(共38张PPT)
7.3.1 三角函数的周期性
必备知识·自主学习
1.函数的周期性
(1)周期函数:设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在一个非零常数T,使得对于任
意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零
常数T叫作这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_____,那么
这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
正数
(3)本质:函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.
(4)应用:函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点,在生活中也有很多的应用.
【思考】
周期函数都有最小正周期吗?
提示:周期函数不一定存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,
x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数
没有最小正周期.
2.正、余弦函数的周期
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,
且A≠0,ω>0)的周期为________.
【思考】 当函数y=Asin(ωx+φ)中,ω<0时,函数的周期是多少?
提示:函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0)的
周期为
.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若sin
=sin
,则
是函数y=sin
x的一个周期.
( )
(2)若存在正数T,使f(x+T)=-f(x),则函数f(x)的周期为2T.
( )
(3)周期函数的周期只有唯一一个.
( )
提示:(1)×.举反例,sin
≠sin
,所以
不是正弦函数y=sin
x的一个
周期;不满足任意性.
(2)√.f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)的周期为2T.
(3)×.若T是函数f(x)的周期,则kT,k∈N
也是函数f(x)的周期,即周期函数的
周期有无数个.
2.函数f(x)=2sin
的最小正周期是
( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选B.因为ω=4,所以T=
3.(教材二次开发:例题改编)若函数f(x)(x∈R)的图象如图所示.
则该函数的周期为
( )
A.1
B.2
C.2.5
D.5
【解析】选B.根据函数的图象知,函数的周期为2.
关键能力·合作学习
类型一 求三角函数的周期(数学运算)
【题组训练】
1.函数f(x)=2cos
的最小正周期为
( )
A.2π
B.3π
C.
D.
2.函数f(x)=sin
的最小正周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
3.函数f(x)=|cos
x|的最小正周期为______________.?
【解析】1.选D.因为ω=-3,
所以T=
2.选C.设f(x)的周期为T,则f(x+T)=f(x),即
sin
=sin
对任意x都成立.
也就是sin(u+2T)=sin
u对任意u都成立,
其中u=2x+
.
因为y=sin
u的最小正周期为2π,可知使得sin(u+2T)=sin
u对于任意实数u都
成立的2T的最小值为2π,可知2T=2π,即T=π,
所以f(x)=sin
的最小正周期为π.
3.y=|cos
x|的图象如图(实线部分)所示,
由图象可知,y=|cos
x|的最小正周期为π.
答案:π
【解题策略】
求三角函数周期的方法
(1)定义法:找一个非零常数T,使得定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),
那么这个函数的周期为T.
(2)公式法:将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用
T=
求得.
(3)图象法:利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到周期.
【补偿训练】
1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是
( )
2.函数y=sin
的最小正周期为________.?
【解析】1.选D.对于D,x∈(-1,1)时的图象与其他区间图象不同,不是周期函数.
2.因为sin
=sin
=sin
,由周期函数的定义知,y=sin
的最小正周期为6π.
答案:6π
【拓展延伸】根据周期函数定义求周期
(1)若函数y=f(x)(x∈R)的图象关于x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)是周期函数
且2(b-a)是它的一个周期.
(2)已知f(x+a)=-f(x)(a>0),由定义可证得f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.
(3)若f(x+a)=
(a>0),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.
【拓展训练】
1.已知f(x+1)=
,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
【解析】因为f(x+2)=f[(x+1)+1]
=
=f(x),
所以f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
2.已知函数f(x)(x∈N
)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
【解析】由f(n+2)=f(n+1)-f(n),①
得f(n+3)=f(n+2)-f(n+1).②
①+②,得f(n+3)=-f(n).
所以f(n+6)=f[(n+3)+3]=-f(n+3)
=-[-f(n)]=f(n).
所以f(x)是周期函数,且6为f(x)的一个周期.
类型二 利用函数的周期性求值(逻辑推理、数学运算)
【典例】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正
周期是π,且当x∈
时,f(x)=sin
x,求f
的值.
【思路导引】利用周期函数与偶函数的性质,
将f
化为
内一个函数值.
【解析】因为f(x)的最小正周期是π,
所以f
=f
=f
.
因为f(x)是R上的偶函数,
所以f
=f
=sin
=
,
所以f
=
.
【变式探究】
1.将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”,其余不变,求f
的值.
【解析】因为f(x)的最小正周期为π,
所以f
=f
=f
,
因为f(x)是R上的奇函数,所以f
=-f
=
,所以
2.本例条件不变,求f
的值.
【解析】因为f(x)的最小正周期为π,
所以f
=f
=f
,因为f(x)是R上的偶函数,
所以f
=f
=sin
=
,
所以f
=
.
类型三 函数周期性的综合应用(逻辑推理)
【典例】设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数,且x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2.
(1)求f(3);
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
【思路导引】(1)由函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数,且x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,知f(3)=f(3-2)=f(1),由此能求出结果.
(2)由f(x)最小正周期为2,知当x∈[2,4]时,有f(x)=f(x-2),令x-2=m,
则m∈[0,2],知f(m)=(m-1)2,由此能求出当x∈[2,4]时f(x)的解析式.
【解析】(1)因为函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数,且x∈[0,2]时
f(x)=(x-1)2,
所以f(3)=f(3-2)=f(1)=(1-1)2=0.
(2)因为f(x)的最小正周期为2,
所以当x∈[2,4]时,都有f(x)=f(x-2),
令x-2=m,则m∈[0,2],
所以f(m)=(m-1)2,
将m=x-2代入,得f(x)=(x-2-1)2=(x-3)2.
【解题策略】
利用函数的周期性求函数的解析式
利用函数的周期性求函数解析式时,一般利用整体代入思想,将所求函数转化到已知的函数区间内,求函数的解析式,注意求解时函数自变量所在的区间;有时还要结合函数的奇偶性等性质求解.
【跟踪训练】
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(1)+f(2)+…+f(2
020)+f(2
021)的值.
【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
所以f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
所以当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,
f(4)=0.又f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=…=f(2
013)+f(2
014)+
f(2
015)+f(2
016)=f(2
017)+f(2
018)+f(2
019)+f(2
020)=0.
所以f(1)+f(2)+…+f(2
020)+f(2
021)
=0+f(2
021)=f(1)=1.
课堂检测·素养达标
1.今天是星期三,从明天算起,第167天是
( )
A.星期一
B.星期二
C.星期三
D.星期四
【解析】选B.因为周期T=7,
又167=23×7+6,
故第167天是星期三的前一天,星期二.
2.函数y=sin
4x的最小正周期是
( )
A.4π
B.2π
C.π
D.
【解析】选D.T=
3.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=
( )
A.1
B.-1
C.3
D.-3
【解析】选B.因为f(x+5)=f(x),f(-x)=-f(x),
所以f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,
所以f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,
所以f(3)-f(4)=-2+1=-1.
4.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=
sin
,x∈R的最小正周期为( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】选D.f(x)=
sin
=
=
=f(x+4π).
所以f(x)的最小正周期为4π.
5.函数f(x)是以2为周期的函数,且f(2)=3,则f(8)=____________.?
【解析】因为f(x)的周期为2,所以f(x+2)=f(x),
所以f(8)=f(2+3×2)=f(2)=3.
答案:3温馨提示：
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课时素养评价
三十九 三角函数的周期性
(15分钟 30分)
1.函数f(x)=cos的周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选C.方法一(定义法):因为f(x)=
cos=cos
=cos=f(x+π),
即f(x+π)=f(x),
所以函数f(x)=cos的周期T=π.
方法二(公式法):因为y=cos,
所以ω=2.又T===π.
所以函数f(x)=cos的周期T=π.
【补偿训练】
下列函数中,周期为的是
( )
A.y=sin
B.y=sin
2x
C.y=cos
D.y=cos(-4x)
【解析】选D.A中,T==4π;
B中,T==π;
C中,T==8π;
D中,T==.
2.已知函数y=2cos(ω<0)的最小正周期是4π,则ω=
( )
A.-4
B.-
C.-1
D.-
【解析】选D.因为T==4π,
所以|ω|=,
因为ω<0,所以ω=-.
3.函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(1)=2,则f(5)=
( )
A.2
B.1
C.-2
D.-1
【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,
所以f(x+3)=f(x)且f(-x)=-f(x),
又f(1)=2,所以f(5)=f(2+3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.
4.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2
014)=
________.?
【解析】因为f(x+6)==f(x),
所以函数f(x)的周期为6,
故f(2
014)=f(4)==2.
答案:2
5.若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而呈周期性变化,如图所示,请回答下列问题:
(1)单摆运动的周期是多少?
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?
(3)当t=11
s时,单摆小球相对于静止位置的位移是多少?
【解析】(1)从图象可以看出单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从O点算起,到曲线上的D点表示完成了一次往复运动;若从A点算起,到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.
(3)11=0.2+0.4×27,所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数,且当x∈时,
f(x)=sin
x;当x∈时,f(x)=cos
x,则f=
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选A.因为T=π,x∈时,f(x)=cos
x,
所以f=f=f=cos
=cos=-cos=-.
2.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是
( )
【解析】选B.由f(-x)=f(x),得f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.
由f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为2.
3.设函数f(x)=sinx,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
019)=
( )
A.
B.-
C.
D.0
【解析】选C.因为f(x)=sinx的周期T==6,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
019)
=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2
017)+f(2
018)+f(2
019)
=336（sin+sinπ+sin
π+sinπ+sinπ+sin
2π）+f(336×6+1)+
f(336×6+2)+f(336×6+3)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)=sin+sinπ+sinπ=.
【补偿训练】
定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
【解析】选D.由已知得f(x+π)=f(x),
f(-x)=-f(x),
所以f=f=f
=-f=-1.
4.(多选题)设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.
若f=,则cos
α的可取值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选CD.因为f(x)的最小正周期为,
ω>0,所以ω==4.
所以f(x)=3sin.
由f
=-3sin
α=,
sin
α=-.
得cos
α=±.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是______.?
【解题指南】根据求函数周期的公式,表示出函数的周期,再根据条件T∈(1,3)列出不等式组,求出ω的范围,注意ω是正整数这一条件.
【解析】T=,又T∈(1,3),所以1<<3,
又ω∈N
,则ω=3,4,5,6,所以ω的最大值为6.
答案:6
【补偿训练】
函数y=sin的周期不大于4,则正整数k的最小值为________.?
【解析】由T=得T==.
因为T≤4,所以≤4,所以k≥π,所以正整数k的最小值为4.
答案:4
6.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=-(f(x)≠0),若f(1)=-5,则f(5)=________,f(f(5))=________.?
【解析】因为f(x+2)=-,
所以f(x+4)=-=-=f(x).
所以f(x)是周期函数,4就是它的一个周期.
所以f(5)=f(1)=-5,
所以f(f(5))=f(-5)=f(-1)
===.
答案:-5
三、解答题
7.(10分)已知函数y=sin
x+|sin
x|.
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
【解析】(1)y=sin
x+|sin
x|
=
函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,则函数的最小正周期是2π.
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