
.
【解题策略】
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
【题组训练】
1.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-1,2),则
A.
B.1
C.
D.-
2.计算:sin211°+sin279°=________.?
3.若f(cos
x)=cos
2x,则f(sin
15°)的值为________.?
【解析】1.选A.因为角α的终边经过点P(-1,2),
所以r=|OP|=
=
,
所以sin
α=
,cos
α=-
,
原式=
2.因为11°+79°=90°,所以sin
79°=cos
11°,
所以原式=sin211°+cos211°=1.
答案:1
3.因为sin
15°=cos
75°,所以f(sin
15°)=f(cos
75°)=cos
150°=-
.
答案:-
【补偿训练】
已知
=2,则tan
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-5
【解析】选D.由
=2,
得
解得:tan
α=-5.
课堂检测·素养达标
1.下列与sin
的值相等的式子为
( )
A.sin
B.cos
C.cos
D.sin
【解析】选D.因为sin
=-sin
=-cos
θ,
对于A,sin
=cos
θ;
对于B,cos
=-sin
θ;
对于C,cos
=cos
=-cos
=-sin
θ;
对于D,sin
=sin
=-sin
=-cos
θ.
2.已知sin
40°=a,则cos
130°=
( )
A.a
B.-a
C.
D.-
【解析】选B.cos
130°=cos(90°+40°)=-sin
40°=-a.
3.若sin
<0,且cos
>0,则θ是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选B.由于sin
=cos
θ<0,
cos
=sin
θ>0,所以角θ的终边落在第二象限.
4.(教材二次开发:练习改编)已知tan
θ=2,则
=
( )
A.2
B.0
C.-2
D.
【解析】选C.
5.化简:
A.-sin
θ
B.sin
θ
C.cos
θ
D.-cos
θ
【解析】选A.原式=
=
=-sin
θ.温馨提示：
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课时素养评价
三十七 三角函数的诱导公式(一)
(15分钟 30分)
1.下列等式成立的是
( )
A.cos=-cos
B.sin=-sin
C.cos=-cos
D.tan=tan
【解析】选C.对于A,cos=cos=,
-cos=-,故错误;
对于B,sin=-sin=sin=,-sin=-,故错误;
对于C,cos=cos(π+)=-cos,故正确;
对于D,tan=-tan=-,tan=,故错误.
【补偿训练】
下列各式不正确的是
( )
A.sin(α+180°)=-sin
α
B.cos(-α+β)=-cos(α-β)
C.sin(-α-360°)=-sin
α
D.cos(-α-β)=cos(α+β)
【解析】选B.由诱导公式知cos(-α+β)
=cos
[-(α-β)]=cos(α-β),故B不正确.
2.(2020·镇江高一检测)求值tan(-1
140°)=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.tan(-1
140°)
=-tan
1
140°=-tan(6×180°+60°)
=-tan
60°=-.
3.点P(cos
2
019°,sin
2
019°)落在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.2
019°=6×360°-141°,
所以cos
2
019°=cos(-141°)=cos
141°<0,
sin
2
019°=sin(-141°)=-sin
141°<0,
所以点P在第三象限.
4.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是
( )
A.
B.-
C.±
D.
【解析】选B.因为sin(π+α)=-sin
α=,
所以sin
α=-.
又α是第四象限角,所以cos
α=,
所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos
α=-.
5.已知f(x)=则f+f的值为________.?
【解析】因为f=sin
=sin=sin=;
f=f-1=f-2
=sin-2=--2=-.
所以f+f=-2.
答案:-2
6.化简下列各式.
(1)sincosπ;
(2)sin(-960°)cos
1
470°-cos(-240°)sin(-210°).
【解析】(1)sincosπ
=-sincos
=sincos=.
(2)sin(-960°)cos
1
470°-cos(-240°)sin(-210°)
=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°)
+cos(180°+60°)sin(180°+30°)
=sin
60°cos
30°+cos
60°sin
30°=1.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是
( )
A.sin
α=sin
β
B.tan(α-2π)=tan
β
C.cos
α=cos
β
D.cos(2π-α)=-cos
β
【解析】选C.由角α和β的终边关于x轴对称,可知β=-α+2kπ(k∈Z),故cos
α=cos
β.
2.已知sin=,则sin的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.sin=sin
=-sin=sin=.
3.sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的值为
( )
A.1
B.2sin2α
C.0
D.2
【解析】选D.原式=(-sin
α)2-(-cos
α)·cos
α+1=sin2α+cos2α+1=2.
【补偿训练】
已知600°角的终边上有一点P(a,-3),则a的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由题意得tan
600°=-,
又因为tan
600°=tan(360°+240°)
=tan
240°=tan(180°+60°)=tan
60°=,
所以-=,所以a=-.
4.设f(α)=,
则f的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.f(α)=
==-.
所以f=-
=-
=-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知x∈R,则下列等式恒成立的是
( )
A.sin(-x)=sin
x
B.tan(2π-x)=tan
x
C.tan(x+π)=tan
x
D.cos(x-π)=-cos
x
【解析】选CD.sin(-x)=-sin
x,故A不成立;
tan(2π-x)=tan(-x)=-tan
x,故B不成立;
tan(x+π)=tan
x,故C成立;
cos(x-π)=-cos
x,故D成立.
6.在△ABC中,给出下列四个式子,其中为常数的是
( )
A.sin(A+B)+sin
C
B.cos(A+B)+cos
C
C.sin(2A+2B)+sin
2C
D.cos(2A+2B)+cos
2C
【解析】选BC.A中sin(A+B)+sin
C=2sin
C;
B中cos(A+B)+cos
C=-cos
C+cos
C=0;
C中sin(2A+2B)+sin
2C
=sin
[2(A+B)]+sin
2C
=sin
[2(π-C)]+sin
2C=sin(2π-2C)+sin
2C
=-sin
2C+sin
2C=0;
D中cos(2A+2B)+cos
2C
=cos
[2(A+B)]+cos
2C
=cos
[2(π-C)]+cos
2C
=cos(2π-2C)+cos
2C
=cos
2C+cos
2C=2cos
2C.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.=__________.?
【解题指南】先用诱导公式化简,把1替换为sin
22+cos
22,最后根据角所在象限确定sin
2与cos
2的大小关系.
【解析】
==
=|sin
2-cos
2|,
又<2<π,所以原式=sin
2-cos
2.
答案:sin
2-cos
2
【补偿训练】
cos
1°+cos
2°+cos
3°+…+cos
180°=________.?
【解析】因为cos
1°+cos
179°
=cos
1°+(-cos
1°)=0,
cos
2°+cos
178°=cos
2°+(-cos
2°)=0,…
所以原式=(cos
1°+cos
179°)+
(cos
2°+cos
178°)+…+(cos
89°+cos
91°)+cos
90°+cos
180°
=cos
180°=-1.
答案:-1
8.已知角α的终边经过点P(3t,1),且cos(π+α)=,则tan
α的值为________,t的值为________.?
【解析】因为cos(π+α)=,
所以-cos
α=,即cos
α=-,所以α在第二或第三象限,
又因为角α的终边经过点P(3t,1),所以α在第二象限,所以sin
α==,
所以tan
α=-,
由正切函数的定义可得tan
α=-=,
所以t=-.
答案:- -
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知cos=,求cos-
sin2的值.
【解析】因为cos=cos
=-cos=-,sin2
=sin2=1-cos2=1-=,所以cos-sin2=--=-.
10.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos
A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
【解析】由条件得sin
A=sin
B,cos
A=cos
B,
平方相加得2cos2A=1,cos
A=±,
又A∈(0,π),所以A=或π.
当A=π时,cos
B=-<0,
所以B∈,
所以A,B均为钝角,不合题意,舍去.
所以A=,cos
B=,所以B=,
所以C=π.
综上所述,A=,B=,C=π.
1.若f(n)=sin(n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
020)=________.?
【解析】f(1)=sin=,f(2)=sin=,
f(3)=sin
π=0,f(4)=sin=-,
f(5)=sin=-,f(6)=sin
2π=0,
f(7)=sin=sin=f(1),f(8)=f(2),…,
因为f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+336×0=.
答案:
【补偿训练】
设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β∈R,
若f(2
019)=5,则f(2
020)等于
( )
A.4 B.3 C.-5 D.5
【解析】选C.因为f(2
019)=asin(2
019π+α)+bcos(2
019π+β)=-asin
α-bcos
β=5,
所以f(2
020)=asin(2
020π+α)+
bcos(2
020π+β)=asin
α+bcos
β=-5.
2.若函数f(x)=,
(1)求证:y=f(x)是偶函数;
(2)求f的值.
【解析】(1)因为f(x)=
=
=
==cos
x,
即f(x)=cos
x,x∈R.
则f(-x)=cos(-x)=cos
x=f(x),
所以y=f(x)是偶函数.
(2)由(1)知f=cos=.
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PAGE(共44张PPT)
7.2.3 三角函数的诱导公式(一)
必备知识·自主学习
诱导公式
(1)诱导公式一
sin(α+2kπ)=_______,cos(α+2kπ)=_______,tan(α+2kπ)=_______
(k∈Z)?
语言表达:终边相同的角的同一三角函数值相等.
导思
1.怎样将任意角的三角函数化为
内的角的三角函数?
2.诱导公式有简单的记忆方法吗?
sin
α
cos
α
tan
α
(2)诱导公式二、三、四
公式二
公式三
公式四
终边
关系
角-α与角α的终边关于x轴对称.
角π-α与角α的终边关于y轴对称.
角π+α与角α的终边关于原点对称.
图形
公式二
公式三
公式四
公式
sin(-α)=
-sin
α,
cos(-α)=
_______,
tan(-α)=
-tan
α
sin(π-α)
=sin
α,
cos(π-α)
=-cos
α,
tan(π-α)
=
________
sin(π+α)
=
________,
cos(π+α)
=-cos
α,
tan(π+α)=tan
α
cos
α
-tan
α
-sin
α
(3)本质:在单位圆中,不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.
(4)应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数,广泛应用于计算、化简、证明之中.
【思考】
公式一至公式四有简单的记忆方法吗?
提示:有,记忆口诀为:“函数名不变,符号看象限”.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)公式一～四对任意角α都成立.
( )
(2)由公式二知cos
[-(α-β)]=-cos(α-β).
( )
(3)在△ABC中,sin(A+B)=sin
C.
( )
提示:(1)×.关于正切的公式中必须满足α≠kπ+
,k∈Z.
(2)×.cos
[-(α-β)]=cos(α-β),
故cos
[-(α-β)]=-cos(α-β)是不正确的.
(3)√.因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin
C.
2.(2020·梅州高一检测)sin
600°的值为
( )
【解析】选A.sin
600°=sin(720°-120°)=-sin
120°
=-sin(180°-60°)=-sin
60°=-
.
3.函数f(x)=
sin
2x的奇偶性为
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
【解析】选A.f(x)=
sin
2x的定义域为R,
f(-x)=
sin
2(-x)=-
sin
2x=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
4.(教材二次开发:例题改编)计算:cos
210°=__________.?
【解析】cos
210°=cos(180°+30°)=-cos
30°=-
.
答案:-
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.已知cos(π+θ)=
,则cos
θ=
( )
2.(2020·佛山高一检测)计算:cos(-2
370°)=
( )
A.
B.-
C.-
D.
3.计算:sin
·cos
·tan
=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】1.选B.因为cos(π+θ)=-cos
θ=
,
所以cos
θ=-
.
2.选C.cos(-2
370°)=cos(-7×360°+150°)=cos
150°=cos(180°-30°)=
-cos
30°=-
.
3.选C.原式=sin
·cos
·tan
=sin
·cos
·tan
=sin
·cos
·tan
=
·
·tan
=
×
×1=
.
【解题策略】
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
【补偿训练】
1.(2020·重庆高一检测)计算:
=
( )
【解析】选A.
2.求下列各三角函数值.
(1)cos
;(2)tan(-765°);
(3)
【解析】(1)cos
=cos
=cos
=cos
=-cos
=-
.
(2)tan(-765°)=-tan
765°
=-tan(45°+2×360°)=-tan
45°=-1.
类型二 给值(式)求值问题(数学运算)
【典例】1.已知cos(π-α)=-
,且α是第一象限角,则sin(-2π-α)的值
是( )
2.(2020·珠海高一检测)已知
则sin
=
( )
【思路导引】1.由已知利用诱导公式与同角三角函数的基本关系式即可计算求
值得解.
2.因为
=π,所以
,应用诱导公式化简即可.
【解析】1.选B.因为cos(π-α)=-cos
α,
所以cos
α=
.因为α是第一象限角,所以sin
α>0.
所以sin
α=
所以sin(-2π-α)=sin(-α)=-sin
α=-
.
2.选D.因为
所以
【解题策略】
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题,首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
【跟踪训练】
1.若sin(π+α)=
,α∈
,则tan(π-α)等于
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选D.因为sin(π+α)=-sin
α,
根据条件得sin
α=-
,
又α∈
,
所以cos
α=
=
.
所以tan
α=
=
=-
.
所以tan(π-α)=-tan
α=
.
2.已知cos(α-75°)=-
,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.
【解析】因为cos(α-75°)=-
<0,且α为第四象限角,
所以sin(α-75°)=
=
=-
,
所以sin(105°+α)=sin
[180°+(α-75°)]
=-sin(α-75°)=
.
类型三 化简求值问题(数学运算)
角度1 非特殊角的化简问题?
【典例】计算:cos
+cos
+cos
+cos
.
【思路导引】观察
与
,
与
的关系,分别用诱导公式化简.
【解析】原式=
【变式探究】
若将典例中代数式改为:tan
+tan
+tan
+tan
+tan
+tan
,怎么化简?
【解析】原式=tan
+tan
+tan
+tan
+tan
+tan
=tan
+tan
+tan
-tan
-tan
-tan
=0.
角度2 复杂三角函数式的化简?
【典例】已知sin
α=-
,且π<α<
,求下列各式的值:
(1)tan
α;
(2)(sin
α+cos
α)2+
.
【思路导引】(1)由题意利用同角三角函数的基本关系,求得tan
α的值.
(2)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
【解析】(1)已知sin
α=-
,且π<α<
,
所以cos
α=-
=-
,
所以tan
α=
=3.
(2)(sin
α+cos
α)2+
【解题策略】
复杂三角函数式的化简方法
(1)对于复杂的三角函数式的化简,我们一般采取利用诱导公式对每一项化简,再合在一起的方法.注意,化简时一定要细心,尽量避免出现错误,特别是三角函数的符号错误.
(2)解题时要注意同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,三角函数在各个象限中的符号,以及条件三角函数的基本关系等知识的交汇应用.
【题组训练】
1.化简:
=__________.?
【解析】原式=
=
答案:-1
2.求值:tan
10°+tan
170°+sin
1
866°-sin(-606°)=______.?
【解析】原式=tan
10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-
sin
[(-2)×360°+114°]
=tan
10°-tan
10°+sin
66°-sin(180°-66°)
=sin
66°-sin
66°=0.
答案:0
3.化简:
(k∈Z).
【解析】当k=2n(n∈Z)时,
原式=
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=
综上,
=-1.
【补偿训练】
求
(n∈Z)的值.
【解析】①当n为奇数时,原式=
=
②当n为偶数时,原式=sin
π·cos
π
课堂检测·素养达标
1.sin
的值等于
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选B.sin
=-sin
π=-sin
=sin
=
.
2.(2020·南宁高一检测)cos(-690°)的值为
( )
【解析】选A.cos(-690°)=cos(-690°+720°)
=cos
30°=
.
3.(教材二次开发:练习改编)tan
300°+sin
450°的值是
( )
A.-1+
B.1+
C.-1-
D.1-
【解析】选D.原式=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)
=tan(-60°)+sin
90°=-tan
60°+1
=-
+1.
4.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则角θ的终边落在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.由sin(θ+π)=-sin
θ<0?sin
θ>0,cos(θ-π)=
-cos
θ>0?cos
θ<0,
可知θ是第二象限角.
5.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=-2tan
3x;(2)f(x)=xsin(x+π).
【解析】(1)f(-x)=-2tan
3(-x)=2tan
3x=-f(x),x∈R,所以f(x)=-2tan
3x为奇函数.
(2)f(x)=xsin(x+π)=-xsin
x,x∈R,
所以f(-x)=xsin(-x)=-xsin
x=f(x),
故函数f(x)为偶函数.温馨提示：
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课时素养评价
三十八 三角函数的诱导公式(二)
(15分钟 30分)
1.如果cos(π+A)=-,那么sin=
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为cos(π+A)=-cos
A=-,
所以cos
A=,所以sin=cos
A=.
2.已知sin=,则cos的值是( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选C.cos
=cos
=sin=.
3.(2020·重庆高一检测)已知角θ是第二象限角,且满足sin=,则tan(π+θ)=
( )
A.-
B.-1
C.-
D.
【解析】选A.因为角θ是第二象限角,且满足
sin=-cos
θ=,
可得cos
θ=-,
所以sin
θ==,
所以tan(π+θ)=tan
θ==-.
4.已知cos
α=,则sin·cos·tan(π-α)=________.?
【解析】sincostan(π-α)
=-cos
αsin
α·(-tan
α)=sin2α
=1-cos2α=1-=.
答案:
5.(2020·延吉高一检测)已知α是第三象限角,且f(α)=
.
(1)若cos=,求f(α)的值.
(2)求函数y=f2(x)+sin
x,x∈的值域.
【解析】(1)因为α是第三象限角,
cos==-sin
α,所以sin
α=-,
所以f(α)=
==-cos
α
==.
(2)因为x∈,所以sin
x∈,函数y=f2(x)+sin
x=1-sin2x+
sin
x=-,故当sin
x=时,函数取得最大值为;当sin
x=-时,函数取得最小值为,故该函数的值域为.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如果角θ的终边经过点,那么sin+θ+cos(π-θ)+tan(2π-θ)=
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选B.易知sin
θ=,cos
θ=-,
tan
θ=-.
原式=cos
θ-cos
θ-tan
θ=.
2.若f(sin
x)=3-cos
2x,则f(cos
x)=
( )
A.3-cos
2x
B.3-sin
2x
C.3+cos
2x
D.3+sin
2x
【解析】选C.f(cos
x)=f
=3-cos(π-2x)=3+cos
2x.
3.已知f(x)=sin
x,下列式子成立的是
( )
A.f(x+π)=sin
x
B.f(2π-x)=sin
x
C.f(π-x)=-f(x)
D.f=-cos
x
【解析】选D.f(x+π)=sin(x+π)=-sin
x;
f(2π-x)=sin(2π-x)=sin(-x)=-sin
x;
f=sin=-sin
=-cos
x;
f(π-x)=sin
(π-x)=sin
x=f(x).
【补偿训练】
计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=
( )
A.89
B.90
C.
D.45
【解析】选C.原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=44+=.
4.(多选题)下列与cos的值相等的是
( )
A.sin(π-θ)
B.sin(π+θ)
C.cos
D.cos
【解析】选BD.cos=cos
=-cos=-sin
θ.
A中sin(π-θ)=sin
θ;B中sin(π+θ)=-sin
θ;
C中cos=sin
θ;D中cos=-sin
θ.
【补偿训练】
(多选题)角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=90°,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是
( )
A.sin
β=
B.cos(π+β)=
C.tan
β=
D.tan
β=.
【解析】选AC.因为sin(π+α)=-sin
α,
所以sin
α=,若α+β=90°,则β=90°-α,
故sin
β=sin(90°-α)=cos
α=±,故A满足;
C中tan
β=,即sin
β=cos
β,又sin2β+cos2β=1,
故sin
β=±,即C满足,而B、D不满足.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若sin=,则cos=________.?
【解题指南】根据题意先分析α-与α+的关系,再由诱导公式即可化简求值得解.
【解析】因为sin=,
所以cos=cos
=cos=sin=.
答案:
【补偿训练】
已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是________.?
【解析】sin(α-15°)+cos(105°-α)
=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)]
=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)
=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-2cos(75°+α),
因为cos(75°+α)=,所以原式=-.
答案:-
6.已知cos=,则cos=________,sin=________.?
【解析】cos=cos
=-cos=-.
sin=sin
=sin=sin
=cos=.
答案:-
三、解答题
7.(10分)已知sin
α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,求·tan
2(π-α)的值.
【解析】方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2,因为-1≤sin
α≤1,
所以sin
α=-.
又α是第三象限角,
所以cos
α=-,tan
α==,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α
=-tan2α=-.
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