2.3 确定圆的条件同步训练题（含解析）

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初中数学苏科版九年级上册2.3
确定圆的条件
同步测试
一、单选题
1.现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆．②三点可以确定一个圆．③任意一个三角形有且只有一个外接圆．④任意一个圆有且只有一个内接三角形．其中正确的有
??
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（???
）.
A.?锐角三角形????????????????????????B.?直角三角形????????????????????????C.?钝角三角形????????????????????????D.?不能确定
3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（??
）
A.?第①块；????????????????????????????B.?第②块；????????????????????????????C.?第③块；????????????????????????????D.?第④块.
4.一个点到圆的最大距离为9
cm，最小距离为3
cm，则圆的半径为（?
）
A.?3
cm或6
cm??????????????????????????B.?6
cm??????????????????????????C.?12
cm??????????????????????????D.?12
cm或6
cm
5.如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（??
）
A.?2
＜r＜
?????????????????B.?＜r≤3
?????????????????C.?＜r＜5?????????????????D.?5＜r＜
6.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与直角顶点的距离是为（　　）
A.?2cm????????????????????????????????????B.?2.5cm????????????????????????????????????C.?3cm????????????????????????????????????D.?4cm
7.如图，0为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点△ABC的外部，则下列叙述正确的是(??
)．
A.?D是△AEB的外心，O是△AED的外心???????????????????B.?O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C.?D不是△AEB的外心，O是△AED的外心?????????????????D.?O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切于点M
，
P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ
，
则PQ长的最小值是（???????
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题
9.锐角三角形的外心在________，直角三角形的外心在________
，钝角三角形的外心在________.
10.直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm
，
则其外接圆半径长为________．
11.在Rt△ABC中
，∠C＝90°，AC＝2
，
BC＝4，若以点C为圆心，AC为半径作圆，则AB边的中点E与⊙C的位置关系为________．
12.在平面直角坐标系中有
，
，
三点，
，
，
．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为________．
13.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4
+10b，则△ABC的外接圆半径=________．
14.如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是M、N、P、Q四个点中的一个点________．
15.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为
、
、
，点E是
的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若
，则点D的坐标为________.
16.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为________．
三、解答题
17.如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是
上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．
19.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC的长度．
（2）连接BD，求证：DE=DB．
20.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【考点】确定圆的条件，三角形的外接圆与外心
解：①过两点可以作无数个圆，是真命题．
②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，是假命题．
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，是真命题．
④任意一个圆有无数个一个内接三角形，是假命题；
故选：
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案
2.【答案】
B
【考点】三角形的外接圆与外心
解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．
3.【答案】
B
【考点】确定圆的条件
【解析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是②．
故选B．
4.【答案】
A
【考点】点与圆的位置关系
解：当点P在圆O外时，
∵AP=9，PB=3
∴AB=AP-PB=9-3=6，
∴AO=6÷2=3cm；
当点P在圆O内时，
AP=9，BP=3
∴AB=9+3=12
∴圆的半径OA=12÷2=6cm，
∴圆的半径为3cm或6cm.
故答案为：A
【分析】分情况讨论：当点P在圆O外时；当点P在圆O内时，利用已知分别求出圆的直径，继而可求出圆的半径。
5.【答案】
B
【考点】点与圆的位置关系
解：给各点标上字母，如图所示：
AB=
=2
，AC=AD=
=
，AE=
=3
，AF=
=
，AG=AM=AN=
=5，
∴
＜r≤3
时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
6.【答案】
B
【考点】三角形的外接圆与外心
解：Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB==5cm，
∴Rt△ABC为外接圆的直径为5cm，
即△ABC的外心为AB的中点，
∴它的外心与直角顶点的距离是cm．
故选B．
【分析】先利用勾股定理计算出AB=5cm，再利用直角三角形的外心为斜边的中点得到外接圆的半径为2.5cm，于是得到它的外心与直角顶点的距离．
7.【答案】
D
【考点】三角形的外接圆与外心
解：
解：连结OA、OB、OD，如图，
∵O为△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OC=OE，
∴OA=OB=OE，
∴O为△ABE的外心，
又∵OA=OE≠OD，
∴O不是△ADE的外心.
故答案为：D.
【分析】连结OA、OB、OD，由三角形外心性质得OA=OB=OC，由正方形性质得OA=OB=OE，根据三角形外心定义可得O为△ABE的外心，由OA=OE≠OD，根据三角形外心定义可得O不是△ADE的外心.
8.【答案】
A
【考点】三角形中位线定理，点与圆的位置关系
解：当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，连接OM
，
如图，
∵AC为圆的切线，
∴OM⊥AC
，
∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°，
∴OM∥BC
，
且O为AB中点，
∴OM为△ABC的中位线，
∴OM=
BC=3，
同理可得PO=
AC=4，
∴PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1，
故答案为：A
．
【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，连接OM
，
分别利用三角形中位线定理可求得OM和OP的长，则可求得PQ的最小值．
二、填空题
9.【答案】
三角形内；斜边上；三角形外
【考点】三角形的外接圆与外心
解：锐角三角形的垂直平分线交点在三角形内，直角三角形的垂直平分线的交点在斜边上，钝角三角形的垂直平分线的交点在三角形外.
故答案为：
三角形内；斜边上；三角形外.
【分析】三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，据此自己可动手画画，即可得到答案.
10.【答案】
cm
【考点】三角形的外接圆与外心
解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm
，
∴根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为
cm＝13cm；
∴其外接圆半径长为
cm；
故答案是：
cm
．
【分析】根据圆周角定理可知直角三角形的斜边即为其外接圆的直径，据此求解即可。
11.【答案】
点E在⊙C外
【考点】点与圆的位置关系
解：由勾股定理可得斜边AB是
2
，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，CE=
，因为AC=2，
>2，所以点E在⊙C外．
【分析】由勾股定理可得斜边AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE的值，与半径AC
的长比较大小，根据点与圆的位置关系即可判断
中点E与⊙C的位置关系为点E在⊙C外。
12.【答案】
（2，0）
【考点】确定圆的条件，三角形的外接圆与外心
解：
，
，
不在同一直线上
经过点
，
，
可以确定一个圆
该圆圆心必在线段
的垂直平分线上
设圆心坐标为
则点
在线段
的垂直平分线上
由勾股定理得：
圆心坐标为
故答案为：
【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解
13.【答案】
【考点】三角形的外接圆与外心
解：
∵a+b2+|c-6|+28=4
+10b，
∴（a-1-4
+4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（
-2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴
?2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2
，
解得，r=
，
故答案为：
．
【分析】将a、b、c满足的等式根据完全平方公式整理可得，根据平方和绝对值的非负性可求得a、b、c的值，即可求得三角形的三边长，作CD⊥AB于点D，用勾股定理列方程即可求解。
14.【答案】
Q
【考点】勾股定理，三角形的外接圆与外心
解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，由此排除M和N点
，
由勾股定理得，BP==PA，
∴P点不在AB的垂直平分线上，排除P，
故答案为：Q.
【分析】
由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，排除M、N点；根据勾股定理得到BP=PA，故P不在AB的垂直平分线上，排除P，则只有Q是正确的.?
15.【答案】
【考点】坐标与图形性质，三角形的外接圆与外心
解：连接CE，过E作EF⊥AC于F.
∵点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，∴△OBA是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠BEC=∠BAC=45°.
∵∠DBC=45°，∴∠BCE=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=CE.
∵∠CBO+∠BCO=∠BOC+∠ECF=90°，∴∠OBC=∠FCE.
在△OBC与△FCE中，∵
，∴△OBC≌△FCE（AAS），∴CF=OB=2，EF=OC=4，∴OF=2，∴E（2，﹣4），设直线BE的解析式为y=kx+b，∴
，∴
，∴直线BE的解析式为y=﹣3x+2，当y=0时，x
，∴D（
，0）.
故答案为：（
，0）.
【分析】连接CE，过E作EF⊥AC于F，根据已知条件得到OA=OB=2，OC=4，得到△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC=45°，根据圆周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，推出△BCE是等腰直角三角形，求得BC=CE，根据全等三角形的性质得到E（2，﹣4），待定系数法得到直线BE的解析式为y=﹣3x+2，于是得到结论.
16.【答案】（-1，-2）
【考点】三角形的外接圆与外心
解：连接CB，AB，作CB，AB的垂直平分线，其交点就是过A，B，C三点的圆的圆心，如图所示：
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
【分析】连接CB，AB，作CB，AB的垂直平分线，其交点就是过A，B，C三点的圆的圆心，如图所示：利用方格纸的特点即可读出D点的坐标。
三、解答题
17.【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】根据三角形外接圆和等腰三角形的性质可知∠BAO＝60°，再由等腰三角形的性质知△ABO为等边三角形，从而得△ABC外接圆的半径.
18.【答案】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2
，
在半圆上取P1
，
连接AP1
，
EP1
，
可见，AP1+EP1＞AE，
即AP2是AP的最小值，
∵AE=
=
，P2E=1，
∴AP2=
﹣1．
【考点】勾股定理，点与圆的位置关系
【解析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2
，
在半圆上取P1
，
连接AP1
，
EP1
，
可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．
19.【答案】
（1）解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示：
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BC的长度==．
（2）证明：连接BE，如图2所示：
∵E是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5
∠5=∠2，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB．
?
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】（1）设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，由圆周角定理得出∠BOC=120°，再由弧长公式即可得出结果；
（2）连接BE，由三角形的内心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB=∠DBE，即可得出结论．
20.【答案】
（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
【考点】确定圆的条件
【解析】（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
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精品试卷·第
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