北师大版九年级上册数学同步练习1.3 第2课时 正方形的判定(Word版 含答案 )

北师大版九年级上册数学同步练习
第2课时　正方形的判定
一、选择题
1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是
(　　)
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
2.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明
(　　)
A.AB=BD且AC⊥BD
B.∠A=∠B且AB=AD
C.∠A=∠B且AC=BD
D.AC和BD互相垂直平分
3.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6
cm,BC=8
cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为
(　　)
A.6
cm
B.4
cm
C.3
cm
D.2
cm
4.关于一个四边形是不是正方形,有如下条件:①对角线互相垂直且相等的平行四边形;②对角线互相垂直的矩形;③对角线相等的菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形.以上条件,能判定四边形是正方形的是
(　　)
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
5.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,则下列结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③AE+DF=AF+DE;④当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.
其中一定正确的结论是
(　　)
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
二、填空题
6.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相等且互相平分,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,可添加的条件是　
　.(写出一个条件即可)?
7.如图,?ABCD的对角线互相垂直,要使四边形ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是　
　.(只需添加一个即可)?
8.如图,在?ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F,∠B=60°,当边AD∶AB=　
　时,四边形AECF是正方形.?
三、解答题
9.如图,已知D是△ABC的边AB的中点,四边形BCED是平行四边形.
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;
(2)若AC=BC,AC⊥BC,求证:四边形ADCE是正方形.
10.如图,已知E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP=CQ=DE.
求证:(1)EF=FP=PQ=QE;
(2)四边形EFPQ是正方形.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证:四边形CEDF是正方形.
12.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,过点E作EF⊥AD于点F,连接BF交AE于点P,连接PD.求证:四边形ABEF是正方形.
13.如图,已知在等边△ABC中,过边AB上一点D作DE⊥BC,垂足为E,过边AC上一点G作GF⊥BC,垂足为F,BE=CF,连接DG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)连接AF,当∠BAF=3∠FAC时,求证:四边形DEFG是正方形.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD.
(2)填空:
①当AB=　
　BD时,四边形BECD是菱形;?
②在①的基础上,当∠A的度数为　
　时,四边形BECD是正方形.?
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
答案
C
B
D
D
B
二、填空题
6.　AB=BC(答案不唯一)　
7.　∠ABC=90°或AC=BD　
8.　(+1)∶2　
三、解答题
9.证明:(1)∵四边形BCED是平行四边形,
∴BD∥CE,BD=CE.
∵D是AB的中点,∴AD=BD,∴AD=CE.
又∵AD∥CE,∴四边形ADCE是平行四边形.
(2)∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°.
∵在Rt△ABC中,D是AB的中点,
∴CD=AD=AB.
∵在△ABC中,AC=BC,D是AB的中点,
∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,
∴平行四边形ADCE是正方形.
10.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD.
∵AF=BP=CQ=DE,∴DF=CE=BQ=AP,
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS),
∴EF=FP=PQ=QE.
(2)∵EF=FP=PQ=QE,
∴四边形EFPQ是菱形.
∵△APF≌△BQP,∴∠AFP=∠BPQ.
∵∠AFP+∠APF=90°,
∴∠APF+∠BPQ=90°,
∴∠FPQ=90°,∴四边形EFPQ是正方形.
11.证明:过点D作DG⊥AB于点G.
∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,∴DF=DG.
同理DE=DG,∴DF=DE.
易知∠C=∠DFC=∠DEC=90°,∴四边形CEDF是矩形.
又∵DF=DE,∴矩形CEDF是正方形.
12.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠FAB=∠ABE=90°,AF∥BE.
∵EF⊥AD,∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°,
∴四边形ABEF是矩形.
∵AE平分∠BAD,AF∥BE,
∴∠FAE=∠BAE,∠FAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,
∴矩形ABEF是正方形.
13.证明:(1)∵DE⊥BC,GF⊥BC,
∴∠DEF=∠GFC=90°,∴DE∥GF.
∵∠B=∠C=60°,BE=CF,∠DEB=∠GFC=90°,
∴△BDE≌△CGF,∴DE=GF,
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵∠DEF=90°,∴?DEFG是矩形.
∵∠BAC=60°,∠BAF=3∠FAC,∴∠GAF=15°.
在△CGF中,∵∠C=60°,∠GFC=90°,
∴∠CGF=30°,∴∠GFA=15°,
∴∠GAF=∠GFA,∴GA=GF.
∵DG∥BC,∴∠ADG=∠B=60°,
∴△DAG是等边三角形,∴GA=GD,
∴GD=GF,∴矩形DEFG是正方形.
14.解:(1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.
(2)①　2　
②　45°