北师大版九年级上册数学同步练习1.2 第2课时 矩形的判定(Word版 含答案 )

北师大版九年级上册数学同步练习
第2课时　矩形的判定
一、选择题
1.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是
(　　)
A.AB=BC
B.AC⊥BD
C.∠ABC=90°
D.∠1=∠2
2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=2,若要使平行四边形ABCD是矩形,则OB的长应该为
(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
3.如图,要使?ABCD成为矩形,需添加的条件是
(　　)
A.AB=BC
B.AC⊥BD
C.∠ABC=90°
D.∠1=∠2
4.如图,有下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④∠ADC=∠BAD.从中选取一个作为补充条件,使?ABCD为矩形,其中错误的是
(　　)
A.①
B.②
C.③
D.④
5.在△ABC中,D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是
(　　)
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
6.在数学活动课上,老师要求同学们判断一个四边形的小黑板是否为矩形,下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案,其中正确的是
(　　)
A.测量其中三个角是否都为直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否相互平分
二、填空题
7.如图,直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为10,则图中四边形的周长为　
　.?
8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4
cm,AD>AB,CD=5
cm,点P从点C出发沿边CB以每秒1
cm的速度向点B运动,　
　秒后四边形ABPD是矩形.?
9.如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,AC与BD还要满足　
　,才能保证四边形EFGH是矩形.?
三、解答题
10.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF.若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么特殊的四边形,并说明理由.
11.如图,在△ABC中,BD是AC的垂直平分线.过点D作AB的平行线交BC于点F,过点B作AC的平行线,两平行线相交于点E,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.
12.如图,在?ABCD中,AE,BF,CN,DM分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,且相交于点O,K,H,G.求证:四边形HGOK是矩形.
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC>AC,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,求证:四边形DCEF是矩形.
14.如图,直线AB∥CD,EF和AB,CD分别相交于M,N两点,射线MP,MQ,NP,NQ分别是
∠AMN,∠BMN,∠MNC,∠MND的平分线,MP,NP相交于点P,MQ和NQ相交于点Q.
求证:四边形MPNQ是矩形.
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC,BC为底边,向△ABC外部作等腰△ADC和△CEB,M为AB的中点,连接MD,ME,分别与AC,BC交于点F和点G.
求证:四边形MFCG是矩形.
16.如图,D,E分别是不等边△ABC的边AB,AC的中点.O是△ABC内的动点,连接OB,OC,G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.
(1)求证:四边形DGFE是平行四边形.
(2)当OA与BC满足什么关系时,四边形DGFE是矩形?请说明理由.
17.如图,在△ABC中,O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC,分别交∠ACB,∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长.
(2)连接AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
C
A
D
A
二、填空题
7.　20　.?
8.　3　
9.　AC⊥BD　
三、解答题
10.解:四边形AFCE是矩形.
理由:略.
11.证明:∵BD是AC的垂直平分线,
∴AD=DC,BD⊥CA,∴∠BDC=90°.
由题意知AB∥DE,AD∥BE,∴四边形ABED是平行四边形,∴AD=BE,∴DC=BE,
又DC∥BE,∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠BDC=90°,∴四边形BECD是矩形.
12.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE,BF分别平分∠DAB,∠ABC,
∴∠OAB+∠OBA=(∠DAB+∠ABC)=×180°=90°,∴∠GOK=90°,
同理,∠OKH=90°,∠KHG=90°,
∴四边形HGOK是矩形.
13.因为点D,E,F分别是△ABC三边的中点,
所以DF∥AC,EF∥BC.
因为∠C=90°,
所以∠CEF=∠CDF=90°,
所以四边形DCEF是矩形.
14.∵MP平分∠AMN,
∴∠1=∠AMN.同理∠2=∠MND,∠4=∠BMN.
∵∠1+∠4=(∠AMN+∠BMN)=90°,
即∠PMQ=90°.
同理∠PNQ=90°.
∵AB∥CD,
∴∠BMN+∠MND=180°,
∴∠4+∠2=(∠BMN+∠MND)=90°,
∴∠MQN=90°,
∴四边形MPNQ是矩形.
15.证明:连接CM,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB的中点,
∴CM=AM=BM=AB,
∴点M在线段AC的垂直平分线上.
∵在等腰△ADC中,AC为底边,AD=CD,
∴点D在线段AC的垂直平分线上,
∴MD垂直平分AC,∴∠MFC=90°.
同理,∠MGC=90°,
∴四边形MFCG是矩形.
16.解:(1)∵D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE∥BC,DE=BC,
同理,GF∥BC,GF=BC,
∴DE∥GF,DE=GF,
∴四边形DGFE是平行四边形.
(2)当OA⊥BC时,四边形DGFE是矩形.
理由:连接AO,由(1)知四边形DGFE是平行四边形.
当OA⊥BC时,DG⊥GF,∴平行四边形DGFE是矩形.
∴当OA⊥BC时,四边形DGFE是矩形.
17.解:(1)由题意得∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,
∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,
∴∠ECF=90°.
在Rt△CEF中,EF==10,
∴OC=EF=5.
(2)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:连接AE,AF,当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形.