北师大版九年级上册数学同步练习1.1 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用(Word版 含答案 )

北师大版九年级上册数学同步练习
第3课时　菱形的性质与判定的综合应用
一、选择题
1.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心、OA的长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=2
cm,四边形OACB的面积为4
cm2,则OC的长为
(　　)
A.2
cm
B.3
cm
C.4
cm
D.5
cm
2.如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任意一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面积是
(　　)
A.2
B.
C.3
D.
3.如图,在?ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F.若BF=12,AB=10,则AE的长为
(　　)
A.8
B.10
C.12
D.16
4.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为
(　　)
A.1
B.2
C.2
D.4
二、填空题
5.如图,小华剪了两条宽均为的纸条,交叉叠放在一起,且它们的交角为60°,则它们重叠部分的面积为　
　.?
6.如图,在?ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,给出下列结论:①若△AEF是等边三角形,则∠B=60°;②若∠B=60°,则△AEF是等边三角形;③若AE=AF,则?ABCD是菱形;④若?ABCD是菱形,则AE=AF.其中结论正确的是　
　.(只需填写正确结论的序号)?
7.如图所示,四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,AO=CO=8,BO=DO=6,P为线段AC上的一个动点.
(1)填空:AD=CD=　
　;?
(2)过点P分别作PM⊥AD于点M,作PH⊥DC于点H.连接PB,在点P运动过程中,PM+PH+PB的最小值为　
　.?
三、解答题
8.在?ABCD中,AB=2BC=4,E,F分别为AB,CD的中点.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若四边形DEBF为菱形,求四边形ABCD的面积.
9.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,交BF于点C,BD平分∠ABF,交AE于点D,连接CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠ADB=30°,BD=12,求AD的长.
10.如图,在?ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证:?ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求?ABCD的面积.
11.如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=12
cm,AC=6
cm,点E在线段BO上从点B出发以1
cm/s的速度向点O运动,点F在线段OD上从点O出发以2
cm/s的速度向点D运动.
(1)若点E,F同时运动,设运动时间为t
s,当t为何值时,四边形AECF是平行四边形?
(2)在(1)的条件下,当AB为何值时,?AECF是菱形?
(3)求(2)中菱形AECF的面积.
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC分别与AB,AC交于点G,F,连接CG.
(1)求证:四边形BCGD是菱形;
(2)若BC=1,求DF的长.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
答案
C
B
D
C
二、填空题
5.　2　
6.　①③④　
7.(1)　10　
(2)　15.6　
三、解答题
8.解:(1)略.
(2)连接BD,由(1)得AE=EB.
∵四边形DEBF是菱形,
∴DE=EB=AE,∴△ADB是直角三角形,
在Rt△ADB中,∵∠ADB=90°,AD=BC=2,AB=4,
∴BD==2.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴S四边形ABCD=2S△ADB=2××2×2=4.
9.解:(1)∵AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD.
又∵BD平分∠ABF,∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,
同理,AB=BC,∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,BD=12,
∴AC⊥BD,OD=OB=BD=6.
∵∠ADB=30°,∴AD=2AO.
∵AO2+OD2=AD2,∴AO2+62=(2AO)2,解得AO=2,
∴AD=4.
10.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.
又∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD,
∴AB=AD,∴?ABCD是菱形.
(2)连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD,AO=OC=AC=×6=3.
∵AB=5,AO=3,
∴BO==4,
∴BD=2BO=8,
∴S?ABCD=AC·BD=24.
11.解:(1)若四边形AECF为平行四边形,则AO=OC,EO=OF.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴BO=OD=6,
∴EO=6-t,OF=2t,∴6-t=2t,∴t=2
s,
∴当t为2
s时,四边形AECF是平行四边形.
(2)若四边形AECF是菱形,则AC⊥BD,
∴AO2+BO2=AB2,∴AB==3,
∴当AB=3
cm时,?AECF是菱形.
(3)∵四边形AECF是菱形,∴BO⊥AC,OE=OF,
∴6-t=2t,∴t=2,∴OE=OF=4,∴EF=8,
∴菱形AECF的面积=AC·EF=×6×8=24
cm2.
12.解:(1)∵∠A=30°,CD⊥AB,
∴在Rt△ACE中,CE=AC.
∵CD=AC,∴CE=CD,∴CE=DE.
∵DF∥BC,∴∠EDG=∠ECB,
在△EDG和△ECB中,
∴△DEG≌△CEB,∴EG=BE,
∴四边形BCGD是平行四边形.
又∵CD⊥AB,∴?BCGD是菱形.
(2)∵∠A=30°,∠ACB=90°,BC=1,
∴AB=2BC=2.
∵∠ECB+∠ACE=90°,∠A+∠ACE=90°,
∴∠ECB=∠A=30°,∴BE=BC=,
∴BG=2BE=1,∴AG=AB-BG=1.
在Rt△AGF中,GF=AG=.
又∵DG=BC=1,∴DF=DG+GF=1+.