2.2 圆的对称性同步训练题（含解析）

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初中数学苏科版九年级上册
2.2
圆的对称性
同步测试
一、单选题
1.下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（???
)
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.如图，在⊙O中，
＝
，∠A＝40°，则∠B的度数是（??
）
A.?60°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?70°
3.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（??
）
A.?30°，60°，90°??????????B.?60°，120°，180°??????????C.?50°，100°，150°??????????D.?80°，120°，160°
4.如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（???
）
A.?36°???????????????????????????????????????B.?48°???????????????????????????????????????C.?72°???????????????????????????????????????D.?96°
5.如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（??
）
A.?8???????????????????????????????????????B.?12???????????????????????????????????????C.?16???????????????????????????????????????D.?2
6.已知⊙O的半径是10cm，
是120°，那么弦AB的弦心距是（??
?）
A.?5cm??????????????????????????????B.?cm??????????????????????????????C.?cm??????????????????????????????D.?cm
7.如图，在⊙O中
=
，∠AOB=40°，则∠COD的度数（??
）
A.?20°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?60°
8.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（???
）
A.?12cm???????????????????????????????????B.?10cm???????????????????????????????????C.?8cm???????????????????????????????????D.?6cm
9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）
A.?AB=AD??????????????????????????B.?BC=CD??????????????????????????C.???????????????????????????D.?∠BCA=∠DCA
10.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（???
）
A.?2
cm?????????????B.?4
?cm?????????????C.?2
cm或4
cm?????????????D.?2
cm或4
cm
二、填空题
11.过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．
12.已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为________度。
13.在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为________．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．则
的度数为________．
15.如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，则水的深度CD是________.
16.如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是________.
17.如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=________．
18.如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=20°，点B为弧
的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．
三、解答题
19.如图，⊙O中，
，∠C＝75°，求∠A的度数．
20.已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．
21.已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
22.如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有64m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【考点】垂径定理的应用
解：（1）垂直于弦的直径平分弦，错误；（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误；（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，错误；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．正确；
其中正确的命题有1个.
故答案为：A．
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据这些定理即可判断。
2.【答案】
D
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：∵
，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝
（180°﹣∠A）＝
×（180°﹣40°）＝70°.
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数.
3.【答案】
D
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
4.【答案】
C
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，
∴弧BD的度数为144度，
∴∠A＝72°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可算出答案.
5.【答案】
C
【考点】垂径定理
解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝
＝
＝8，
∴AB＝2AM＝16.
故答案为：C.
【分析】连接OA，先根据已知条件OM：OD＝3：5易求出OD及OM的长，再用勾股定理可求出AM的长，然后结合垂径定理可求解.
6.【答案】A
【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
解：∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在
和
中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得AC=BC，用斜边直角边定理可证△OAC≌△OBC.根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=，由直角三角形的性质可得OC=OA即可求解。
7.【答案】
B
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：∵
=
，
∴
=
，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=40°，
故答案为：B．
【分析】首先得到AB弧与CD弧相等，利用等弧所对的圆周角相等得到∠AOB=∠COD，即可选择正确选项．
8.【答案】
B
【考点】垂径定理
解：如图，连接AB、OA、OC，则CD=2，AB=8；设圆的半径为r。
利用圆和矩形的轴对称性可得：OC⊥AB
∴AD=AB=4?
，OD=r-2
在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2
，
即（r-2）2+42=r2
，
解得r=5
∴2r=10（cm）
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理和勾股定理求解即可。
9.【答案】
B
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴
与
不一定相等，故本选项错误；
D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，在同圆中，根据相等的圆周角所对的弦相等即可得出BC=CD.
10.【答案】
C
【考点】垂径定理
解：连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=
AB=
×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=
=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=
cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=
cm.
故答案为：C.
【分析】连接AC，AO，由垂径定理可得AM=
AB；由题意分两种情况求解：
①当C点在优弧AB上时，用勾股定理可求得OM的值，则CM=OC+OM，然后在三角形ACM中用勾股定理可求得AC的长；
②当C点在劣弧AB上时，用勾股定理可求得OM的值，则CM=OC-OM，然后在三角形ACM中用勾股定理可求得AC的长。
二、填空题
11.【答案】
无数；一
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【分析】根据弦和直径的定义求解．
12.【答案】
60
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：?∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
AB所对的圆心角度数为：
故答案为：60.
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，
根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为圆周的.
13.【答案】60°
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：如图，
∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为60°．
【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
14.【答案】34°
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：连接CD，
∵∠C=90°，∠B=28°，
∴∠A=62°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=62°，
∴∠ACD=56°，
∴∠CDE=90°﹣56°=34°，
∴
的度数为34°，
故答案为：34°．
【分析】连接CD，根据三角形内角和定理求出∠A，根据等腰三角形的性质求出∠CDA，求出∠CDE即可．
15.【答案】
8
【考点】垂径定理
解：∵⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，OD⊥AB，
∴OD＝OA＝13，AC＝
AB＝12，
在Rt△AOC中，OC＝
＝
＝5，
∴CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8.
故答案为：8.
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，根据CD＝OD﹣OC即可得出结论.
16.【答案】
3
【考点】垂径定理
解：过点
作
于
，连接
，如图，
则
，
在
中，
，
所以
与
之间的距离是3.
故答案为3.
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，利用垂径定理求出CH的长，再利用勾股定理求出OH的长。
17.【答案】8
【考点】三角形中位线定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
解：可以判定OD垂直平分BC，所以根据勾股定理可以得到OD=4，在三角形ABC中OD为中位线，所以AC=8.
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦、垂径定理，中位线知识.
18.【答案】4
【考点】圆心角、弧、弦的关系
解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴
=
，
∵∠AMN=20°，
∴∠A′ON=40°，∠BON=20°，
∴∠A′OB=60°，
∴△A′OB是等边三角形，
∴A′B=
MN=4，即PA+PB的最小值4．
故答案为：4．
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知
=
，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．
三、解答题
19.【答案】
解：∵⊙O中，
，∠C＝75°，
∴∠B＝∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°×2＝30°．
【考点】三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系
【解析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B＝∠C＝75°，再利用三角形内角和定理求出即可．
20.【答案】
证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
【考点】垂径定理的应用
【解析】
作OM⊥AB后利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质即可得证。
21.【答案】证明：∵AB=CD，
∴∠AOB=∠COD，
∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，
∴∠AOC=∠BOD
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
22.【答案】
解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM?
A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302
，
解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N=
=
=16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
【考点】垂径定理的应用
【解析】
设圆弧所在圆的圆心为O，半径为x,?连结OA，OA'，利用垂径定理求出AM的长，结合已知量把QM用含x的代数式表示，在Rt△AMQ中，利用勾股定理列式求出x,
于是在Rt△A'ON中，由勾股定理列式可求A'N的长，则A'B'长可求，最后和30m作比较，可得判断.
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精品试卷·第
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