北师大版九年级上册数学同步练习2.5 一元二次方程的根与系数的关系(Word版 含答案 )

北师大版九年级上册数学同步练习
2.5　一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
1.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个根,则x1·x2=
(　　)
A.-4
B.-1
C.1
D.4
2.x1,x2是关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根,是否存在实数m使=0成立?对此下列结论正确的是
(　　)
A.m=0时成立
B.m=2时成立
C.m=0或2时成立
D.不存在
3.设一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x1x2+x2等于
(　　)
A.1
B.-1
C.0
D.3
4.已知一元二次方程x2-2x-1=0的两个根分别为x1,x2,则的值为
(　　)
A.2
B.-1
C.-
D.-2
5.已知x1,x2是方程2x2=4x-1的两个实数根,则的值为
(　　)
A.17
B.6
C.5
D.3
6.设α,β是方程x2+x+2020=0的两个实数根,则α2+2α+β的值为
(　　)
A.-2020
B.2020
C.2021
D.-2021
7.已知α,β满足α+β=6,且αβ=8,则以α,β为两个根的一元二次方程是
(　　)
A.x2+6x+8=0
B.x2-6x+8=0
C.x2-6x-8=0
D.x2+6x-8=0
8.甲、乙两同学解方程x2+px+q=0,甲看错了一次项,得其根为2和7,乙看错了常数项,得其根为1和-10,则原方程为
(　　)
A.x2-9x+14=0
B.x2+9x-14=0
C.x2-9x+10=0
D.x2+9x+14=0
9.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为
(　　)
A.2
B.0
C.1
D.2或0
二、填空题
10.关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负数,则实数m的取值范围是　　　　.?
11.已知a,b,m,n为互不相等的实数,且(a+m)(a+n)=2,(b+m)(b+n)=2,则ab-mn的值为　
　.?
12.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=3,x2=4,则m+n的值是　
　.?
13.关于x的一元二次方程(k+1)x2-3x-3k-2=0有一个根为-1,则k的值和它的另一个根分别是　
　.?
14.设a,b是方程x2-x-2019=0的两根,则a2+2a+3b-2的值为
　.?
三、解答题
15.设x1,x2是方程2x2-9x+6=0的两个根,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3)(x1-3)(x2-3);
(4)x1-x2.
16.若α,β是一元二次方程3x2-5x+1=0的两个根,利用根与系数的关系求下列各式的值:
(1)(α-2)(β-2);
(2)(α+1)2+(β+1)2.
17.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,求a的值.
18.已知关于x的一元二次方程x2+2(m-2)x+(m2+4)=0有两个实数根,并且两根的平方和比两根的积大21,求m的值.
19.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且-x1x2=7,求m的值.
20.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1,x2满足=16+x1x2,求实数k的值.
21.已知关于x的两个一元二次方程,
方程①:x2+(k+2)x+1=0;
方程②:x2+(2k+1)x-2k-3=0.
(1)若这两个方程中只有一个有实数根,请说明哪个方程没有实数根;
(2)若这两个方程有一个公共根a,求代数式ak-a-2k的值.
22.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(2)求使-2的值为整数的实数k的整数值.
(3)若k=-2,λ=,试求λ的值.
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
C
A
B
D
D
D
B
D
B
二、填空题
10.【解析】因为一元二次方程有实数根,所以Δ≥0,即22-4(-2m+1)≥0,解得m≥0.根据一元二次方程根与系数的关系列出不等式-2m+1<0,解得m>.
【答案】m>
11.　-2　
12　5　.?
13.　1,　.?
14.　2020　
三、解答题
15.由题可得x1+x2=,x1x2=3.
(1).
(2)=(x1+x2)2-2x1x2=-6=.
(3)(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9=3-+9=-.
(4)x1-x2=±=±=±=±.
16.(1)解:由根与系数的关系可知α+β=,αβ=,
∴(α-2)(β-2)=αβ-2(α+β)+4=-2×+4=1.
(2)解:由根与系数的关系可知α+β=,αβ=,
∴(α+1)2+(β+1)2=α2+2α+1+β2+2β+1=(α+β)2-2αβ+2(α+β)+2=-2×+2×+2=+2=.
17.解:∵m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,∴m+n=3,mn=a.
∵(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-6,
∴a-3+1=-6,解得a=-4,即a的值为-4.
18.解:设两根分别为x1,x2,则x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4.
∵-x1x2=21,即(x1+x2)2-3x1x2=21,
∴4(m-2)2-3(m2+4)=21,
解得m1=17,m2=-1.
∵方程有实数根,∴Δ=4(m-2)2-4(m2+4)≥0,
解得m≤0,∴m=-1.
19.解:(1)∵Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,
得x1+x2=m-3,x1x2=-m.
∵-x1x2=7,∴(x1+x2)2-3x1x2=7,
∴(m-3)2-3×(-m)=7,解得m1=1,m2=2,
∴m的值为1或2.
20.解:(1)∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,
∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,
解得k≤,
∴实数k的取值范围为k≤.
(2)由题意得x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1.
∵=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,
∴(1-2k)2-2×(k2-1)=16+(k2-1),
即k2-4k-12=0,
解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去),
∴实数k的值为-2.
21.解:(1)Δ1=(k+2)2-4=k2+4k,Δ2=(2k+1)2-4×(-2k-3)=4k2+12k+13=(2k+3)2+4>0,
∵方程①②只有一个有实数根,∴方程①没有实数根.
(2)∵方程①②有一个公共根a,
∴a2+(k+2)a+1=0,　③
a2+(2k+1)a-2k-3=0,　④
④-③,得ak-a-2k-4=0.
22.解:(1)由题意得x1+x2=1,x1x2=,
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2-4x1x2-x1x2+2=2(x1+x2)2-9x1x2=2×12-9×=2-,
若2-=-成立,解得k=.
∵Δ=16k2-4×4k(k+1)=-16k>0,∴k<0,
又∵k=,∴与之相矛盾,∴不存在这样k的值.
(2)原式=-2=-2=-4=-,
∴k+1的值可取1,-1,2,-2,4,-4,∴k的值可取0,-2,1,-3,3,-5.
又∵k<0,∴k=-2或-3或-5.
(3)∵k=-2,λ=,x1+x2=1,
∴λx2+x2=1,x2=,x1=.
∵x1x2=,∴,∴λ=3±2.