1.3.1 正方形的性质与判定 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
数学北师大版
九年级
1.3
正方形的性质与判定
图中的四边形都是特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征?
2
2
2.5
2.5
3
3
邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
有一组邻边相等，平行四边形叫做菱形.
所以正方形是菱形.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
所以正方形又是矩形.
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分
在正方形ABCD中
AB=BC=CD=DA
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AO=BO=CO=DO
AC⊥BD
边
正方形
平行
相等
直角
角
对角线
相等
垂直
平分
每条对角线平分一组对角
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
D
O
C
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°,
AB=AC
（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B
=∠C
=∠D
=
90°,
AB=
BC=CD=AD.
∟
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
A
B
D
O
C
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.
BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE
=90°
.
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
BE=DF
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF
,
∴∠CBE
=∠CDF.
∵∠DCF
=90°
,
∴∠CDF
+∠F
=90°.
∴∠CBE+∠F=90°
,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
练习：
如图，在正方形ABCD中，
ΔBEC是等边三角形，
求证：
∠EAD＝∠EDA＝15°
.
证明：∵
ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵
四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD,
∠ABE=∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
【变式题2】
如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
例2
如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，
PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°,
AC垂直平分BD,
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC
，
PF⊥DC,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=EF.
课堂小结
正方形的性质
：
边：
正方形的对边平行且相等.
角：
正方形的四个角都是直角.
对角线：
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角.
作业布置：
习题1.7
1，2，3，4
选讲内容：
例1：已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.
求证：OE=OF.
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE=∠DOF=90°，
AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）
又DG⊥AE，
∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO.
∴△AEO≌△DFO.
∴OE=OF.
例2：如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为点E，延长DE交AB于点F.在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH.
求证：∠ABH=∠CDE.
证明：
正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°.
因为DE⊥AG，
所以∠2+∠EAD=90°.
因为∠1+∠EAD=90°，
所以∠1=∠2.
因为∠ABG=∠DAF=90°，
所以△ABG≌△DAF（ASA）.
所以BG=AF，AG=DF，∠BGA=∠AFD.
因为AG=DE+HG，DF=DE+EF.
所以EF=HG.
所以△AEF≌△BHG（SAS）.
所以∠1=∠3.
所以∠2=∠3.
因为∠2+∠CDE=90°，∠3+∠ABH=90°，
所以∠ABH=∠CDE.
例3.（鄂州中考）如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点.
（1）求证：△ADE≌△ABF.
（2）求△AEF的面积.
解：
(1)因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=AD，∠B=∠D=90°,DC=CB,
又因为E、F分别为DC、BC中点，
所以DE=BF，
所以△ADE≌△ABF（SAS）.
（2）由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，
且AB=AD=4，DE=BF=12×4=2，CE=CF=12×4=2，
∴S△AEF
=S正方形ABCD
-S△ADE
-S△ABF
-S△CEF
=4×4-
0.5
×4×2-
0.5×4×2-
0.5
×2×2
=6.
例4.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝(
－1)cm，
∴BE＝(
－1)cm．
谢谢
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