北师大版九年级上册数学同步练习1.2 第1课时 矩形的性质(Word版 含答案 )

北师大版九年级上册数学同步练习
1.2　矩形的性质与判定
第1课时　矩形的性质
一、选择题
1.如图所示,在矩形ABCD中,E是BC边的中点,且AE平分∠BAD,CE=2,则CD的长是
(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,把斜边AC分成n段,以每段为对角线作小长方形,则所有这些小长方形的周长的和是
(　　)
A.14
B.28
C.
D.
3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AC=4,∠AOD=120°,则BC的长为
(　　)
A.4
B.4
C.2
D.2
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD与CE分别是斜边AB上的高与中线,则下列判断正确的有
(　　)
①∠DCB=∠A;②∠DCB=∠ACE;③∠ACD=∠BCE;④∠BCE=∠BEC.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分BO.若AE=
cm,则OD=
(　　)
A.1
cm
B.1.5
cm
C.2
cm
D.3
cm
6.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于点G,CD=AE.若BD=8,CD=5,则△DCG的面积是
(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.如图,矩形ABCD的对角线AC的中点为O,点E是BC的中点,连接OD,已知AB=6,BC=8,则四边形OECD的周长是　　　　.?
8.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,点E为AB的中点,AD=6,DE=5,则线段BD的长等于　　　　.?
9.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,BC的中点,延长AC到点F,使得CF=AC,连接EF.若EF=4,则AB=　
　.?
10.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.已知AD=4
cm,图中阴影部分面积的总和为6
cm2,则对角线AC的长为　　cm.?
11.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,若P是AC上的一个动点,则AP+BP+CP的最小值是　
　.?
12.如图,在△ABC中,BC=18,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,F,G分别为BC,DE的中点.若ED=10,则FG的长为　
　.?
三、解答题
13.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,OE=OF.求证:AE=CF.
14.如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
(2)AC=DB.
15.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点.求证:∠EBC=∠ECB.
16.如图,矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为点E,F.
求证:BE=CF.
17.如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:DF=AB;
(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD.
18.在矩形ABCD中,AC是对角线,AE,CF分别平分∠BAC,∠ACD,且点E,F分别在边BC,AD上,连接EF交AC于点O.
(1)求证:AE=CF;
(2)当∠ACB=30°时,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请直接写出图中所有为AE长度一半的线段.
19.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图1,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=FB,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
B
C
C
C
D
6.【提示】连接ED,易得ED=AB=AE=CD.∵DG⊥CE,∴S△DCG=S△DCE.易求△DCE中DC边上的高为3,∴S△DCE=,∴S△DCG=.
二、填空题
7.【解析】根据题意可知△ABC和△ADC是直角三角形,因为AC的中点为O,E是BC的中点,所以OE是△ABC的中位线,可得OE=AB=3,CE=BC=4;又因为OD是Rt△ADC斜边上的中线可得OD=AC==5,根据矩形的性质可知DC=AB=6,从而可得四边形OECD的周长=OE+EC+CD+OD=3+4+6+5=18.
【答案】18
8.
8
9.　8　
10.　5　
11.　14.8　
12.　2　
三、解答题
13.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC.
又∵∠AOE=∠COF,OE=OF,
∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.
14.(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等),AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC=90°,
∴∠BCD=90°,
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC=DB.
15.∵ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=CD.
∵E是AD中点,
∴AE=DE,
∴△ABE≌△DCE,
∴BE=CE,
∴△BEC是等腰三角形,
∴∠EBC=∠ECB.
16.因为四边形ABCD是矩形,
所以AC=BD,OB=BD,OC=AC,
所以BO=CO.
因为BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为点E,F,
所以∠BEO=∠CFO=90°.
又因为∠BOE=∠COF,
所以△BOE≌△COF,
所以BE=CF.
17.解:(1)在矩形ABCD中,∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAF.
又∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°=∠B.
又∵AD=EA,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB.
(2)∵∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠FDC=∠DAF=30°,∴AD=2DF.
∵DF=AB,∴AD=2AB=8.
18.解:(1)∵矩形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.
又∵AE,CF分别平分∠BAC,∠ACD,
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AB=CD,∠B=∠D=90°,
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AE=CF.
(2)BE=OE=OF=DF=AE.
19.解:(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠BFO.
又∵∠AOE=∠FOB,AE=FB,
∴△AOE≌△FOB,∴EO=BO,
∴AO是△ABE的边BE上的中线,
∴△AOB和△AOE是“友好三角形”.
(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3.
∵△AOB和△AOE是“友好三角形”,
∴S△AOB=S△AOE.
∵△AOE≌△FOB,∴S△AOE=S△FBO,
∴S△AOD=S△ABF.
∵AE=FB,AE=3,∴FB=3,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.